冯承天，著有《从一元一次方程到伽罗瓦理论》《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理——细说五次方程无求根公式》《从代数基本定理到超越数——一段经典数学的奇幻之旅》；译有《对称》、《寻觅基元：探索物质的终极结构》、《怎样解题：数学思维的新方法》、《恋爱中的爱因斯坦：科学罗曼史》等。

前 言

读书，始读，未知有疑；其次，则渐渐有疑；中则节节是疑．过了这一番，疑渐渐释，以至融会贯通，都无所疑，方始是学．
——宋·朱熹《朱子语类》
物理量是标量、矢量，或更一般的张量，而物理规律则是这些量之间的一些关系式，这就使得矢量与矢量分析，张量与张量分析在诸如力学、电磁学、空气动力学、流体力学、连续介质力学，以及相对论等物理科学中有重大应用了．
本书就是论述矢量和张量理论以及它们的基本应用的一本小册子．笔者忆及在初学这些课题时遇到的不少困难，产生的一个又一个的问题，所以从最简单的三维空间的矢量讲起，以坐标变换为主要线索，用详细论述的方式，对矢量和张量的种种方面作了统一处理．一系列的教学实践使笔者深信：一位掌握微积分初步运算和具有行列式与矩阵概念和运算的读者，只要勤于思考，一定能理解书中的内容；只要乐于思考，也一定能掌握书中所使用的数学方法并应用到各自的专业中去，同时给自己带来数学之美的享受．
笔者在书后的参考文献中列出了自己在研读这些专题和撰写本书时读过的部分好书，希望对那些想继续深入研究的读者有所帮助．
最后，感谢首都师范大学栾德怀教授的长期关心、教导和鞭策，感谢上海师范大学陈跃副教授的许多宝贵意见和建议，还有吉林大学吴兆颜教授的讨论和鼓励．感谢华东师范大学出版社的王焰社长及各位编辑，他们为本书的出版给予了极大的支持和帮助．
希望本书能成为广大数学爱好者学习矢量与矢量分析，张量与张量分析的一本可读性较强的读物，也极希望得到大家的批评与指正．
2020年6月

第一部分 矢量代数理论

第一章 数、矢量和矢量的加法与数乘运算
§1．1 数与数域
§1．2 矢量及其表示
§1．3 矢量的加法与减法
§1．4 矢量的数乘运算
§1．5 应用：欧拉线

第二章 矢量构成向量空间
§2．1 向量空间
§2．2 向量的线性相关与无关
§2．3 向量空间的基
§2．4 矢量：二维平面，三维空间，以及矢量的分解
§2．5 坐标系与同构
§2．6 直角坐标系
§2．7 右手系与左手系

第三章 矢量的内积和矢量积
§3．1 矢量内积的定义
§3．2 内积与射影
§3．3 矢量的内积满足分配律
§3．4 用坐标来计算矢量的内积
§3．5 矢量的矢量积
§3．6 矢量积的分配律以及矢量积的坐标表达式
§3．7 二类矢量

第四章 矢量的矢量混合积和矢量三重积
§4．1 三个矢量的矢量混合积及其几何意义
§4．2 矢量的矢量混合积的坐标计算公式
§4．3 矢量的矢量混合积的一些性质
§4．4 计算［A B C］2
§4．5 矢量混合积给出的几何和代数关系
§4．6 矢量的矢量三重积
§4．7 应用：球面三角形的正弦定理

第二部分 矢量三重系，矢量三重系的变换和张量，以及笛卡儿张量与4维张量

第五章 矢量三重系
§5．1 矢量三重系和爱因斯坦求和规约
§5．2 度规gij
§5．3 度规矩阵及其行列式
§5．4 （gij）的逆矩阵（gij）
§5．5 三重系e1，　e2，　e3的对偶系e1，　e2，　e3
§5．6 三重系与其对偶系之间的一些代数关系
§5．7 三重系与其对偶系之间的一个几何关系
§5．8 矢量在三重系及其对偶系下的分量

第六章 三重系之间的变换
§6．1 三重系之间的变换以及相应的对偶系之间的变换
§6．2 矢量的逆变分量的变换方式
§6．3 矢量的协变分量的变换方式
§6．4 对偶系之间的变换
§6．5 度规gij的变换方式——张量概念的一个模型
§6．6 量gij的变换方式

第七章 三重系变换下的张量
§7．1 三重系变换下张量的定义
§7．2 三重系下张量的加法、减法、张量积和数乘
§7．3 张量的缩并
§7．4 张量的内积运算
§7．5 张量的商法则
§7．6 相伴张量、对称张量、反对称张量
§7．7 从张量的运算看矢量的矢量积

第八章 三维空间正交变换下的张量——笛卡儿张量
§8．1 三维空间中的正交归一基
§8．2 三维空间中的正交变换
§8．3 正交变换的几何意义——保持矢量的内积不变
§8．4 正交变换的一些特殊元：转动、镜面反射、反演变换
§8．5 二维空间中转动的矩阵表示和矢量
§8．6 2阶笛卡儿张量的一个模型
§8．7 三维空间中的转动变换给出的笛卡儿张量
§8．8 2阶张量的矩阵表示
§8．9 （γij）的一个性质
§8．10 A×B在转动下的变换
§8．11 O（3）的两类笛卡儿张量

第九章 闵可夫斯基空间中的张量
§9．1 惯性系之间的洛伦兹变换
§9．2 闵可夫斯基空间
§9．3 庞加莱空间
§9．4 4维张量
§9．5 4维矢量与4维2阶张量的结构
§9．6 4维不变量
§9．7 相对性原理和物理规律的协变性

第三部分 数量场的梯度，矢量场的散度与旋度

第十章 变矢量的微分运算
§10．1 变矢量和导矢量
§10．2 矢量求导运算在三重系下的表达式
§10．3 矢量求导运算的公式
§10．4 弧长作为参数时曲线的切线矢量
§10．5 曲线的曲率与主法线矢量
§10．6 副法线矢量和曲线上的活动坐标系
§10．7 曲线的挠率以及弗雷内—塞雷公式
§10．8 应用：螺旋线
§10．9 应用：空间曲面的法矢量

第十一章 数量场的梯度
§11．1 数量场和矢量场
§11．2 数量场的梯度
§11．3 算子Δ以及梯度的运算性质
§11．4 数量场的方向导数
§11．5 矢量场可能有的势

第十二章 矢量场的散度
§12．1 矢量场散度的定义
§12．2 散度的意义
§12．3 散度的两个公式
§12．4 拉普拉斯算子和调和函数


第十三章 矢量场的旋度
§13．1 矢量场旋度的定义
§13．2 旋度的两个公式
§13．3 从一个特例看旋度的意义
§13．4 有关梯度、散度、旋度的一些重要公式

第四部分 矢量场的线积分和面积分

第十四章 矢量场的线积分与面积分
§14．1 变矢的通常积分
§14．2 数量场的线积分
§14．3 矢量场的切线线积分
§14．4 应用：保守矢量场
§14．5 保守矢量场的充要条件是场无旋
§14．6 数量场的面积分
§14．7 矢量场给出的面积分

第十五章 散度定理、斯托克斯定理和格林恒等式
§15．1 一条重要的引理
§15．2 有关梯度的一个积分定理
§15．3 散度定理
§15．4 有关旋度的一个积分定理
§15．5 应用：连续性方程
§15．6 平面中的斯托克斯定理——格林定理
§15．7 斯托克斯定理
§15．8 斯托克斯定理的逆定理
§15．9 格林第一恒定式和第二恒等式

第五部分 曲线坐标和协变微分

第十六章 曲线坐标
§16．1 一个例子——平面极坐标
§16．2 曲线坐标的概念
§16．3 柱面坐标
§16．4 球面坐标
§16．5 曲线坐标下的矢量三重系
§16．6 基本度量形式以及正交曲线坐标系
§16．7 雅可比矩阵、雅可比行列式，以及体积元
§16．8 拉梅系数
§16．9 应用：柱面坐标
§16．10 应用：球面坐标
§16．11 矢量关于正交曲线坐标系的物理分量
§16．12 矢量关于活动坐标系的几何分量

第十七章 曲线坐标系的变换和基本方程
§17．1 曲线坐标系的变换
§17．2 矢量分量的变换方式
§17．3 度规张量gij
§17．4 曲线坐标系下的基本方程
§17．5 用度规张量表示克氏符号
§17．6 克氏符号的变换性质
§17．7 克氏符号的一个重要性质

第十八章 曲线坐标下的协变微分
§18．1 曲线坐标与协变微分
§18．2 矢量场逆变分量的协变微分和协变导数
§18．3 矢量场协变分量的协变微分和协变导数
§18．4 张量场的协变微分和协变导数
§18．5 gij和gij的协变微分
§18．6 张量的和与张量积的协变微分和协变导数
§18．7 应用：曲线坐标下的梯度
§18．8 应用：曲线坐标下的散度
§18．9 应用：曲线坐标下的旋度
§18．10 应用：曲线坐标下的拉普拉斯算子

第六部分 黎曼空间中的张量

第十九章 n维空间Rn及其中的坐标变换
§19．1 n维空间Rn
§19．2 Rn中的坐标变换
§19．3 一些例子
§19．4 容许变换下的向量
§19．5 容许变换下的张量
§19．6 容许变换下张量的代数运算
§19．7 容许坐标变换的一些特例

第二十章 黎曼空间和张量分析
§20．1 逆变向量沿曲线上的通常导数
§20．2 线元和度量形式
§20．3 黎曼空间
§20．4 欧几里得空间作为黎曼空间
§20．5 gij和gij
§20．6 向量的内积
§20．7 向量的长度、两个向量之间的夹角，以及曲线的弧长
§20．8 相对张量和绝对张量
§20．9 克氏符号
§20．10 克氏符号的变换法则
§20．11 应用：黎曼空间中的测地线
§20．12 数量场和协变向量场的协变微分
§20．13 逆变向量场和张量场的协变微分
§20．14 张量场沿一条曲线的绝对导数
§20．15 张量场在一条曲线上的平行移动
§20．16 曲率张量
§20．17 协变曲率张量
§20．18 协变曲率张量的对称性
§20．19 里奇公式
§20．20 比安基第二恒等式
§20．21 里奇张量和曲率标量
§20．22 爱因斯坦张量及其性质
§20．23 应用：爱因斯坦引力场方程

附录
附录1 证明矢量的矢量积对加法满足分配律
附录2 对于任意三阶矩阵A和B证明AB＝AB
附录3 三个变量的正定二次形式
附录4 群的概念与庞加莱群及其子群
附录5 旋度的物理意义
附录6 ∫cF·dr与积分路径无关是F是保守矢量场的充分条件
附录7 矢量场A是保守场的充要条件：A是无旋的
附录8 证明§15．7中的引理15．7．1：∮cfdx＝∫∫sfzdzdx－fydxdy
附录9 3×3对称满秩矩阵的逆矩阵以及关于它的行列式导数的一个表达式
附录10 置换符号与置换张量
附录11 变分法中的欧拉—拉格朗日方程
附录12 浅说外微分形式及其外积与外微分

参考文献