第1章 系统的数学描述
　　在系统的分析和综合过程中，首要的一步是建立系统的数学描述，即建立系统中各变量之间的数学关系。系统的数学描述分为系统的输入-输出描述和状态空间描述。系统的输入-输出描述又称为系统的外部描述，它通过建立系统的输入和输出之间的数学关系，从而描述系统的特性。在经典线性系统控制理论中的传递函数和微分方程都属于系统的外部描述。系统的状态空间描述选用能够完善描述系统行为的称为状态的内部变量，通过建立状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统的行为。系统的外部描述不是对系统全部特性的描述，而状态空间描述是对系统行为的完善描述。
　　只有一个输入和一个输出的系统(single input-single output system)称为单变量系统，用符号SISO 表示；而具有多个输入和多个输出的系统(multiple input-multiple output system)称为多变量系统，用符号MIMO 表示。本书的研究对象从经典线性控制理论的单输入-单输出线性定常系统拓展到多输入-多输出线性时变系统。本章首先从系统的外部描述出发，继而着重讨论系统的内部描述。
　　1.1 系统的输入-输出描述
　　系统的输入-输出描述揭示了系统的输入和输出之间的某种数学关系。在推导这一描述时，假定系统的内部结构是完全未知的，把系统看作一个“黑箱”，向该“黑箱”施加各种类型的输入并测量出与之相应的输出。从这些输入-输出对中可以确定系统的输入和输出之间的数学关系。可见，系统的输入-输出描述是从系统的外在表现来反映或确定系统内在的本质特性，因此又称系统的输入-输出描述为系统的外部描述。常见的单输入-单输出系统的传递函数和微分方程都是系统的输入-输出描述形式。下面，对系统的输入-输出进行更一般和全面的描述。
　　1.1.1 线性系统
　　线性系统理论主要研究多输入-多输出线性系统的相关理论，因此，首先引入以下一些概念。
　　1.数域F
　　定义1.1.1 数域F是由称为标量的元素的集合以及称为加“＋”和乘“.”的两种运算所构成的，这两种运算定义在F 上，并满足下列条件：
　　(1)α，β∈F，有
　　(1.1.1)
　　(2)加法和乘法都是可交换的。
　　(1.1.2)
　　(3)加法和乘法都是可结合的。
　　(1.1.3)
　　2. 数域F上的线性空间(X，F)
　　定义1.1.2线性空间是由称为向量的元素构成的集合X、数域F 以及称为向量加法和数乘的两种运算共同组成的，在X 和F 上定义向量加法和数乘两种运算，应满足下列诸条件：
　　1.1.2 非零初始条件与脉冲输入
　　图1.1.1 所示为RC电路的例子。
　　1.零初始条件
　　由前面的讨论可知，系统的非零初始条件也影响系统的输出，在建立系统的输入-输出描述时，为了获得输入-输出之间的唯一确定关系，必须假定系统的初始条件为零，即在初始条件为零的条件下，建立系统的外部描述。
　　这里，系统的初始条件为零是指系统在初始时刻没有能量储备。
　　而实际情况是，系统的初始条件往往不为零，这是系统输入-输出描述的局限。实际上，可以将非零的初始条件等效为在初始时刻的一个特定的输入。下面给予详细讨论。首先引入单位脉冲函数的概念。
　　3.非零初始条件与等价的脉冲输入
　　对于非零的初始条件，可以将其等价为在初始时刻系统的脉冲输入。
　　结论1.1.1非零初始条件对应的系统响应等效于在初始时刻加入脉冲输入时的系统响应。
　　考虑如下两个系统
　　 (1.1.29)

目 录
第1章 系统的数学描述 1
1.1 系统的输入-输出描述 1
1.1.1 线性系统 1
1.1.2 非零初始条件与脉冲输入 4
1.1.3 线性系统的单位脉冲响应 6
1.1.4 线性定常系统的传递函数矩阵 9
1.1.5 船舶摇艏运动的数学建模实例11
1.2 线性系统的状态空间描述 12
1.2.1 输入-输出描述的局限性 12
1.2.2 状态与状态空间 13
1.2.3 线性连续时间系统的状态空间描述 14
1.2.4 状态方程解的存在和唯一性条件 21
1.2.5 传递函数矩阵的状态参数矩阵表示 21
1.2.6 传递函数矩阵Gs(s)的实用计算方法 22
1.3 输入-输出描述到状态空间描述的转换 24
1.3.1 由微分方程或传递函数导出状态空间描述 24
1.3.2 由方块图描述导出状态空间描述 30
1.4 状态方程的对角线规范形和约当规范形 31
1.4.1 对角线规范形 32
1.4.2 约当规范形 36
1.5 线性系统在坐标变换下的特性 41
1.5.1 坐标变换 42
1.5.2 线性系统状态空间描述在坐标变换下的特性 43
1.6 组合系统的状态空间描述 45
1.6.1 子系统并联 45
1.6.2 子系统串联 46
1.6.3 子系统反馈连接 47
习题 48
第2章 线性系统的运动分析 52
2.1 引言 52
2.1.1 运动分析实质 52
2.1.2 零输入响应和零状态响应 52
2.2 线性定常系统的运动分析 53
2.2.1 零输入响应 53
2.2.2 零状态响应 62
2.2.3 线性定常系统的状态运动规律 62
2.3 线性定常系统的状态转移矩阵 65
2.3.1 状态转移矩阵 65
2.3.2 系统状态运动规律的状态转移矩阵表示 67
2.3.3 状态转移矩阵的性质 67
2.4 线性时变系统的运动分析 68
2.4.1 线性时变系统的状态转移矩阵 68
2.4.2 线性时变系统的运动规律 69
2.4.3 线性时变系统的脉冲响应矩阵 70
2.5 线性连续系统的时间离散化 71
2.5.1 数字控制系统的基本形式 71
2.5.2 离散化的假设条件 72
2.5.3 线性连续时变系统的离散化 72
2.5.4 线性连续定常系统的离散化 73
2.5.5 结论 74
2.6 线性离散系统的运动分析 75
2.6.1 迭代法求解线性离散系统的状态方程 75
2.6.2 线性离散时间系统的状态转移矩阵 76
2.6.3 线性离散时变系统的状态运动规律 76
2.6.4 线性离散定常系统的状态运动规律 77
习题 77
第3章 线性系统的能控性和能观测性 80
3.1 能控性和能观测性的定义 80
3.1.1 对能控性和能观测性的直观讨论 80
3.1.2 能控性定义 81
3.1.3 能观测性定义 82
3.2 线性连续时间系统的能控性判据 82
3.2.1 线性定常系统的能控性判据 82
3.2.2 能控性指数 89
3.2.3 线性时变系统的能控性判据 91
3.3 线性连续时间系统的能观测性判据 94
3.3.1 线性定常系统的能观测性判据 95
3.3.2 能观测性指数 98
3.3.3 线性时变系统的能观测性判据 100
3.4 对偶性原理 101
3.4.1 对偶系统 101
3.4.2 线性系统对偶性原理 102
3.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性 103
3.5.1 离散时间系统的能控性和能达性 103
3.5.2 线性离散系统的能控性判据 104
3.5.3 线性离散系统的能观测性及其判据 105
3.6 单输入-单输出系统的能控规范形和能观测规范形 106
3.6.1 能控规范形 107
3.6.2 能观测规范形 109
3.7 多输入-多输出系统的能控规范形和能观测规范形 111
3.7.1 搜索线性无关行或列的方案 112
3.7.2 旺纳姆能控规范形 114
3.7.3 旺纳姆能观测规范形 117
3.7.4 龙伯格能控规范形 118
3.7.5 龙伯格能观测规范形 121
3.8 线性系统的结构分解 122
3.8.1 能控性和能观测性在线性非奇异变换下的特性 122
3.8.2 线性定常系统按能控性的结构分解 124
3.8.3 线性定常系统按能观测性的结构分解 126
3.8.4 线性定常系统结构的规范分解 128
3.8.5 线性时变系统结构的规范分解 132
习题 132
第4章 传递函数矩阵的状态空间实现 135
4.1 实现和*小实现 135
4.2 传递函数向量的实现 142
4.2.1 单输入-多输出系统的传递函数向量的实现 142
4.2.2 多输入-单输出系统的传递函数向量的实现 144
4.3 基于矩阵分式描述的实现 145
4.3.1 基于右MFD的控制器形实现 145
4.3.2 基于左MFD的观测器形实现 152
习题 155
第5章 系统运动的稳定性 157
5.1 外部稳定性和内部稳定性 157
5.1.1 外部稳定性 157
5.1.2 内部稳定性 159
5.1.3 线性定常系统内部稳定性和外部稳定性之间的关系 159
5.2 李雅普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念 160
5.2.1 平衡状态 160
5.2.2 李雅普诺夫意义下的稳定 161
5.2.3 渐进稳定 163
5.2.4 大范围渐进稳定 163
5.2.5 不稳定平衡状态 164
5.3 李雅普诺夫第二方法的主要定理 164
5.3.1 大范围渐进稳定的判别定理 164
5.3.2 李雅普诺夫意义下稳定的判别定理 166
5.3.3 不稳定的判别定理 167
5.4 李雅普诺夫函数的常用构造方法 167
5.4.1 变量梯度法 167
5.4.2 克拉索夫斯基方法 170
5.5 线性系统的状态运动稳定性判据 171
5.5.1 线性定常系统状态运动的稳定性判据 171
5.5.2 线性时变系统平衡状态的稳定性判据 176
5.6 离散时间系统的状态运动稳定性判据 177
5.6.1 离散时间系统的李雅普诺夫主稳定性定理 177
5.6.2 线性定常离散时间系统的稳定性判据 178
习题 180
第6章 线性系统的状态反馈与状态观测器 182
6.1 状态反馈与输出反馈 182
6.1.1 状态反馈与输出反馈的定义 182
6.1.2 状态反馈和输出反馈的比较 183
6.2 状态反馈和输出反馈对系统能控性与能观测性的影响 183
6.2.1 对单输入线性定常系统，状态反馈不改变系统的能控性 183
6.2.2 对多输入线性定常系统，状态反馈不改变系统的能控性 185
6.2.3 状态反馈对系统能观测性的影响 186
6.2.4 输出反馈对系统能控性和能观测性的影响 186
6.3 单输入系统的状态反馈极点配置 187
6.3.1 极点的作用 187
6.3.2 极点可配置条件 188
6.3.3 单输入系统状态反馈算法 190
6.4 多输入系统的状态反馈极点配置 194
6.4.1 循环矩阵法 195
6.4.2 李雅普诺夫方程法 200
6.4.3 能控规范形法 203
6.5 状态反馈对传递函数矩阵的影响 205
6.5.1 单输入-单输出线性定常系统情况 205
6.5.2 多输入-多输出线性定常系统情况 208
6.5.3 状态反馈对能观测性的影响 209
6.6 状态不完全能控系统的极点配置问题 210
6.7 输出反馈的极点配置 212
6.8 状态反馈动态解耦 213
6.8.1 动态解耦 213
6.8.2 传递函数矩阵的两个特征量 214
6.8.3 可解耦条件 215
6.8.4 确定解耦控制矩阵对{K，L}的算法 216
6.9 线性二次型*优控制 223
6.9.1 LQ问题 223
6.9.2 有限时间LQ问题的*优解 224
6.9.3 无限时间线性二次型*优控制 229
6.9.4 *优跟踪问题 233
6.9.5 矩阵黎卡提方程的求解 236
6.10 线性二次型*优控制系统设计实例——二级倒立摆*优控制系统的设计 236
6.10.1 二级倒立摆的数学模型 236
6.10.2 系统能控性及能观测性的检验 237
6.10.3 二级倒立摆*优控制器的设计 238
6.10.4 二级倒立摆系统仿真 239
6.11 线性系统的全维状态观测器 241
6.11.1 状态重构和状态观测器 241
6.11.2 状态重构的可能性 242
6.11.3 开环状态观测器 243
6.11.4 闭环状态观测器 243
6.12 线性系统的降维状态观测器 248
6.13 基于观测器的状态反馈系统 251
6.13.1 基于观测器的状态反馈系统的状态空间描述 251
6.13.2 基于观测器的状态反馈系统的特性 252
习题 254
附录1 船舶操纵摇艏运动K-T方程推导 259
附录2 Z形实验计算K、T参数 265
参考文献 267