1 系统与控制概述
天地玄黄，宇宙洪荒，日月盈昃，辰宿列张。——《千字文》
1.1 动态系统
例 1.1 考虑如图 1.1所示的 LC 电路。
图 1.1 LC 电路
由电路知识可知：
在例 1.1中，LC 电路是我们感兴趣的研究对象。通常称研究者感兴趣的研究对象为系统。因此，例 1.1所考虑的 LC 电路可称为 LC 电路系统。在系统(1.1)中，随时序演进的变量 v(t)、˙ v(t)、i(t)、˙i(t) 各自携带了系统的部分信息，称为系统变量。由于系统变量 v(t)、˙ v(t)、i(t)、˙i(t) 的演进方式是既定的，因此称系统(1.1)为动态系统。广义地，称系统变量的时序演进过程为系统的运动。研究动态系统如何运动称为分析。所有随时序演进的事物都可以作为动态系统来分析，因此动态系统的内涵极其丰富，上至天体运行，下至量子波动，都可以从系统与控制的角度去认知。
给定某一时刻 t，系统变量 i(t) 与v(t)、v(t) 与i(t) 相互关联，i(t) 与 v(t)、v(t) 与v(t)、i(t) 与i(t)、i(t) 与v(t) 相互独立。在系统(1.1)中，如果想知道系统在某一时刻的全部运动信息，则需且仅需知道该系统在该时刻两个相互独立的系统变量的信息，其余的系统变量信息可随之确定。我们将直接或间接蕴含系统在某一时刻全部运动信息的具有*小数目的 (如可能) 系统变量组合在一起，称为系统的状态变量，简称系统的状态。状态变量所在的空间称为状态空间。状态中系统变量的个数称为系统的维数。当然，并不是所有系统的维数都是有限的，或者等价地，并不是所有系统都可以由部分系统变量来实现完备的表征。例如连续空间中的温度变化：由于空间中包含无穷多个点，且每一点的温度都是随时间独立演进的，因此该系统具有无穷多个系统状态。
如果一个动态系统是随时间连续演进的，则称为连续时间动态系统，如系统(1.1)。一般的连续时间动态系统可以写成如下形式：
(1.2)
其中，x(t) = (x1(t)， ， xn(t))T ∈ Rn 为系统的状态，n 为系统的维数，f( ， ) :Rn × R → Rn 是关于状态 x(t) 与时间 t 的既定函数。假定系统(1.2) 运行的初始时刻为 t0，则称 x(t0) 为系统状态的初值。方程(1.2)称为系统的状态方程，包含n 个一阶常微分方程。给定系统初值 x(t0) = x0 ∈ Rn，若满足某些条件，则对任意的 t≥t0，x(t) 可经由方程(1.2)唯一确定。如果函数 f 不显含时间 t，即系统的结构不随时间发生变化，则称系统(1.2)为自治系统。不失一般性，对自治系统可取 t0 = 0。
下面，我们列写系统(1.1)的状态方程：
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
由上述状态方程的列写过程可知，选取系统状态的方式并不是唯一的。事实上，我们可以通过更一般的方式选取系统状态。考虑系统(1.2)，如果存在可逆变换 Γ( ) : Rn → Rn，则 ˉx(t) = Γ(x(t)) 也可以作为系统的一组状态，该过程称为系统的状态变换，新状态 ˉx(t) 对应的状态空间方程为
以系统(1.1)为例，有
(1.7)
显然，矩阵 T 为可逆矩阵，因此方程(1.7)为可逆变换。根据方程(1.3)与变换方程(1.7)，我们可以得到
经检验可知，TΦT.1 = Ψ，这与之前通过直接选取状态 xb(t) 所得到的结果相同。
为系统建立数学模型的过程称为建模。通过物理法则来建立系统数学模型的过程称为机理建模。在机理建模中，一般选取实际的物理量作为系统状态，此时状态具有实际的物理意义。对于比较复杂的系统，为了便于系统分析，研究者会对系统进行状态变换，此时所得到的新状态可能会失去实际物理意义。因此，系统状态未必一定具有实际的物理意义。
我们可以通过微分方程(1.2)的解来直观地研究系统的运动。对于简单的系统，我们可以直接求微分方程的解析解。对于复杂的系统，如果其解析解难以获得，则可借助辅助计算工具来获得微分方程的数值近似解，例如 MATLAB 计算软件中的 ODE 系列函数。考虑系统(1.3)。取 L = 100 mH，C = 1 μF。取系统的初值为。在上述初值条件下，系统的时间状态轨迹如图 1.2所示。
图 1.2 系统(1.3)在不同初值条件下的时间状态轨迹
考虑动态系统(1.2)。如果存在 x. ∈ Rn 满足对任意的 t≥0，f(x.， t) = 0，则x. 称为动态系统(1.2)的一个平衡点。由平衡点的定义可知，如果存在时刻 T≥0满足 x(T) = x.，则对任意的 t≥T，有 x(t) = x.。我们通过下例来初步了解平衡点及其性质。
例 1.2 考虑如图 1.3所示的平面单摆。悬点为 A，小球的质量为 m，无质量杆长为 l，摆角为 θ(t)。除重力 mg 外，小球另受到空气阻力 f(t) 的作用，其方向与线速度方向相反，大小为 |f(t)| = kl|θ˙(t)|，k 为阻尼系数。通过物理知识，可列写系统的动力学方程为.
选取系统的状态为 x(t) = (θ(t)， θ˙(t))T≥(x1(t)， x2(t))T，有
(1.8b)
图 1.3 平面单摆
由平衡点的定义可知，系统(1.8)的平衡点为 x. = (kπ， 0)T，其中 k 为整数。物理上，当 k 为偶数时，(kπ， 0)T 对应于单摆垂直向下、速度为零的状态；当 k为奇数时，(kπ， 0)T 对应于单摆垂直向上、速度为零的状态。由物理常识可知，假定单摆摆角的初始速度为零，如果其初始位置垂直向上，则单摆会一直停留在该位置；如果其初始位置在任意其他位置，由于受到空气阻力的作用，单摆的机械能会消耗殆尽，*终稳定于垂直向下的位置。因此，相对于垂直向上、速度为零的状态，单摆垂直向下、速度为零的状态显示出某种“稳定性”。平衡点的稳定性问题是动态系统分析中的核心问题，我们将在第四章详细讨论动态系统平衡点的稳定性。
取 m = 1 kg，l = 1 m，k = 1 kg/s，g = 9.8 m/s2。假定单摆摆角的初始速度为零。对于不同的初始位置，单摆摆角 θ(t) 的时间状态轨迹如图 1.4所示。从图中可以看出，当 θ(0) ∈ (.π， π) 时，摆角*终会收敛至零；当 θ(0) = π 时，θ(t) ≡ π；当 θ(0) = .π 时，θ(t) ≡ .π。
图 1.4 对于不同的初始位置，单摆摆角的时间状态轨迹
1.2 控制系统
例 1.3 考虑如图 1.5所示的含电压源的 RL 电路。其中，u(t) 可由人设定。
图 1.5 受控 RL 电路
由物理规律可知：
(1.9)
重新调整方程(1.9)如下：
(1.10)
在方程(1.9)中，如果在形式上 u(t) 是未定的，则称系统(1.10)为控制系统。在控制系统中，被控制的研究对象称为被控对象。u(t) 称为控制输入。控制系统可以看作是在动态系统中引入了控制输入，因此控制系统的运动将由被控对象的自身结构与控制输入共同决定。一般而言，控制的目的是希望控制系统中的某些变量按照人们预期的方式演进，这些变量合称为被控输出。研究如何设计控制输入使得被控输出按照预期方式演进的过程称为设计。
一般的连续时间控制系统可以写成如下形式：
其中，x(t) = (x1(t)， ， xn(t))T ∈ Rn、u(t) = (u1(t)， ， um(t))T ∈ Rm、y(t) = (y1(t)， ， yp(t))T ∈ Rp、ym(t) = (ym1(t)， ， ympm(t))T ∈ Rpm 分别为系统的状态、控制输入、被控输出以及测量输出。其中，测量输出表示可以通过传感器测量的系统内部信息，例如车辆的位置、速度，卫星的姿态、角速度，锅炉的气压、温度，等等。方程(1.11a)～(1.11c)分别称为系统的状态方程、被控输出方程以及测量输出方程。
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