《鲁棒优化导论与应用》深入地阐述了鲁棒优化理论与方法，并给出了它们在金融工程与信号处理中的应用。《鲁棒优化导论与应用》共6章，内容包括鲁棒优化简介，鲁棒线性不等式约束的等价凸表示及其应用，鲁棒*小二乘问题的等价形式与应用，线性概率约束的内部逼近，实变量与复变量的S引理及鲁棒二次矩阵不等式，S引理的变形，鲁棒二阶锥约束，鲁棒线性矩阵不等式及应用，等等。《鲁棒优化导论与应用》取材新颖，实际应用例子丰富，涵盖了部分国内外鲁棒优化及应用的*新研究成果与进展，以及作者在该领域所取得的科研成果。

本书在介绍相关理论的基础上，还给出了其在金融工程和信号处理中的应用，兼具理论与应用，取材新颖。

第1章 鲁棒优化简介
　　实际优化问题的参数（数据）往往带有一定的误差.这些误差可以是过时的参数引起的（解优化问题时，使用的参数已经是旧的），也可以是测量或估计参数时产生的;还有些误差是由于硬件无法准确执行优化问题的解（它等同于人工的参数误差）引起的.在某些优化应用中，很小的参数误差可能导致原问题的解变得毫无意义和不切实际.于是，需要寻找一套优化方法求解深受参数误差困扰的优化问题，有效地找到鲁棒解使得它能消除参数不确定性的影响.鲁棒优化就是一门提供这些方法的基础与应用学科.
　　1.1 鲁棒优化问题
　　1.1.1 鲁棒优化模型
　　鲁棒优化问题是具有参数不确定性的问题.假设目标函数f0:RN→R，约束函数fm:RN×Um→R，m=1，2， ，M，则鲁棒优化问题可以写成（见文献[1]）
　　(1.1)
　　我们不失一般性地假设：目标函数的参数是确定的；否则，目标函数用极大值代替，并且使用它的等价上图形式表示，即mint使得在问题(1.1)的约束中，不等式的右边不含不确定的参数.
　　特别地，当U1= =UM=U时，问题(1.1)则化为
　　(1.2)
　　显然，问题(1.1)的可行集是
　　(1.3)
　　F中的任意一点称为鲁棒可行解.如果
　　(1.4)
　　则称为鲁棒*优解.类似地，可以定义鲁棒局部*优解.
　　特别地，当（Zm称为参数扰动集合），m=1，2， ，M，则问题(1.1)是鲁棒线性规划问题：
　　(1.5)
　　这里Pm是确定的矩阵参数.
　　如果f0是凸函数，且对任意给定um∈Um，fm(x，um)是关于x的凸函数，m=1，2， ，M，则问题(1.1)是具有无穷多个约束的凸优化问题.注意，supum∈Umfm(x，um)是关于x的凸函数.因此，问题(1.1)的等价形式
　　(1.6)
　　也是凸的.
　　类似上述问题，问题(1.5)可改写为
　　(1.7)
　　假设参数扰动集合Zm是容易计算的（例如，它可被有限个线性矩阵不等式等价地刻画）.那么，易知gm(x)不仅是凸的，而且集合是容易计算的.因此，问题(1.7)也是容易计算的.
　　一般而言，鲁棒优化需要处理以下两类问题：确认问题(1.1)的计算复杂度（例如，容易计算、NP-难或计算复杂度未知），以及如何求解；如何定义有意义且切合实际应用的不确定集合Um(m=1，2， ，M).
　　1.1.2 鲁棒线性规划问题
　　考虑以下鲁棒线性规划问题
　　(1.8)
　　其中，不确定集合U定义为
　　(1.9)
　　在式(1.9)中，名义值[A0，b0]和基[Al，bl](l=1，2， ，L)，是给定的矩阵；ζ和Z分别是扰动向量和扰动集合.因此，问题(1.8)的约束可写为
　　(1.10)
　　亦即
　　(1.11)
　　1.一般形式不确定集合的特例
　　约束(1.10)的形式比较一般.例如，半无穷约束
　　(1.12)
　　是M×N矩阵，b是M维向量可改写为.其中，定义为
　　(1.13)
　　以及.在式(1.13)中，em代表M维单位矩阵的第m列， m=1，2， ，M.
　　又如，以下约束
　　(1.14)
　　等价.其中，定义为
　　(1.15)
　　再如，考虑以下条件
　　(1.16)
　　可改写为
　　(1.17)
　　以及
　　(1.18)
　　这里.
　　2.不确定集合的假设
　　不难证明一般的鲁棒线性约束
　　(1.19)
　　等价于
　　(1.20)
　　其中，是A的第m行向量，Um是U到第m个约束的参数空间的投影，即
　　(1.21)
　　另外，鲁棒线性约束(1.20)中的Um可改为它的闭凸包
　　(1.22)
　　即式(1.22)等同于式(1.20).因此，我们可不失一般性地做以下假设（见文献[2]、[3]）.
　　假设1.1.1 鲁棒线性约束(1.20)中的Um是闭凸集，以及式(1.19)的不确定集合U等于U1× ×UM.
　　若式(1.19)中的不确定集合如式(1.9)所给定，则U可替换为U1× ×UM，且
　　(1.23)
　　m=1，2， ，M，以及参数扰动集合Zm是闭凸的（它与U如何投影到Um有关）.例如，
　　(1.24)
　　等价于
　　(1.25)
　　其中，m和δTm分别是和Δ的第m行向量，参数扰动集合
　　(1.26)
　　另外，我们还可以假设：
　　假设1.1.2 鲁棒线性规划问题(1.8)每个约束中的扰动集合是独立的.
　　1.2 典型案例——小误差与大变化
　　某医药公司生产药物1和药物2两类药物，它们均含有有效成分A.有效成分A可以从市面上销售的原材料I和原材料II中提取.药物生产参数、原材料数据和资源数据列在表1.1～表1.3中.公司的目的是寻求某生产计划使利润极大化（见文献[2]、[4]）.
　　表1.1 药物生产参数
　　表1.2 原材料数据
　　表1.3 资源数据
　　1.2.1 药物生产问题的线性规划模型
　　假设w和x分别代表购得的原材料I和原材料II的重量（以kg计），y和z分别代表生产的药物1和药物2的数量（以千盒计）.根据给定的数据，极小化问题的目标函数是负收益
　　(1.27)
　　其中，f1(w，x，y，z)是支出函数，
　　(1.28)
　　包括购买原材料费用与运营费用.f2(w，x，y，z)是收入函数，

目录
前言
符号集
第1章 鲁棒优化简介 1
1.1 鲁棒优化问题 1
1.1.1 鲁棒优化模型 1
1.1.2 鲁棒线性规划问题 3
1.2 典型案例——小误差与大变化 5
1.2.1 药物生产问题的线性规划模型 6
1.2.2 原材料成分的不确定性 8
1.3 NP-难与可凸表示的鲁棒优化问题 9
1.3.1 NP-难的半无穷约束 9
1.3.2 可凸表示的半无穷约束 11
第2章 鲁棒线性不等式及其应用 12
2.1 p范数球的扰动集合 12
2.1.1 p范数球约束下鲁棒线性不等式的等价表示 12
2.1.2 其他鲁棒线性不等式模型 14
2.2 鲁棒投资组合优化问题 16
2.3 鲁棒自适应波束形成优化问题 18
2.4 线性锥规划的方法 21
2.4.1 强对偶方法 21
2.4.2 几种特殊的扰动集合 23
2.5 平衡风险后的鲁棒投资组合回报极大化问题 25
2.6 非凸信号方向向量不确定集合的鲁棒自适应波束形成问题 27
第3章 鲁棒*小二乘问题及其应用 32
3.1 鲁棒*小二乘问题 32
3.1.1 误差矩阵的2范数球与Frobenius范数球约束 32
3.1.2 其他不确定集合的鲁棒*小二乘问题 35
3.2 基于有限因子驱动的金融市场模型与鲁棒投资优化 40
3.2.1 球约束不确定集合 41
3.2.2 列向量球约束的不确定集合 41
3.3 观察矩阵与方向向量不确定性的鲁棒自适应波束形成问题 42
3.4 残差模的极大极小问题 44
3.4.1 误差矩阵2范数球约束 44
3.4.2 误差矩阵无穷范数球约束 47
3.5 一般秩信号模型与鲁棒自适应波束形成问题 50
第4章 线性概率约束的凸表示与内部逼近 53
4.1 可凸表示的线性概率约束 53
4.1.1 线性概率约束 53
4.1.2 高斯随机向量概率约束的凸表示 54
4.2 投资组合优化中的风险值极小化问题 56
4.3 随机无失真反应约束下的*小方差波束形成优化问题 58
4.3.1 正态分布的目标信号方向向量 60
4.3.2 零均值和给定协方差矩阵的目标信号方向向量 61
4.4 内部逼近 62
4.4.1 概率约束的内部逼近 62
4.4.2 正态分布变量与基于矩母函数的内部逼近 63
4.4.3 有界随机变量与基于矩母函数的内部逼近 66
第5章 S引理及其矩阵形式 70
5.1 矩阵秩一分解定理 70
5.1.1 实对称矩阵的特别秩一分解 70
5.1.2 复共轭对称矩阵的特别秩一分解 72
5.2 实变量S引理 75
5.3 鲁棒二次矩阵不等式及其凸表示 83
5.3.1 鲁棒二次矩阵不等式 83
5.3.2 一般形式的鲁棒二次矩阵不等式 85
5.4 复变量S引理及其矩阵形式 89
5.4.1 复变量S引理 89
5.4.2 复变量S引理的矩阵形式 95
5.5 S引理的变形 98
第6章 S引理的应用 103
6.1 鲁棒二阶锥约束及鲁棒线性矩阵不等式 103
6.1.1 几个预备引理 103
6.1.2 带有矩阵参数不确定性的鲁棒二阶锥约束 104
6.1.3 鲁棒线性矩阵不等式 109
6.2 多用户通信中的鲁棒下行波束形成向量设计 111
6.2.1 信号模型 111
6.2.2 复变量S引理在鲁棒*优下行波束形成问题中的应用 113
6.3 无线认知网络中的鲁棒次级发射波束形成设计 115
6.3.1 信号模型 115
6.3.2 鲁棒*优波束形成问题 117
6.3.3 鲁棒二阶锥规划问题第一组约束的等价凸表示 119
6.3.4 Lorentz-正映射的等价线性矩阵不等式形式 122
6.3.5 鲁棒二阶锥规划问题第二组约束的等价凸表示 125
参考文献 128
索引 131