第1章预备知识
本书主要是从组合的角度介绍三维流形拓扑.本章概要介绍本书后续章节中所需要的组合流形拓扑或微分流形拓扑(两者在维数≤3的情形是等价的)的*基本的相关内容.希望详细了解相关内容的读者可以参考[40]和[90].
1.1拓扑流形、微分流形与组合流形
1.1.1拓扑流形与微分流形
n维欧氏空间Rn是我们熟悉的拓扑空间.记，称之为Rn的上半(子)空间.流形是欧氏空间的一种推广.
定义1.1流形
设M是一个第二可数的Hausdorff拓扑空间，n∈N.设U是M的一个开集.若存在一个从U到Rn或Rn+的同胚，则称为M的一个图卡，称U是M的一个坐标邻域.
如果存在
满足如下条件：
(1)是M的一个开覆盖;
(2)是M的一个图卡，
则称M是一个n维拓扑流形(简称为n维流形，或n-流形)，n称为M的维数，记作dimM.通常称Φ为M的一个图册.
记M中所有存在邻域同胚于Rn+的点构成的子集为，称之为M的边界，中的点称为M的边界点.称M中的非边界点为M的内点，称M为的内部.当M紧致且时，称M是一个带边流形.当M紧致连通且时，则称M是一个闭流形.
当然一个流形可以有多个图册.当谈到流形时，通常指其一个特定的图册，或指它的极大图册(即包含M的所有图卡的图册).
当M紧致且时，是一个闭(n-1)-流形，即
例1.1Rn和Rn的开子空间都是n-流形.
例1.2设是一个闭n-流形，称之为n-单位球面.实际上，记N=(0; ;0;1)∈Sn(Sn的北极点)，令是一个同胚.类似地，记S=(0; ;0;-1)∈Sn(Sn的南极点)，有同胚是Sn的一个开覆盖.故Sn是一个n-流形，它有一个只有两个图卡的图册.S0是个0-流形，它只有两个点:1和-1.特别地，称S1为单位圆周，2-单位球面就简称为单位球面，如图1.1所示.通常也称与Sn同胚的流形为n-球面.
图1.1单位球面
例1.3设n≥1.是一个带边n-流形，称之为n-单位球体，或n-实心单位球，其边界.通常称B3为单位实心球，称与B3同胚的流形为实心球;称B2为单位圆片，称与B2同胚的曲面为圆片，通常也称与Bn同胚的流形为n-球体.
例1.4设n≥1.Tn=S1×S1× ×S1(n个因子)是一个n-流形，称之为n-环面.2-环面T2=S1×S1就简称为环面，如图1.2.
图1.2环面
例1.52-流形也称为曲面.环面是一个曲面.A=S1×I是一个带边曲面，它有两个同胚于单位圆周的边界分支.通常称A为一个平环或圆柱筒，如图1.3所示.
图1.3平环
定义1.2微分流形
设M是一个拓扑n-流形，是M的一个图册.若Φ还满足如下相容性条件：(1.2)是映射(这时也称这两个图卡是相容的)，则称M是一个n维光滑流形(或微分流形)，记为(M;Φ).称Φ为M的一个光滑图册，称为M的图册Φ中的一个图卡变换映射，如图1.4所示.
图1.4图卡变换映射
对于微分流形M上的两个光滑图册Φ1和Φ2，若Φ1中的每个图卡与Φ2的每个图卡都是相容的，则称Φ1和Φ2是相容的.称M上与Φ相容的图册的全体为M的一个微分结构，其中的每个光滑图册可以作为该微分结构的一个代表.当谈到微分流形时，通常暗指其一个确定的光滑图册Φ，或是指它的与Φ相容的极大光滑图册.
设M是m-光滑流形，N是n-光滑流形，若对于任意x∈M，存在M的一个图卡和N的一个图卡，使得，且为光滑映射，则称f为光滑映射.
例1.6在例1.2中，容易验证hNS与hSN都是C∞映射，故Sn是n维光滑流形.
例1.7Tn=S1× ×S1也是n维光滑流形.
定义1.3定向流形
设M是一个光滑n-流形，是M的一个光滑图册.若Φ中的每个图卡变换映射的雅可比矩阵的行列式都大于0，则称M是可定向的.也称这样的图册Φ为M的一个定向图册或定向，称(M;Φ)为一个定向流形.若M没有定向图册，则称M是不可定向的.
例1.8不难验证，Sn和Tn都是可定向流形.
例1.9把一个两面分别为灰色和黑色的长方形纸条的右端扭转180°，再将左边和右边对应点粘合，称所得的空间M为一个默比乌斯带，如图1.5所示.它是一个带边曲面.不难验证，默比乌斯带是不可定向的.
图1.5默比乌斯带
例1.10粘合Sn的每对对径点得到商空间可以验证，当n是偶数时，RPn是一个不可定向n-流形.特别地，称RP2为射影平面.射影平面可由一个默比乌斯带和一个圆片沿边界粘合而得，也可以看成是单位圆盘粘合其边界上的每对对径点得到的商空间.
1.1.2组合流形
设K是一个单纯复形，K的多面体为的一个重分是一个单纯复形L，满足，且对任意，存在，使得.设J和K是两个单纯复形，称映射是分片线性的(或为PL映射)，若存在J的一个重分J1和K的一个重分K1，使得f把J1的每个顶点映为K1的一个顶点，且把J1的每个单纯形线性地映满到K1的一个单纯形.
设K是一个单纯复形.记
(1.3)
(1.4)
(1.5)
则是K的一个子复形，称之为的边缘复形.
定义1.4组合流形
设M是一个拓扑n-流形，n2N.若存在一个单纯复形K和一个同胚，则称M是可以单纯剖分的，称是M的一个单纯剖分.
对于M的单纯剖分，若K的每个顶点v满足：
(i)当时，同胚于，其中是一个n-单纯形;
(ii)当时，同胚于一个n-1维单纯形，则称是组合的，称M为一个组合流形(或分片线性流形，或简单地，PL流形).
对于n-流形M的两个单纯剖分和，若是PL同胚，则称和是PL相容的.从分片线性拓扑理论(见[90])可知，若M的一个单纯剖分是组合的，则M的每个与相容的单纯剖分都是组合的.M上的一个组合结构(或PL结构)就是M的互相相容的单纯剖分的一个极大集族.
例1.11设是一个n-单纯形.的所有面构成一个单纯复形，记作，称之为的闭包复形，故n-单位实心球Bn是可以单纯剖分的.Bn是一个组合流形.
例1.12设T是一个n+1维单纯形.故n维单位球面Sn是可以单纯剖分的，Sn是一个组合流形.
组合流形的定向性也可以通过其单纯剖分来描述.
设是由顶点a0;a1; ;ap张成的一个p维单形，p≥1.若的顶点的两个排列ai0; ;aip和aj0; ;ajp相差偶数个对换，则称这两个排列是等价的.的顶点的全体排列按这种等价关系分成两个等价类，每一个等价类称为单形的一个定向.每个单形有两个定向，称为互相相反的定向.一个单形连同它的一个定向统称为一个定向单形.由顶点排列a0;a1; ;ap决定的定向单形记作ha0;a1; ;api，或简单地仍记为与它有相反定向的定向单形则记为.0-单形a0形式上仍约定对应两个定向单形a0与-a0.
设是一个定向p-单形，p≥1.对于0≤i≤p，用表示在顶点排列a0， ，ap中去掉顶点ai后所得的排列对应的定向(p-1)-单形.称定向单形的定向为在其(p-1)-面上的诱导定向.
一个定向n-单纯复形是一个单纯复形，其中的每个n-单形都被赋予了一个定向.
定义1.5定向组合流形
设M是一个组合n-流形，是M的一个对应的单纯剖分，其中K是一个定向复形.若对于K中任意两个n-单形-;当是一个n.1维公共面时，和在上的诱导定向正好相反，则称M是可定向的.K的所有定向n-单形确定了M的一个定向.这时，也称M是定向的流形.如果改变K中所有定向n-单形的定向后得到另一个定向复形，记作-K，它决定了M的另一个定向，其对应的定向流形记作-M.
设K是一个有限单纯复形，dimK=n.对每个p，0≤p≤n，K的p-单形全体的个数记为p.称(1.6)为K的欧拉示性数.
记K的整系数p-同调群Hp(K;Z)的自由生成元的个数为p，称之为K的p维贝蒂数.下面著名的欧拉-庞加莱等式表明K的欧拉示性数(K)是一个拓扑不变量(证明可参见[118])，由此可定义
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