第1章 集合论基础
本章介绍有关集合论的一些基本知识.这里所介绍的集合论通常称为“朴素集合论”.我们从“集合”和“元素”两个基本概念出发给出集合运算、关系、映射、偏序、集合的基数和选择公理等方面的知识.
1.1 集合及其基本运算
集合是由某些具有某种共同特点的个体构成的全体.这些个体称为集合的元素或元.我们通常用大写字母A，B， 表示集合，小写字母a，b， 表示集合的元素.如果a是A的元素，记作a∈A，读为a属于A.如果a不是A的元素，则记作a.∈A，读为a不属于A.
我们常用写出集合全体元素都满足的共同性质的方法来表示集合.例如，A={x|x是小于4的正整数}，在这里，花括号表示“ 的集合”，竖线表示“使得”这个词，整个式子读为“A是所有使得x为小于4的正整数x的集合”.又如，{x|x2=4，且x是正整数}即由一个元素2构成的集合.凡由一个元素构成的集合，常称为独点集或单点集.此外，也常将一个有限集合的所有元素列举出来，再加花括号以表示这个集合.例如，{a，b，c}表示由元素a，b，c构成的集合.习惯上，用N表示全体自然数构成的集合，Z表示全体整数构成的集合，Q表示全体有理数构成的集合，R表示全体实数构成的集合，Z+表示全体正整数构成的集合，Q+表示全体正有理数构成的集合，C表示全体复数构成的集合.
集合也可以没有元素.例如，平方等于2的有理数的集合.这种没有元素的集合称为空集，记作.
如果集合A与B的元素完全相同，就说A与B相等，记作A=B，否则就说A与B不相等，记作A.=B.
如果A的每一个元素都是B的元素，就说A是B的子集，记作A.B或B.A，分别读为A包含于B或B包含A.
定理1.1.1 设A，B，C是集合，则
(1)A.A;
(2)若A.B，B.A，则A=B;
(3)若A.B，B.C，则A.C.
我们认为空集包含于任一集合，从而可以得到结论:空集是唯一的.
如果A.B且A.=B，即A的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是A的元素，就说A是B的真子集，记作A.B，A.B或B.A， B.A，分别读为A真包含于B和B真包含A.
属于一个集合的元素可以是各式各样的.特别地，属于某集合的元素，其本身也可以是一个集合.为了强调这个特点，这类集合常称为集族，并用花写字母A，B， 表示.例如，令A={{1}，.}，则它的元素分别是独点集{1}和空集.
设X是一个集合，我们常用P(X)，PX或2X表示X的所有子集构成的集合，称为集合X的幂集.例如，集合{a，b}的幂集.
给定两个集合A，B，由A中所有元素及B中所有元素可以组成一个集合，称为集合A与B的并，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.在此采用“或”字并没有两者不可兼的意思，也就是说既属于A又属于B的元素也属于A∪B.如果取A与B的公共部分，这个集合称为集合A与B的交，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.若集合A与B没有公共元素，即则称A与B不相交，或相交为空集.
在讨论具体问题时，所涉及的各个集合往往都是某特定的集合U的子集.我们称这样的特定的集合U为宇宙集或基础集.在基础集U明确的情况下，设集A，B.U，则集合称为A的余集，或补集，记作关于集合B的差集是B∩Ac，或者记作B.A，即B.A={x|x∈B且x.∈A}.这样的集又称为B与A之差.
集合的并、交、差三种运算之间，有以下的运算律.
定理1.1.2 设A，B，C是集合，则以下等式成立:
(1)(幂等律)A∪A=A，A∩A=A;
(2)(交换律)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A;
(3)(结合律)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C);
(4)(分配律)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)，(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);
(5)(De Morgan律)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)，A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C).
证明这里我们仅给出De Morgan律的第一个等式的验证过程，其余等式的验证读者可作为练习自证.
若，则x∈A且.故x∈A且.于且，从而.这说明.
反之，用类似的方法可得.由定理1.1.1(2)知.
在解析几何中，平面上建立笛卡儿直角坐标系后，平面上的每一点对应着唯一的有序实数对.可以把有序实数对概念推广到一般集合上.给定集合A，B，集合称为A与B的笛卡儿积，或称乘积，记作A×B.在有序偶(x，y)中，x称为第一个坐标，y称为第二个坐标;A称为A×B的第一个坐标集，B称为A×B的第二个坐标集.集合A与自身的笛卡儿积A×A常记作A2.
例1.1.3 平面点集R2=R×R是所有有序实数对(x，y)构成的集合.
两个集合的笛卡儿积定义可以推广到任意有限个集合的情形.对于任意n个集合A1，A2， ，An，n为正整数，集合{(x1，x2， ，xn)|x1∈A1，x2∈A2， ，xn∈An}称为A1，A2， ，An的笛卡儿积，记作A1×A2× ×An，其中(x1，x2， ，xn)为有序n元组，xi(1.i.n)称为(x1，x2， ，xn)的第i个坐标，称为A1×A2× ×An的第i个坐标集.常记n个集合A的笛卡儿积为An.例如，Rn表示n个实数集R的笛卡儿积.
习题1.1
1.设A1，A2， ，An都是集合，其中n.1.证明:若，则A1=A2= =An.
2.设A是集合.试判断以下关系式的正确与错误:
3.计算和.
4.设A，B1，B2， ，Bn是集合，n为正整数.证明:
(1);
(2).
5.设X，Y是集合且A，B.X，C，D.Y.证明:
(1)(A×C)∩(B×D)=(A∩B)×(C∩D);
(2)(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(A×D)∪(B×C)∪(B×D).
6.设集合A含n个元素，问P(A)含多少个元素?
1.2 关系、映射与偏序
1.2.1 关系与映射
定义1.2.1若R是集合A与B的笛卡儿积A×B的一个子集，即R.A×B，则称R是从A到B的一个关系.如果(x，y)∈R，则称x与y是R-相关的，并记作xRy.若X.A，则称集合{y∈B|存在x∈X，使得xRy}为集合X对于关系R而言的像集，并记作R(X).
定义1.2.2 从集合A到A的关系称为集合A上的关系.集合A上的关系△(A)={(x，x)|x∈A}称为恒同关系或者对角线关系，常简写△(A)为△.
定义1.2.3 (1)设R是从集合A到B的一个关系.则集合{是从B到A的一个关系，称为关系R的逆，记作R.1.若Y.B，则A的子集R.1(Y)是集合Y的R.1像集，也称为集合Y对于关系R而言的原像集.
(2)若R是集合U上的关系，则也是U上的关系，称为R的补关系.
定义1.2.4 设R是从A到B的关系，S是从B到C的关系.则集合存在y∈B使且是从A到C的一个关系，称为关系R与S的复合，记作.
容易验证关系的逆与复合运算之间有以下的运算律，证明从略.
定理1.2.5 设R是从集合A到B的一个关系，S是从集合B到C的一个关系，T是从集合C到D的一个关系.则
(1);
(2);
(3.
数学分析中的函数、群论中的同态、线性代数中的线性变换等概念都有赖于下面所讨论的映射概念.
定义1.2.6 设R是从集合A到B的一个关系.如果对每一x∈A，存在唯一y∈B使xRy，则称R为从集合A到B的映射，并记作R:A→B.此时A称为映射R的定义域，B称为映射R的陪域.对每一x∈A使得xRy的那个唯一y∈B称为x的像或值，记作R(x).称R(A)={R(a)|a∈A}为映射R的值域.对于每一个y∈B，如果存在x∈A使xRy，则称x是y的一个原像，y的全体原像集记作R.1(y).
注意y∈B可以没有原像，也可以有不止一个原像.
今后，常用小写字母f，g，h， 表示映射.
例1.2.7 设X是集合，A.X.定义使.则易证iA是映射.称映射iA为从A到X的包含映射，简称包含映射.包含映射有时简记为i:A→X.集合X到X的包含映射特别称为恒同映射或恒等映射，记作或.
定理1.2.8 设f:A→B是从集合A到B的映射.若，则
(1);
(2);
(3);
(4).
证明(1)若，则f(x)∈X∪Y.故f(x)∈X或f(x)∈Y.于是或，从而.这说明.反之，用类似的方法可以得到.
由定理1.1.1(2)知.
(2)和(3)的证明与(1)类似，读者可作为练习自证.
(4)若b∈f(W∪V)，则存在x∈W∪V使f(x)=b，于是，这说明.反过来，若，则存在x∈W∪V使f(x)=b，从而，这说明.由定理1.1.1(2)知(4)中等式成立.
定理1.2.8说明，求映射的像集运算保并，而求原像集运算保并、交、差.
定理1.2.9在证明涉及映射像集的包含式时很有用，我们把它叫做映射像引理.
定理1.2.9 (映射像引理)设f:A→B是映射，X-A，Y-B.则当且仅当.
证明设.下证f(X).Y.对任意y∈f(X)，存在x∈X使得y=f(x).由X.f.1(Y)知y=f(x)∈Y.从而f(X).Y.反过来，设.则对任意x∈X，由知f(x)∈Y.从而.故.
定理1.2.10 设均为映射.则f与g的复合是从集合A到C的映射，即为映射.
证明 注意到映射是特殊的关系，由定义1.2.4和定义1.2.6直接可得.
定义1.2.11 设f:A→B是映射.若B中每个元关于映射f都有原像，即f(A)=B，则称f是满射;若A中不同的元关于映射f的像是B中不同的元，即对任意x1，x2∈A，当时，有，则称f是单射;若f既是单射也是满射，则称f是一一映射或一一对应，或双射.
根据下面的定理(定理1.2.12)，一一映射也称为可逆映射.
定理1.2.12 设f:A→B是一一映射，则f.1是从集合B到A的一一映射(可记作).并有.
证明因为f是既单且满的，故对任意y∈B存在唯一x∈A使得x与y是f相关的，即y与x是f.1相关的.由定义1.2.6知f.1是从集合B到A的映射.对任意x∈A，令y=f(x)∈B.则x=f.1(y)，这说明f.1是满射.又对任意y1，y2∈B，若，则y1=f(x)=y2，这说明是单射，从而是一一映射.由f.1的定义易见.
定义1.2.13 设A，B是集合，X.A.若映射f:A→B和g:X→B满足条件g.f，即，有f(x)=g(x)，则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作.
若f:A→B为映射，f(A).D.B，则使任意也是映射，称为f的一个余限制.
定义1.2.14 定义n个集合A1，A2， ，An的笛卡儿积A1×A2× ×An到它的第i个坐标集Ai的投影映射pi:A1×A2× ×An→Ai使得对任意.投影映射简称为投影.
1.2.2 等价关系
定义1.2.15 设R是集合A上的关系，x，y，z∈A.
(1)(自反性)若由x∈A可得xRx，即，则称R是自反关系;
(2)(对称性)若由xRy可得yRx，则称R是对称关系;
(3)(反对称性)若由xRy和yRx可得x=y，则称R是反对称关系;<
展开
