第1章 微积分初步
　　在物理世界中运动无处不在，而运动往往是通过量与量之间的依赖关系来刻画的.这种变量之间的依赖关系就是数学中所谓的“函数”，它是微积分研究的基本对象.而极限方法是研究函数的一种基本方法，也是微积分的理论基础.
　　声明本章仅给出极限的描述性定义.其严格的形式定义将在《大学数学基础》中讲述，在此之前，本章所给出的极限、连续、导数、积分等基本理论暂时无法给出证明，因此我们先承认它们.本章旨在使读者学会如何运用这些理论来解决微积分相关的问题，而这些理论的证明我们将在《大学数学基础》中给出.
　　1.1 函数的极限
　　1.1.1 函数极限的描述性定义
　　函数的极限可以分为两种情形:à自变量趋于有限数时函数的极限;á自变量趋于无穷大(又分为正无穷大和负无穷大)时函数的极限.下面给出它们各自的描述性定义.
　　定义1.1.1设函数附近有定义(可能在a处没有定义).
　　(i)如果存在常数，使得当x无限接近于a时，函数值f(x)无限接近于l(即无限接近于0)，则称函数f在a处存在有限的极限(或说极限存在且有限).l叫做函数f在a处的极限，记作
　　(ii)如果当x无限接近于a时，函数值f(x)可以大于任何给定的(正)实数，则称f在a处的极限为正无穷，记为
　　(iii)如果当x无限接近于a时，函数值f(x)可以小于任何给定的(负)实数，则称f在a处的极限为负无穷，记为
　　注:点a的“附近”一般是指包含a的某个开区间，有时可能不包含a.
　　例1.1.1 从函数的图像可以看出(图1.1).
　　图1.1 函数上的图像
　　例1.1.2 不难看出
　　定义1.1.2设;函数f在区间(或)上有定义.
　　(i)如果存在常数，使得当x趋于正无穷+∞(或负无穷-∞)时，函数值f(x)无限接近于l(即jf(x) lj无限接近于0)，则称函数f在+∞(或/∞)处存在有限的极限(或说极限存在且有限).l叫做函数f在+∞(或-∞)处的极限，记作
　　(ii)如果当x趋于正无穷+∞(或负无穷/∞)时，函数值f(x)可以大于任何给定的(正)实数，则称f在+∞(或-∞)处的极限为正无穷，记为
　　(iii)如果当x趋于正无穷+∞(或负无穷/∞)时，函数值f(x)可以小于任何给定的(负)实数，则称f在+∞(或-∞)处的极限为负无穷，记为
　　注:+∞和-∞只是表示数值变化趋势的符号，并不是实数，即但是，对于任意实数x，我们有-∞<x<+∞
　　例1.1.3
　　例1.1.4
　　在定义1.1.1中，并没有指出x是以何种方式趋于a的.我们可以考虑x仅从a的左侧
　　趋于a(即x<a且)的情形，或仅从a的右侧趋于a(即x>a且)的情形.
　　记号
　　定义1.1.3设:我们称是f在a处的
　　(i)左极限:如果f在a的左侧附近有定义，且当x从a的左侧趋于a但时，函数值f(x)无限接近于l，记作
　　(ii)右极限:如果f在a的右侧附近有定义，且当x从a的右侧趋于a但时，函数值f(x)无限接近于l，记作
　　注:当l=+∞时，函数值无限接近于l是指函数值可以大于任何给定的(正)实数;当l=-∞时，函数值无限接近于l是指函数值可以小于任何给定的(负)实数.
　　下面的极限存在定理给出了一个函数在一点处极限存在的充要条件.
　　定理1.1.4 设f在左右两侧附近均有定义.记Df为f的定义域.
　　情形1:
　　此时，存在当且仅当f在a处左、右极限存在且都与函数值f(a)相等.若f在a处极限存在，则
　　情形2:
　　此时，存在当且仅当f在a处左、右极限存在且相等.
　　若f在a处极限存在，则
　　例1.1.5 因此在0处极限不存在.
　　例1.1.6 定义函数f满足:我们有
　　由于左、右极限不相等，根据极限存在定理，f在1处极限不存在.
　　例1.1.7 设判断f和g在0处的极限是否存在.若存在，求出极限值.
　　解:首先，
　　对于:所以
　　因此f在0处存在极限，且
　　对于:所以对于:所以
　　g在0处的左、右极限不相等，因此根据极限存在定理，g在0处的极限不存在.
　　习题1.1.8 定义函数f满足:确定f在1处的极限(即先判断极限是否存在，若存在，求出极限值).
　　例1.1.9考虑向下取整函数，即对于是不超过x的*大的整数.例如:时，始终有
　　f(x)=n-1，因此
　　而当时，始终有f(x)=n，因此
　　也就是说，f在n处的左极限和右极限都存在，但是不相等.根据极限存在定理，函数f在n处的极限不存在.
　　1.1.2 极限的性质、参考极限和极限运算法则
　　定理1.1.5 (极限的**性)如果存在，其中a2R，那么该极限**.
　　注:上述定理说明:
　　(1)如果有，其中L;M2R，则必定有L=M;
　　(2)如果有;则不可能存在使得;
　　(3)如果有;则不可能存在使得
　　命题1.1.6 (参考极限)设:我们有
　　命题1.1.7 (函数极限运算法则)设是常数.如果函数f和g都在a处
　　存在有限的极限，那么有g在a处存在有限的极限，且
　　(ii)在a处存在有限的极限，且，特别
　　地，对在a处存在有限的极限，且
　　(iv)若f在a附近恒大于等于零，则在a处存在有限的极限并且
　　注:(1)上述命题每项都有两个结论:一是说明极限存在;二是说明极限值是什么.
　　(2)上述命题要求函数f和g在a点的极限都必须存在且有限.
　　例1.1.10 计算
　　解:由参考极限，以及极限的运算法则可知存在并且
　　命题1.1.8设，P是一个实系数多项式函数满足
　　则存在且
　　注:(1)证明留作练习.
　　(2)是“求和符号”，就是.
　　命题1.1.9设R是一个实系数有理函数，即存在两个实系数多项式函数P和Q，其中;使得:记R的定义域为DR，设，则存在且
　　注:(1)证明留作练习.
　　(2)即Q不是零函数.但是Q可以有零点(即取值为0的点).
　　(3)事实上，R的定义域是所有使得Q的值不为0的实数的集合.
　　例1.1.11 计算:
　　解:设，我们有
　　由参考极限，以及极限运算法则得
　　因此，所求极限存在且
　　习题1.1.12 计算:

目录
序
前言
作者的话
第1章 微积分初步 1
1.1 函数的极限 1
1.1.1 函数极限的描述性定义 1
1.1.2 极限的性质、参考极限和极限运算法则 5
1.1.3 复合函数的极限 8
1.1.4 函数极限的判定 9
1.2 函数的连续性 10
1.2.1 定义 10
1.2.2 常见的连续函数 11
1.2.3 连续函数的运算 12
1.2.4 函数的连续延拓 13
1.3 闭区间上连续函数的性质 14
1.3.1 有界性与*大值*小值定理 14
1.3.2 零点定理与介值定理 15
1.4 导数 16
1.4.1 导数的定义 16
1.4.2 函数的可导性与连续性的关系 19
1.4.3 常见函数的导数 20
1.4.4 函数的求导法则 22
1.4.5 复合函数的导数 24
1.4.6 导数与函数的单调性 24
1.4.7 高阶导数 26
1.5 原函数与不定积分 27
1.5.1 定义与性质 27
1.5.2 基本积分表 30
1.6 定积分 32
1.6.1 定积分的定义和几何意义 32
1.6.2 定积分的基本性质 34
1.6.3 定积分的计算 35
第2章 常用函数 39
2.1 有理函数、对数函数、指数函数和幂函数 39
2.1.1 多项式函数和有理函数 39
2.1.2 自然对数函数 41
2.1.3 底是b的对数函数 46
2.1.4 反函数及其主要定理 46
2.1.5 指数函数 48
2.1.6 幂函数 52
2.1.7 比较增长率 54
2.2 双曲函数 56
2.2.1 双曲正弦函数 57
2.2.2 双曲余弦函数 58
2.2.3 双曲三角关系式 59
2.2.4 双曲正切函数 60
2.3 反双曲函数 61
2.3.1 反双曲正弦函数 61
2.3.2 反双曲余弦函数 63
2.3.3 反双曲正切函数 65
2.4 三角函数及其反函数 67
2.4.1 三角函数 67
2.4.2 反正弦函数 67
2.4.3 反余弦函数 68
2.4.4 反正切函数 69
2.5 函数值的比较(在一点附近) 72
2.5.1 小o和大O 72
2.5.2 函数的等价性 74
第3章 复数81
3.1 复数的定义与几何解释 81
3.2 复数的运算和向量 83
3.3 复数的模与辐角 87
3.3.1 模与辐角的定义 87
3.3.2 模与辐角的性质 91
3.4 指数形式与复指数及其应用 95
3.4.1 指数形式 95
3.4.2 幺模群 96
3.4.3 复指数 97
3.4.4 三角函数的和差化积以及积化和差 98
3.5 复数的n次根 103
3.5.1 n次单位根群 103
3.5.2 解方程 zn = a 105
3.6 解二次复系数方程 106
3.7 实变量复值函数 111
第 4 章 常微分方程 113
4.1 定义 113
4.2 一阶线性微分方程 115
4.2.1 指数函数及其特征 116
4.2.2 解集的构成与叠加原理 118
4.2.3 齐次方程的解 119
4.2.4 常数变易法 120
4.2.5 非预解形式的一阶方程举例 125
4.2.6 初值问题:解的存在**性 129
4.3 二阶线性常系数微分方程 130
4.3.1 定义与解集的构成 130
4.3.2 齐次方程的解 131
4.3.3 右端项为指数函数与多项式函数之积时特解的寻求 134
4.3.4 初值问题:解的存在**性 135
索引 138