如果要计算出1347834＋2148458的结果，我们可以使用网格计算法（即计算的时候使用四根垂直线与一条水平直线相交所形成的网格），但很快我们计算的欲望就会消失殆尽，而且很有可能在得出正确答案之前我们就已经算错了。幸运的是，人们已经发明了比网格计算法更好的方法来表示和计算数字。此类方法被称作记数系统，接下来我们简单地学习其中的一部分。
首先，记数系统的精确定义是什么呢？总的来说，记数系统是记数方法和规则的合集，除了可以计算之外，还可以表示以及命名任意一个自然数。
记数系统可以分为进位制和非进位制。
在非进位制的记数系统中，每个数字都由一组符号决定，其数值与所在数字中的位置无关。
相反，在进位制的记数系统中，组成这个数字的每一个符号的数值都要取决于这个符号本身以及这个符号所处数字中的位置。
为了帮助大家更好地理解，我们来看以下这些例子。一个非进位制的典型应用就是古埃及记数法，它用如下这些符号表示（见表1—1）：
古罗马记数法也是非进位制的一种变体，但是它略显复杂，除了可以应用于加法运算，还可以应用于其他的运算。鉴于该记数系统里的规则和限制都有一点长，所以我们在下方只列出一部分数值和例子（见表1—2）：
继续讲记数系统，我们还需补充一点，那就是非进位制的记数法有两处很大的不便。第一，如果要写出数值很大的数，我们必须堆积很多符号或者发明一些新符号，但是这些新符号可能不易于记忆。第二，用这种方式表示的数字，运算起来会很复杂，毕竟没有有效的算法规则。
进位制的记数系统则能解决这两个问题。正如我们在前一节中指出来的，在进位制中，数字的数值由两部分决定：所使用的符号及所处数字中的位置。事实上，大家都知道．在1321651这个数中，数字“1”因为所处的位置不同而代表了三个不同的数值：1000000，1000和1。
第一个真正意义上的进位制的记数系统是古巴比伦记数法，它只使用两个符号（用楔形文字表示，见图1—2）：
小于P60的数，可以用这两个符号累计，再分别算出它们的数值。所以，53这个数就可以表示成如下形式（见图1—3）：对于大于59的数来说，就需要使用进位制了，每个符号根据所处数字中的位置所代表的数值分别是60，60×60＝3600，60×60×60＝216000等（这种情况下，我们就说这是一个以60为基数的计算系统）。
举例来说，数字662721＝3×216000＋4×3600＋5×60＋21，若用古巴比伦记数法来表示，则应该写成下面这种形式（见图1—4）：
除了古巴比伦使用进位制之外，中国和玛雅文明也使用了不同的进位制记数法。P2－5
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