第一篇结构动力学基础
概述
桥梁结构是一个复杂的多自由度系统，在随机时变地震动、时变强风或移动车辆的作用下会产生复杂的振动，分析其动力响应的理论基础是结构动力学。
本篇介绍结构动力学基本理论、随机振动基本理论、动力学分析基础等，以便于读者理解本教材后续所介绍的桥梁在地震作用、自然风作用或车桥耦合相互作用下结构振动响应特性与性能，为掌握其基本理论、基本原理、分析方法，具备解决或研究桥梁结构抗风、抗震及车桥耦合振动问题的能力打下基础。
第1章 单自由度系统的线性振动
典型的单自由度系统为如图1.1所示的质量-弹簧-阻尼系统，如果其质量为m，线性弹簧刚度为k，线性黏性阻尼系数为c，在质量上作用一激振力F(t)，质量在t时刻的位移为x(t)，不计摩擦。
图1.1 单自由度系统示意图
基于牛顿第二定律，可得单自由度系统的运动微分方程：
(1.1)
引入参数，微分方程变为
(1.2)
式中， 为固有频率； 为阻尼比。
1.1 无阻尼自由振动
如果激振力F(t)与系统的阻尼比 为零，则该系统为无阻尼自由振动系统，方程(1.2)变为
(1.3)
根据常微分方程理论，令 ，代入方程(1.3)，导出特征值方程为
(1.4)
相应的特征值为 ( ，即虚数单位)，对应的线性无关特解为 和 ，方程的通解为
(1.5)
其中， 为待定常数，由初始条件决定。
设在初始时刻 ，质点的位移和速度分别为
(1.6)
则方程(1.3)满足初始条件方程(1.6)的解为
(1.7)
其中，A和 分别为自由振动的振幅和初相角，其取决于初始条件方程(1.6)：
(1.8)
因此无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动，其振动的圆频率为 ，单位为rad/s。圆频率 仅与刚度、质量有关，与初始条件无关，为系统固有的物理参数，它与系统的固有频率f和固有周期T0关系如下：
(1.9)
由式(1.9)可知，系统的质量越大，刚度越小，固有频率越低，固有周期越长，反之，质量越小，刚度越大，则固有频率越高，固有周期越短。
1.2 有阻尼自由振动
如果系统的激振力F(t)为零，阻尼比 不为零，该系统为有阻尼自由振动，此时方程(1.2)变为
(1.10)
根据常微分方程理论，令 ，代入方程(1.10)，导出特征值方程为
(1.11)
相应的特征值为
(1.12)
对应的线性无关特解根据阻尼比大小有如表1.1所示三种情况。
表1.1 有阻尼自由振动特征值与特解
(1)当ζ＜1时，微分方程的通解为
(1.13)
其中，C1，C2为待定常数，与无阻尼自由振动类似，由初始条件决定。
则方程(1.10)满足初始条件的解为
(1.14)
其中，A和θ分别为阻尼自由振动的初始幅值和初相角，其取决于初始条件：
(1.15)
为有阻尼振动的固有圆频率，也是系统的固有的物理参数，它小于无阻尼固有频率 。
如果将间隔j个周期的两个振幅相除，并两边取对数：
(1.16)
(1.17)
根据上式，可利用实验测出系统的阻尼比。
因此，当阻尼比ζ＜1时，阻尼引起能量的耗散，系统为振幅不断衰减的周期性振动，如图1.2所示。阻尼比反映了衰减程度，一般称其为欠阻尼状态，桥梁结构均为欠阻尼结构，后面内容均默认阻尼比ζ＜1。
图1.2 欠阻尼系统的衰减振动
(2)当ζ＝1或ζ＞1时，系统的运动为衰减的非往复运动，系统是介于过阻尼与欠阻尼之间的临界状态或过阻尼状态，其不属于本书所讨论的内容。
1.3 有阻尼强迫振动
如果激振力F(t)不为零，该系统为有阻尼强迫振动。此时
(1.18)
根据常微分方程理论，方程的解为
(1.19)
其中，x1(t)为前述有阻尼自由振动的解，其是在振动开始后短时持续的衰减振动，故称为暂态振动；x2(t)为方程(1.18)的特解，与F(t)有关，它表示在激振力作用下的持续振动，故称为稳态振动。
为简便起见，以F(t)为简谐力为例进行分析，令，有
(1.20)
其特解为
(1.21)
其中，为激振频率和固有频率之比；为响应相位差；i为虚数单位。
令，则有
(1.22)
其中，为稳态振动的实振幅； 为振幅放大因子。
振幅放大因子β和响应相位差θ均与频率比s相关，因而分别被称为幅频特性和相频特性，如图1.3和图1.4所示。
图1.3 幅频特性曲线
图1.4 相频特性曲线
展开
