第1章灰色评价与预测模型的研究现状分析
邓聚龙教授于1982年（Deng，1982)创立的灰色系统理论是研究“少数据、贫信息”不确定系统的方法技术，通过对有限的已知信息进行推断、发掘，凭借少数据建模达到“灰色白化”的目的。自从邓聚龙教授创立灰色系统理论以来，国内外许多学者都加人灰色系统理论与应用的研究行列，经过近40年的研究，产生了一大批有价值的专业书籍、期刊论文和学术报告。此外，由刘思峰教授担任主编的国际学术刊物Grey Systems：Theory andApplication和The Journal of Grey System分别进人Mathematics，Interdisciplinary Applications领域Q1和Q2，标志着期刊影响力的进一步提升，也说明灰色系统理论在向国际名刊发展的进程中取得重大突破。
灰色系统理论从1982年被提出后，研究热度持续升高，如图1.1所示，图1.1(a)、图1.1(b)、图1.1(c)、图1.1(d)分别是在中国知网以“灰色预测”“灰色关联”“灰色聚类”“灰数/灰色序列生成/缓冲算子”为关键词搜索的期刊论文数量，在WebofScience中以“Grey Forecasting/Prediction”“Greyrelational/Incidence”“Grey Cluster”“Greynumber/Grey sequence generation/Grey buffer operator”为关键词搜索的论文数量。从图1.1的四个子图中可以看出，国内外学者对灰色预测和灰色关联的研究热情度较高，且灰色预测外文期刊论文数量在2019年超过了国内期刊论文数量。灰色系统理论主要研究领域在国内外期刊的论文数量呈现逐年上升趋势，充分展现了灰色系统理论成果在国际研究领域的影响力不断增强。
将中国知网与Web of Science收录的“灰色预测”“灰色关联”“灰色聚类”“灰数/灰色序列生成/缓冲算子”相关论文汇总，近似成灰色系统相关方向论文总量，如图1.2所示。各研究方向的论文数量都呈现上升趋势，其中“灰色关联”相关论文从2010年的2785篇增长至2020年的4237篇，增长了1452篇，“灰色预测”“灰数/灰色序列生成/缓冲算子”“灰色聚类”相关论文也分别增长了472篇、1039篇和266篇，表明国内外学者对灰色系统理论的认可度逐渐加强，从而推进灰色系统理论的创新、应用和普及推广。
目前，灰色系统理论的研究分支主要包括灰色数学、灰色生成技术、灰色预测、灰色关联、灰色聚类等方面。下面将围绕本书研究的核心内容，分别从灰数与数据生成技术、灰色评价（灰色聚类和灰色关联）和灰色预测理论及应用方面所取得的前沿成果进行综述。
1.1灰数与数据生成技术的研究现状
灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”，灰色生成技术是运用灰色系统理论处理不确定信息的重要手段。深人研究灰数和灰色生成技术，可对特征不明显或扰动量较大的拟建模数据序列有更清晰的认识，从而提高建模精度。
1.1.1灰数的研究现状
灰数运算是灰色系统理论体系的核心和学术发展的基础，其运算体系的构建依赖于对灰数性质的深人挖掘，因此，作为衡量灰数信息不确定性的灰度备受学者的关注。本部分从灰数与灰度、灰数运算体系、灰数序列和区间灰数排序四个方面系统介绍灰数的研究现状。
1.灰数与灰度研究
邓聚龙（2002)借用可能度函数所具有的几何特性，*先给出了可能度函数已知的灰数灰度的定义。张岐山等（1996b)在引人差异信息灰列的基础上，引人熵值概念，定义了差异信息灰列的熵，并将灰数的熵和*大熵进行对比来表示灰数灰度，给出了差异信息灰列的熵与序列灰性的关系，从而深化了对灰数灰度内涵的理解。刘思峰和林益（2004)运用均值白化方法对区间灰数进行白化，并测度其所属区间的长度，利用这一新思想重新定义了区间灰数灰度，简化了其表达形式。但是，当区间灰数的均值白化数为零时，上述定义均无法给出合理解释。考虑到区间灰数的灰度能折射出该区间灰数具体取值的不确定性水平，刘思峰和林益（2004)提出对灰度的研究需要充分考虑到生成该灰数的实际背景，并给出了区间灰数灰度四公理，然后将灰度定义为其自身测度与所处背景测度的比值，至此灰度有了更加科学、更贴近于现实的解释。在一般灰数的研究方面，蒋诗泉等（2014)针对一般灰数在复杂系统信息表征中的应用，基于核与灰度的思想，提出了一般灰数的核期望与核方差的排序方法。蒋诗泉等（2014)将模糊数学方法和灰色系统理论进行有机融合，挖掘灰数可能度函数和灰数灰度之间的内在联系，定义了直觉灰数和直觉灰数集，并定义了一般灰数与直觉灰数集之间的等值转化运算法则和直觉灰数的得分函数概念。刘中侠等（2021)针对一般灰数自身结构复杂性造成的一般灰数代数运算体系不完备性的现实，首先将直觉模糊方法和灰数的“核”与“灰度”方法集成，利用灰数可能度函数，引人直觉灰数（集）的概念；其次将一般灰数中每个小区间灰数用一个直觉灰数来表征，并将一般灰数转化为一个区间直觉灰数；*后将两个一般灰数的运算定义为区间直觉灰数之间的运算，并给出区间直觉灰数的距离公式。
2.灰数运算体系研究
学者在对区间灰数性质进行深切认识与探究的同时，也在不断尝试构建其运算体系。早些年，刘思峰（1987)试图运用均值白化思想构造灰数间的运算关系，但受困于扰动灰元而未能进展成功。方志耕等（2005)对区间灰数进行标准化处理，基于此阐释了区间灰数间的运算规则，为灰数大小比较问题增添了新思想和新方法，但当运算过程愈加烦琐时，所涉及的运算量迅速增大，从而限制了其适用范围。谢乃明（2008)从优化模型角度对灰数的运算规则进行了充分探讨，并提出了灰距离及灰数大小比较的可能度规则，但缺乏具体的运算公式。因此，以上尝试结果均未能尽如人意。面对上述研究中存在的诸多难题，刘思峰等（2010a)考虑到灰度之于区间灰数的重要性，将其引人区间灰数运算中，并对运算过程中灰度的变化机制给予约束，据此建立了基于“核”和灰度的区间灰数运算法则，通过运用科学成熟的实数运算法则来简化区间灰数运算，在一定程度上消除了现有研究中存在的棘手难题。此外，刘思峰等（2010a)进一步研究了灰数集和一般灰数概念，定义了灰数的概念，并基于“核”和灰数灰度建立了区间灰数运算公理、运算法则和新的灰代数系统，并研究了其运算性质，将灰数运算转化为实数运算，使得区间灰数运算的难题在一定程度上得到解决。Yang等（2012)基于灰数和灰色度的灰集运算规则，并研究其减少不确定性的能力；基于灰色集白化的概念，定义了灰色集的两种扩展运算，并讨论了它们的性质。该运算规则可以显著降低灰色集的不确定性，新的灰色集运算规则可以显著降低灰色集的不确定性，推动着灰代数系统理论向前发展。在此基础上，刘卫锋和何霞（2011)为了简化区间灰数行列式的运算，完善区间灰数的运算和灰数代数系统的理论基础，利用区间灰数的简化形式探讨区间灰数行列式的性质，得到了基于“核”和灰度的区间灰数行列式的若干性质，简化了区间灰数行列式的运算。由于新的区间灰数运算法则便于实际操作，众多学者纷纷将其应用到区间灰数动态评价、灰色关联分析、区间灰数预测和多属性决策中，从而推动了灰色系统理论的全面发展。
3.灰数序列研究
系统的复杂性、动态性及人们认知水平的局限性导致在描述问题时很难使用确切的实数，通常选取灰数。为了对问题更加准确地描述和分析，有必要将模型的应用范围扩展到灰数序列。杨德岭等（2013)提出“信息域不减”的推论，在提取区间灰数“核”的基础上，将*大的信息域值设置为区间灰数的信息域，从而求解出区间灰数的上下界，对于丰富和完善灰色预测模型理论体系、拓展灰色预测模型的应用范围具有积极意义。虽然曾波（2011)同样提取了核信息，以区间灰数的“核”序列为基础建立预测模型，实现对未来区间灰数“核”的运算，然后以“灰度不减公理”为理论依据，以“核”为中心拓展得出区间灰数的上界和下界。但是，与之不同的是，在区间灰数上下界求解时，从*大灰度和“核”这两个角度人手，且该方法并未考虑到区间灰数的“灰度不减”问题，因此叶璟等（2016)在充分挖掘和拓展“灰度不减”公理的基础上，通过准灰度因子对区间灰数上下界进行灰度*大化处理，保证建模过程中的灰度不减，并分情况研究灰度序列的不同增减趋势，根据区间灰数序列灰度走势得到的灰度因子进一步修正模型，选取不同的技术手段建立模型。在“核”和灰度的基础上，刘解放等(2013)定义了“灰半径”的概念，在“核”与“灰半径”的基础上，求得连续区间灰数的上界和下界，在不破坏灰数整体性的前提下，实现了对于连续区间灰数序列的预测，对于丰富区间灰数的预测理论具有积极探索的作用。灰数序列运算法则正在不断改进和完善，但仍存在有效信息损失问题，导致运算结果的科学可靠性难以保证，需要学者对各类灰数的基本概念和产生原理进行更深人的研究。
4.区间灰数排序研究
区间灰数排序是包括灰色关联、灰色聚类和灰色预测在内的众多研究领域必不可少的理论方法，是获得科学结果的有效依据。虽然区间灰数和区间数是两个完全不同的概念，但是在具体研究思路上两者间可以相互参考。徐泽水和达庆利(2003)给出了区间数比较的一个可能度公式，利用区间数的长度测度和边界的取值，研究了区间数之间的比较与排序问题，并对公式所具有的一些优良性质（互补性、传递性）进行了详细探讨，基于可能度公式，给出了区间数排序的可能度法。罗党等（2003)借鉴区间数排序的可能度法，利用主观条件概率和客观条件概率构造出灰偏差函数，给出了区间灰数排序公式，基于灰偏差函数给出逼近于主观条件概率的优化模型，从决策者主观偏好角度出发，通过求解该模型得到属性的权重向量，并由区间灰数排序公式得到方案的排序，为解决指标值为区间灰数的不确定性决策问题提供了新手段。谢乃明（2008)综合考虑了模糊数学、随机概率及区间数与灰数之间的优劣势，并提出用灰数来描述不确定性信息，综合分析了灰数具有的一定的概率分布，运用概率论的知识，提出了灰数排序的可能度方法，重点研究了离散灰数和区间灰数的排序规则，并通过测算二维平面中的相应面积，对离散和连续两种类型灰数的排序问题进行了探究。闫书丽等（2014)运用标准区间灰数概念，通过投影的方法对普通区间灰数进行信息转换，据此对区间灰数的“核”和灰度概念进行延伸，并依据投影得到的标准灰数提出了相对“核”和精确度的概念，给出了灰数的排序方法。该方法克服了已有排序方法的不足，且使相同灰数的排序区分度在不同的应用背景下有不同的体现，有助于决策者进行分析，其算例也验证了所提出方法的可行性和优越性。王俊杰等（2015)从区间灰数本质特征出发，依据从点到线的思想，给出了区间灰数间大小比较的可能度函数表达式，然后对区间灰数进行标准化，通过积分对表达式进行求解，利用积分性质求解并给出了两个区间灰数在六种不同位置关系下大小比较的可能度函数表达式，随后利用区间灰数的排序函数进行排序，*后将其应用于企业间竞争实力的排序评估中。区间灰数自身所具有的不确定性，为其排序问题带来了显著困难，为此学者尝试借用确定性问题排序方法对其进行研究，核心创新点均是在两者间搭建科学合理的转化桥梁，并取得了一定的研究成果，但限于研究历程较短，尚未在学界达成共识。
1.1.2数据生成技术的研究现状
数据生成技术的研究主要集中在灰色序列生成与缓冲算子两个方面，二者均是灰色系统建模中对数据的预处理技术。其中，灰色序列生成具有两种功能：第一，填补数据序列中的空穴和修正某个时点上的变异数据；第二，充分挖掘原始数据中的积分特性和指数规律，是有效提高序列光滑性和准指数性的有效手段。缓冲算子的功能主要是优化原始序列的增长速度与振荡幅度，使其更适合于预测建模技术，主要包括弱化缓冲算子和强化缓冲算子。早期灰色生成技术主要是建立初值算子、均值算子
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