第一篇弹塑性力及板壳理论
第1章弹性力学基本方法和平面问题解答
1.1弹性力学的基本方法
1.1.1弹性力学的内容
弹性力学是研究物体在弹性范围内由于外载荷作用或物体温度改变而产生的应力、应变和位移。就此而言，弹性力学的任务和材料力学是相似的。材料力学中关于弹性体的均匀连续假设和各向同性假设也适用于弹性力学。
弹性力学和材料力学的不同在于：材料力学主要研究杆件和比较简单的杆件系统，且在研究杆件和杆件系统时，为简化数学推导，在大量实验观察的基础上，采用了关于变形和应力分布的假设，并以一个有限大的单元体作为研究对象；而弹性力学除了研究杆件外，还研究平面问题及空间问题，在研究这些问题时，并不采用变形和应力分布之类的假设，由于结构和受力的复杂性，以无限小的单元体作为研究和分析问题的出发点，并由力平衡方程、几何方程和物理方程等构成数学-力学问题求解。
1.1.2弹性力学中的几个基本概念
弹性力学中经常用到的基本概念有外力、应力、应变和位移。
作用于物体的外力可以分为体积力(体力)和表面力(面力)两种。体力是分布在物体体积内的力，如重力和惯性力；面力是分布在物体表面上的力，如流体的压力和接触力。
物体在外力作用下将产生变形。为了反抗这种变形，其内部就要产生相互作用力，称为内力。内力在各点的集度就是各点的应力。对于应力，通常用其沿作用截面的法线方向和切线方向的分量，即正应力和剪应力来表示。因为这些分量与物体的形状改变或材料的强度有直接关系。
为了考察物体受载后内部某一点P的应力，在P点从物体内取出一个微小的正六面体，它的棱边平行于坐标轴，长度为，如图1-1所示。将每个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。为了表明应力的作用面和作用方向，在正应力上加一个坐标角码，如是指作用在垂直于x轴的面上，并与x轴方向平行的正应力；在剪应力上加两个坐标角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴，如是指作用在垂直于x轴的面上而沿y轴方向的剪应力。如果某个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为一个正面。在这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。反之，如果某个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为一个负面，而在这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。图1-1所示的应力分量全部都是正的。
六个剪应力之间具有一定的互等关系。例如，以连接正六面体前后两面中心的直线为力矩轴，见图1-1，写出力矩平衡方程为
由此得到
同样可以建立其余两个相似的方程，可得出
这就证明了剪应力互等定律，即作用在两个垂直面上且垂直于该两面交线的剪应力是互等的，大小相等，正负号也相同。因此，剪应力记号的两个角码可以对调。
在九个应力分量中，只有六个独立的未知量，即三个正应力和三个剪应力。与材料力学的分析相似，利用静力平衡，过P点所作的任意斜截面上的应力都可用上述六个应力分量来确定。因此，这六个应力分量确定为P点的应力状态。应力分析的目的就是确定物体受载后各点的六个应力分量，进而求得主应力，作为强度设计的依据。
物体的形状可以用它各部分的长度和角度表示。因此，物体受外载后的变形也可以归结为长度的改变和角度的改变。例如，求物体内某点P的变形，可在P点沿坐标轴x、y、z正方向取三个微小线段PA、PB、PC，如图1-l所示。物体变形后，PA、PB、PC的长度以及它们之间的直角一般将改变。各线段的每单位长度的伸长或缩短称为正应变，用字母表示；各线段之间的直角改变以弧度为单位，称为剪应变，用字母表示。在正应变上加一个坐标角码表示伸缩的方向，如表示x方向的线段PA的正应变；在剪应变上加两个坐标角码，表示两方向线段之间的直角改变，如表示y与z两方向的线段即PB与PC之间的直角改变。正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角变小为正，变大为负。这些规定和正应力、剪应力的符号规定是相对应的。
物体内任一点的位移用它在x、y、z三轴上的投影、、表示。沿坐标轴正方向为正，反之为负。这三个投影称为该点的位移分量。
一般而论，弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量随着该点的位置而变，因而都是位置坐标的函数。弹性力学所研究的绝大多数是静不定问题，必须综合应用平衡(应力、体力、面力之间的关系)、几何(应变、位移、边界位移之间的关系)和物理(应力、应变之间的关系)三个方面的方程才能得到问题的解答。
1.1.3弹性力学的基本方程
1.平衡微分方程
在物体内任意一点P处割取一个微小的正六面体，如图1-2所示。六面体垂直于坐标轴，沿x、y、z方向的长度分别为dx、dy、dz。因为应力分量是x、y、z坐标的函数，所以作用在小单元体三对面上的应力分量是不同的。
在垂直x轴的两个面上应力分别为
在垂直y轴的两个面上的应力分别为
在垂直z轴的两个面上的应力分别为
因为正六面体是微小的，各面上所受的应力可以认为是均匀分布，其合力作用在对应面的中心。正六面体上的外力为体力，沿x、y、z轴的分量为X、Y、Z。体力X、Y、Z也可以认为是均匀分布的，其合力作用在体积中心。正六面体的受力情况如图1-2所示。
由图1-2所示的正六面体可列出三个静力平衡方程：
沿x轴的力的平衡方程
化简后，两边同除以，得。同理，由得，由得，即(1-1)
式(1-1)即为物体的平衡方程。对于这一微正六面体的力矩平衡条件，同样可以导出剪应力互等定律(1-2)
2.几何方程
当物体变形后的各点位移分量确定后，各微元体的应变分量也相应地确定了。所以位移分量与应变分量之间有着密切的关系，而这种关系纯属几何方面的。在1.2节将给出平面问题几何方程的推导，这里直接给出空间问题的几何方程：(1-3)
式(1-3)给出了六个应变分量和三个位移分量之间的关系。
3.物理方程
在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系式也就是物理方程，可以由在材料力学中已经得到的广义胡克定律给出：(1-4)
式中，E为弹性模量；G为剪切弹性模量；为泊松比。这三个弹性常量之间有如下关系：(1-5)
以上导出的3个平衡微分方程[式(1-1)]、6个几何方程[式(1-3)]和6个物理方程[式(1-4)]为弹性力学空间问题的15个基本方程。这15个基本方程中包含15个未知量：6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量u、v、w。基本方程数目和未知函数的数目相等，在适当的边界条件下是能得到解答的。
1.2弹性力学的平面问题
1.2.1平面应力和平面应变
任何弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系。因此，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题。但是如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为平面问题。这样处理可以大大减少分析和计算的工作量，且仍能满足工程上的精度要求。
平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题。当弹性体的一个方向尺寸很小，如薄板，在板的边缘有平行于板面并沿板厚均匀分布的力作用，如图1-3所示，图中S为板厚。对于这类问题，由于两个板面上无外载作用，因而两个板面上的应力分量为零：
又因为板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿着板厚度是连续分布的，所以在整个板内的所有点都有。六个应力分量只剩下平行于xoy面的三个应力分量，即，而且它们只是坐标x、y的函数，与z无关。这类问题称为平面应力问题。
当弹性体的一个方向尺寸很大，如很长的柱形体，在柱形体的表面上有平行于横截面而不沿长度变化的外力，如图1-4(a)所示。若柱形体无限长，则柱形体任一点的应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x、y的函数。此外，由于在z方向柱形体的结构型式和受力都相同，因此任一横截面都可以看作是对称面[图1-4(b)]，而对称面在z方向的位移必须为零，所以柱形体内任一点都只有x、y方向的位移u、v。由于对称，这样六个应力分量剩下四个，即和。这类问题称为平面应变问题。
1.2.2平面问题的基本方程
1.平衡方程
对于平面应力问题。
对于平面应变问题，在z方向还作用有正应力，但是自成平衡的。
由式(1-1)，得平面问题中的平衡微分方程为(1-6)
两个微分方程包含三个未知量，所以是静不定问题，必须考虑变形关系，才能解出未知量。
2.几何方程
现在推导平面问题中应变分量和位移分量间的关系式。在图1-3所示薄板和图1-4(b)所
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