第1章 实数
1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质
&
1.2 重要的实数类
一、知识点总结与补充
1.与确界相关的基本概念
(1)集合的上确界(最小上界)
(2)集合的下确界(最大下界)
(3)函数的上确界(值域的上确界)sup
(4)函数的下确界(值域的下确界)inf
2.完备(连续)公理
如果X与Y是R的非空子集，且具有性质:有，则，使对有.
3.确界原理
实数集的任何非空有上界(下界)的子集有唯一的上确界(下确界).
注利用完备(连续)公理可证明确界原理.
4.数学归纳原理
如果E是自然数集N的子集，并且当时，x+1也属于E，那么E=N.用符号表示为.
5.算术基本定理
每个自然数能唯一地不计因数顺序的区别表示成乘积的形式
n=p1 pk，
其中p1， ，pk都是素数.
6.阿基米德原理
如果h是任意一个固定的正数，那么对于任何实数x，必能找到唯一的整数k，使得.
7.有理数和无理数的稠密性
有理数集Q和无理数集均在R中稠密.
8.实数集的位置记数法引理
如果固定实数q＞1，那么，对于任何正数x2R，必有唯一的整数，使得.
二、例题讲解
1.对于定义在集合D R上的函数f(x)和g(x)，证明:
(1)
(2)
证 这里只给出(1)的证明，(2)的证明是类似的.
先证(1)的第一个不等式.首先，由下确界的定义，显然有
因此
再次由下确界的定义，可知
再证(1)的第二个不等式.由上、下确界的定义易见
这蕴含着
再由下确界的定义即得
移项即得所要证的不等式.
注 容易给出(1)和(2)中不等式取严格不等号的例子，此处从略.
2.设函数f(x)于集合上有界，记.
证明:
证 由上、下确界的定义可知，使得.且.若M=m，结论显然成立.若，则当时，又显然.再结合式，由上确界的定义即
得结论.
3.给出和的表达式.
解 容易验证
和
此外，也可以通过解如下方程组求得
注 (几何意义)为a和b的中点，为两点距离的一半.
4.函数(u=u(x))的正部与负部定义如下:
正部
负部
因此我们有如下的分解:
函数的分解.
绝对值的分解.
5.设为一个无限集，常数a＞0.如果且，都有成立.证明:数集A是无界集.
证 反证法.假设A是有界集，则，使得.取自然数n使得.将闭区间分成2n等份，得到2n个闭区间.因为A是无限集，所以在上面的2n个闭区间中至少有一个闭区间包含了A中两个不同的元素a1，a2，此时，矛盾.
6.(无理数的稠密性)证明:设，则，使得.
证1 由和有理数在R中的稠密性，可知，使得，所以.显然，所以取即可.
证2 由和有理数在R中的稠密性，可知，使得，所以.若，则，则取即可.若，则.同样由有理数的稠密性易知，使得，所以.显然，则取即可.
三、习题参考解答(1.2节)
1.依据归纳原理证明:
(1)当且时，同时只有n=1或x=0时等号成立(伯努利不等式).
(2).
证 (1)当n=1或x=0时等号显然成立.往证.
当n=1时，
因此.设，则.
故，因此据归纳原理可知E=N.至此，伯努利不等式得证.
(2)牛顿二项式可改写为
这里是二项式系数.往证.
显然.设，则
这里利用了如下公式:当k=1，2， ，n时，故，因此据归纳原理可知E=N.至此，牛顿二项式得证.
2.设S为非空有下界数集.证明:
证 先证，所以.
再证，所以，所以ξ为下界.对S的任何下界m，由定义.又因为，所以也有，故ξ为最大下界，即.
3.设-A是形如-a的数的集合，这里，试证.
证 由下确界的定义，使得，所以.又显然，所以，故由上确界的定义可知.
4.设A+B是形如a+b的数的集合，A B是形如a b的数的集合，其中.试检查是否总有
(1)sup(A+B)=supA+supB.
(2)sup(A B)=supA supB.
解 (1)显然，所以，故.另一方面，使得.所以.显然，因此由上确界的定义可知sup(A+B)=supA+supB.
另外一种证明:首先，容易看出.事实上，对于任意的，则z=a+b，其中，显然.
因此，这就证明了sup(A+B).supA+supB.如果sup(A+B)<supA+supB，则存在，使得.
因此，这与矛盾.因此，我们得到sup(A+B)=supA+supB.
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