第1章 绪论
麦克斯韦宏观电磁理论的诞生过程与正确的数学表达相关，该理论的发展更是有赖于各种数学方法的正确应用。也可以说，电磁理论与数学科学的发展总是相伴而行。本章中我们将对这一过程进行简要的回顾，也为后续各章所涉及内容的叙述作一些必要的准备。
1.1 麦克斯韦宏观电磁理论要点及其数学表述
在当代，麦克斯韦宏观电磁理论由四个方程组成的方程组表示，它们是（本书在涉及电磁理论时，均采用MKSA单位制）
(1.1.1)
(1.1.2)
(1.1.3)
(1.1.4)
对式（1.1.2）两侧求散度，并利用式（1.1.3）就可得到电荷连续性方程
（1.1.5）
这里的几个方程并不是完全相互独立的。通常我们把式（1.1.1）和式（1.1.2）看成是独立的，而式（1.1.3）和式（1.1.4）则是辅助方程。
麦克斯韦方程组建立在宏观实验所获得的规律之上，因此其适用范围应该是宏观电磁现象。的确如此，自20世纪初发现量子效应并建立了量子论，人们就认识到微观世界的物理规律与宏观世界大不相同，不能把在宏观世界中建立的物理规律简单地应用到微观世界中。但是，以上所列出的麦克斯韦方程组是用微分方程形式来表达的，并要求在它应用的每个空间点上方程成立。这实际上是要方程中的各物理量在空间和时间上都是连续变化的，并可取值于无限小的空间点。这样看来，方程组所要求的条件与量子论的微观现象是不一致的。那么，这里所用的数学表述的合理性又该如何理解呢？
为了正确理解以上问题，我们先来了解实际的物理现象。在微观上，电磁场是以光子为基本单位，是分立的。但是，单个光子的能量是非常微小的。例如，当频率为108Hz时，5μV/cm均方根场强相当于1012个光子/（cm2 s）的流量。宏观测量到的是许多光子的积累效应，少数光子的起伏在一般宏观测量中是观察不到的，从而可以认为在宏观上电磁场的变化是连续的。
此外，作为电磁场之源的电荷及其运动也是分立的，其基本单元为e，它的量级是
e＝1.60217733×10-19C
任何实际电荷的电量只能是e的整数倍。但是，从宏观上看，基本电荷e的电量是足够小的，所以完全可以认为从宏观上看电荷的变化是连续的。例如，在1V电压下1μF的电容器每一极板上至少要有1012个基本电荷的电量，而1μA的电流就相当于6.2×1012个基本电荷/秒，这说明在宏观上可以认为电流也是连续变化的。
根据以上所述，我们可以这样理解，在量子效应不起明显作用的情况下，描述宏观电磁场规律的麦克斯韦方程组是成立的，它适用的空间点只限于宏观区域。从宏观上看，区域的尺度可视为无限小，以致在数学上也可以接受。即使如此，麦克斯韦方程组也只能是宏观电磁现象的一种数学模型，它的正确性还必须接受实践的检验。
当应用麦克斯韦方程组解决各种电磁问题时，往往还需要对方程组中的物理量进行求导或积分运算。为了保证数学运算的顺利进行，要求它们具有必要的数学性质。我们将假设这些物理量是单值有限的，有足够的连续性和连续可微性，可以自由地交换微分和积分的顺序。当这些条件不满足时，要做特殊处理。
此外，在以下的讨论中我们总是假定介质是静止的，其特性参数不随时间而变化。
显然，上面的麦克斯韦方程组不是完备的，因为其中未知量的个数多于方程的个数。为了保证方程组的完备性，还需要知道介质空间的电磁性质，也就是要知道介质的本构关系。对于线性介质，一般地可以表示为
（1.1.6）
其中，ε=和μ=为并矢，表示介质为各向异性的。这样，两个旋度方程就成为
（1.1.7）
（1.1.8）
如果采用下列形式的傅里叶变换：
则相应的方程可以变为频域的形式：
（1.1.9）
（1.1.10）
（1.1.11）
为了应用方便，有时也把麦克斯韦方程表示成对称的形式：
（1.1.12）
（1.1.13）
其中，M称为磁流源。
从方程（1.1.12）和（1.1.13）中分别消去H或E，就可得到电场和磁场分别满足的方程
（1.1.14）
（1.1.15）
如果介质是均匀各向同性的，则上面两个方程变为
（1.1.16）
（1.1.17）
在电磁理论中，对有界域问题，电磁场在边界上还必须满足必要的边界条件。当边界为理想电导体或理想磁导体时，分别有以下边界条件：
理想电导体
（1.1.18）
理想磁导体
（1.1.19）
其中，s为有界域的边界。
在求解电磁场时，有时也使用势函数作为辅助，其中有电型矢势A和标势φ。对于均匀各向同性介质空间，它们与电磁场的关系为
（1.1.20）
（1.1.21）
在规范条件
（1.1.22）
下，A和φ分别满足方程
（1.1.23）
（1.1.24）
在频域，这些方程变为
（1.1.25）
（1.1.26）
而电场与A和φ的关系为
（1.1.27）
在这种情况下，先通过解方程（1.1.25）和（1.1.26）求得A和φ。可通过式（1.1.27）求得电场，再求得磁场。一般来讲，解方程（1.1.25）和（1.1.26）要比直接求解方程（1.1.16）和（1.1.17）容易些，这也是采用辅助函数的直接意义。当然，其中的物理含义要深刻得多。
1.2 经典数学之于麦克斯韦电磁理论
为摸清各种深奥复杂、难以捉摸的电磁物理现象的运动变化规律，并创立严谨、完备自洽的系统理论，除了有反映现象本质的正确概念和原理之外，还必须寻找到恰当的数学工具给予定量表述。现在以历史的进程简要地回顾这一问题是怎样解决的，从而了解经典数学在电磁理论的建立中所起的作用。
牛顿力学是*先发展起来的物理学科，同时开始了微积分的发明、发展和应用。早在1777年，拉格朗日（Lagrange）就开始用引力势描述引力场。他定义了引力势v(x，y，z)，并把引力F表示为
（1.2.1）
其中，为梯度算符，且。
1789年拉普拉斯（Laplace）给出了直角坐标系中引力势满足的微分算子方程：
（1.2.2）
其中。后来，上式被称为拉普拉斯方程。
1831年泊松（Poisson）指出，如果点（x，y，z）在物体内部，则方程（1.2.2）应该修改为
（1.2.3）
其中，ρ为质量密度。该方程就是著名的泊松方程。
以上就是引力问题的势理论，它提供了引力问题求解的新途径，即用求解偏微分方程的方法解决引力问题，尽管直到19世纪20年代以前人们还不知道这些方程解的一般性质。
1785年确立了点电荷之间相互作用的库仑（Coulomb）定律，开启了静电学研究的新纪元。
库仑定律表明，电力与引力类似，都是与距离的平方成反比。泊松首先注意到了这一点，他把引力势理论移植到静电学中，认为可把式（1.2.3）中的v视为电势，F就是电力，其中ρ为电荷密度。这样，原来用于引力势的泊松方程（1.2.3）也成了静电学中的一个基本方程。1824年泊松还以磁荷的观点，使以上方程也适用于静磁问题。到此，泊松方程就成了静电磁学的数学理论。
1828年，格林（Green）把势函数概念引入静电磁学中，把满足泊松方程的函数称为势函数，并给出了一般公式：
（1.2.4）
其中，ρ(x′，y′，z′)是点（x′，y′，z′）上的体电荷密度；r是点(x，y，z)到点（x′，y′，z′）的距离；势函数v（x，y，z）后来又被称为格林函数。与此同时，格林还给出了以下公式：
（1.2.5）
其中，u和v是（x，y，z）的两个任意函数，它们的导数在任何点上都是有限的；n为区域表面的内法向单位矢量;Δ＝2为拉普拉斯算符。式（1.2.5）称为格林定理，格林利用它讨论了许多静电磁学问题。
1839年高斯（Gauss）从平方反比定律出发证明了静电学的高斯定律，把库仑定律提高到了新的高度，其表述为
（1.2.6）
此外，早在1831年奥斯特洛格拉德斯基（Ostrogradsky）就已给出了公式：
（1.2.7）
其中，F为矢量函数；n为面元ds的法向单位矢量。
1854年斯托克斯（Stokes）提出了后来被称为斯托克斯定理的公式：
（1.2.8）
该公式由麦克斯韦给出证明。
公式（1.2.7）和（1.2.8）为矢量分析的基本定理，它们奠定了矢量分析的基础，也是电磁理论的初步数学理论基础，为麦克斯韦创立电磁理论准备了必要的数学理论基础。
麦克斯韦正是在继承并发展了法拉第的力线思想，在提出涡旋电场等的基础上，利用已发展起来的数学理论表达出了关于电磁理论的新体系。
麦克斯韦通过三篇重要论文，即“论法拉第力线”（1855~1856）、“论物理力线”（1861~1862）和“电磁场的动力学理论”（1865），逐步完善了他的电磁场的普遍理论。
麦克斯韦认真审查了在他之前已知的电磁学定理和定律，在弄清它们正确含义和成立条件的基础上，根据他对电磁场本质特性的深刻理解和应有的内在联系的认识，经过修正、补充和推广给出了电磁理论的普遍方程组，在其中引进了关于涡旋电场的概念，并以位移电流的形式加入到安培定律中进行修正。他的方程组中设了20个变量，其中有总电流p′、q′、r′，传导电流p、q、r，电位移f、g、h，磁强度α、β、γ，电磁动量F、G、H，电动力P、Q、R，自由电量e和电势ψ。麦克斯韦所提出的方程组为分量形式并可分为八组，分别为
（1.2.9）
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