第1章 Benjamin-Ono方程的物理背景及其怪波解
　　1.1 引言
　　1967年 Benjamin 在文献[107]中，1975年 Ono 在文献[113]中提出了具有奇性的 Hilbert 变换的发展方程
　　(1.1.1)
　　其中α，β为常数.这个方程来自光学介质中的三层光学共振、深水中的层波运动等.它是可积系统，具有孤立子，不同于KdV方程的钟形孤立子，具有有限分式的代数孤立子
　　(1.1.2)
　　其中 a，δ均为常数.
　　我们这一章主要详细叙述方程(1.1.1)的来源及更广泛的一类中等深度的流体力学色散方程，当深度参数 l →0时得到 KdV 方程，当 l →∞时得到Benjamin-Ono 方程.
　　1.2 Benjamin-Ono 方程及其孤立波解的推导
　　考虑下面二维不可压缩、理想流体在 y 方向的分层流.方程为
　　(1.2.3)
　　(1.2.4)
　　(1.2.5)
　　(1.2.6)
　　其中(u， v)表示流体速度， p 表示压力， g 表示重力常数.考虑具有没有运动的基态解
　　(1.2.7)
　　其中
　　(1.2.8)
　　当时，基态解是稳定的.
　　考虑基态解的小参数扰动及其线性化方程
　　(1.2.9)
　　ε为小参数.将(1.2.9)代入(1.2.3)—(1.2.6)中并对ε线性化，得
　　(1.2.10)
　　设沿 x 方向为正弦波传播
　　(1.2.11)
　　这里 k 为波数， w 为频率.将(1.2.11)代入(1.2.10)得
　　(1.2.12)
　　且
　　(1.2.13)
　　方程(1.2.12)连同垂直边界条件构成特征值问题， w 或 wk 为特征值， v 为特征函数.
　　在特殊的基态情况下，密度分布(常数).
　　(1.2.14)
　　流体层由两部分组成，除了有限底层(0. y0< h0)，密度为常数，固壁底为 y =0.
　　v(y)的近似边界条件为
　　(1.2.15)
　　(1.2.16)
　　在上层时(1.2.12)归结为
　　(1.2.17)
　　具边界条件(1.2.16)的解为
　　(1.2.18)
　　由此推出
　　(1.2.19)
　　另一方面，对于下层，我们寻求满足条件(1.2.15)在 y =0上和(1.2.19)在 y = h0上的解.因此满足方程(1.2.10)的上述解构成特征值问题，特征值为 w 或者 wk .
　　Benjamin 已经注意到当 k 小时有形式
　　(1.2.20)
　　其中 c0和β为特征函数的泛函. Davis 和 Acrivos 指出仅考虑*低模.
　　1.3 底层方程
　　现考虑非线性问题，对于内波，它的传播沿 x 方向在流体底层由(1.2.20)关系所描述.考虑到色散和非线性的相互作用，令
　　(1.3.21)
　　其中 c0待定，(1.2.7)和(1.2.8)在基态渐近作ε展开
　　(1.3.22)
　　考虑连续性(1.2.4)或(1.2.13)，可知 v 为二阶ε项，引入伸缩坐标和展开式(1.3.22)代入方程(1.2.3)—(1.2.6)，可得ε*低阶
　　(1.3.23)
　　从(1.3.23)消去 u1， p1，ρ1，可得
　　(1.3.24)
　　分离变量
　　(1.3.25)
　　可得满足常微分方程
　　(1.3.26)
　　则其他量可表示为 f(ξ，τ)和的式子
　　(1.3.27)
　　进而分解得
　　　(1.3.28)
　　其中非齐次项
　　(1.3.29)
　　(1.3.30)
　　消去ξ， u2， p2，ρ2，由(1.3.28)可得
　　(1.3.31)
　　其中非齐次项为
　　为使得非齐次方程(1.3.31)存在非奇性解，必须满足条件
　　(1.3.32)
　　在底部边界条件对下层的解
　　为
　　(1.3.33)
　　利用这些条件，(1.3.32)归结为
　　(1.3.34)
　　如果在 y = h0是已知的，则得到 f(ξ，τ)的方程.在 y = h0的边界条件选为 O(ε2)阶.下面得到方程在的解.
　　1.4 上层方程和 y = h0的匹配
　　采用坐标变换
　　(1.4.35)
　　在此变换下，方程(1.2.3)—(1.2.6)变成
　　(1.4.36)
　　(1.4.37)
　　(1.4.38)
　　(1.4.39)

目录
前言
第1章 Benjamin-Ono方程的物理背景及其怪波解 1
1.1 引言 1
1.2 Benjamin-Ono方程及其孤立波解的推导 1
1.3 底层方程(0≤y＜h0) 3
1.4 上层方程(y≥h0)和y=h0的匹配 6
1.5 关于方程(1.4.51)的守恒律 8
1.6 方程(1.4.51)的定常行波 9
1.7 有限深度流体的孤立波 11
第2章 Benjamin-Ono方程初值问题的光滑解 13
2.1 含扩散项的广义Benjamin-Ono方程 13
2.2 先验估计 16
2.3 广义解 21
第3章 Benjamin-Ono方程的整体低正则解 23
3.1 引言 23
3.2 Benjamin-Ono方程的适定性研究现状 23
3.3 Benjamin-Ono方程在L2空间上的大初值整体解 25
3.4 Gauge变换 27
3.5 工作空间的构造 30
3.6 空间Zk的性质 33
3.7 线性估计 39
3.8 局部的L2估计 44
3.9 双线性估计Low×High→High 50
3.10 双线性估计High×High→Low 61
3.11 光滑有界函数的乘子估计 67
3.12 定理3.3.1的证明 76
第4章 KdV-BO-Hirota方程的Hs解 90
4.1 简介 90
4.2 预备知识 92
4.3 局部结果 94
4.4 Hirota方程在Hs(1≤s≤2)上的整体解 96
第5章 BO长短波方程的Hs解 97
5.1 引言 97
5.2 某些估计的引理 98
5.3 非线性估计 101
第6章 中等深度水波方程的广义解 111
6.1 引言 111
6.2 奇性积分算子G(u)的某些性质 112
6.3 方程(6.1.6)对α>0的可解性 116
6.4 方程(6.3.13)局部解的存在性，α=0 118
6.5 方程(6.3.13)的整体可解性 120
第7章 中等深度水波方程解的渐近性 126
7.1 引言 126
7.2 一些引理 127
7.3 线性估计 131
7.4 非线性问题的衰减估计 137
第8章 中等深度水波方程的极限性质 141
8.1 引言 141
8.2 广义有限深度水波方程的整体适定性 141
8.3 线性估计 146
8.4 小初值整体适定性 161
8.4.1 工作空间E的构造 161
8.4.2 定理8.2.6的证明 164
8.4.3 定理8.2.5的证明 171
8.5 解的极限行为 176
8.5.1 解的正则性 176
8.5.2 当δ→0时解对KdV方程的逼近 178
8.5.3 当δ→∞时解对Benjamin-Ono方程的逼近 183
第9章 广义KP方程和二维Benjamin-Ono方程解的爆破 188
9.1 引言 188
9.2 局部结论 189
9.3 爆破结论 194
第10章 广义随机Benjamin-Ono方程的初值问题 200
10.1 引言 200
10.2 预备知识 203
10.3 双线性估计 206
10.4 三线性估计 210
10.5 局部适定性 213
10.6 定理10.1.2的证明 214
第11章 KdV-BO方程的低正则性问题 225
11.1 引言 225
11.2 预备知识 227
11.3 l=2时的局部解 231
11.4 定理11.1.4的证明 237
第12章 Benjamin-Ono方程孤立波解的轨道稳定性 239
12.1 孤立波解的存在性 239
12.2 主要结果 241
第13章 Benjamin-Ono方程孤立波解的渐近稳定性 245
13.1 引言 245
13.2 一些单调性结果 247
13.2.1 准备工作 247
13.2.2 调制引理 248
13.2.3 u(t)的单调性 249
13.2.4 η(t)的单调性 258
13.3 线性Liouville定理 262
13.3.1 假设二次型正定下证明定理13.3.1 263
13.3.2 对偶问题的正定二次型 276
13.4 渐近稳定性 280
13.4.1 定理13.1.1的证明 280
13.4.2 定理13.1.2的证明 284
13.4.3 注记13.1.3的证明 292
13.5 多个孤立子的情况 294
13.5.1 稳定性理论的概括 295
13.5.2 定理13.5.1的证明概括 296
13.6 弱收敛和适定性结果 299
13.6.1 弱收敛 299
13.6.2 非线性BO方程的适定性结果 300
参考文献 310