第1章 动力系统的基本概念
本章简要介绍动力系统的某些基本概念.
1.1 流和离散动力系统
“动力系统”这个名词，由Poincaré研究多体问题——质点组动力学问题而产生.后来被发扬光大，沿用下来，在数学上具有确定的含义.考虑定义在Euclid空间Rn上的微分方程组
(1.1.1)
其初始条件为x(0)=x0.设，则(1.1.1)的初值问题解局部存在唯一.再对f增加解整体存在唯一的条件，即对于一切的t∈R，x0∈Rn，设解整体存在唯一.由微分方程的一般理论可知，函数.(t，x0)具有以下的性质：
(i)确定性：对于一切，有
(ii)连续性：关于变元t，x在R×Rn上连续.
满足这两个性质的映射.:R×Rn→Rn构成以t为参数的从Rn到Rn的单参数连续变换群.我们称.为Rn中定义的动力系统或流.
对于给定的x∈Rn，集合称为流.过点x的轨道.Rn称为状态空间或相空间，每个点x∈Rn称为一个状态.
如果抛开微分方程，设X是一个拓扑空间(Cr-微分流形)，一般地考虑连续映射(Cr-映射).，并设.满足确定性条件:
此时称.为定义在X上的一个拓扑动力系统(Cr-动力系统)，或称X上的C0- (Cr-)流.
对于任意取定的t∈R，由于定义了一个以t为参数的连续Cr-映射，简记为，条件1和2可改写为
(1)对于一切成立;
(2).
由于对于任何固定的有逆映射，因此是一个同胚(Cr-微分同胚).在拓扑空间X上定义的上述流.同样关于t构成单参数的变换群，参数的取值范围是实数加群R+.
如果对流进行离散采样，研究它每隔一段时间间隔T的状态，我们得到一个两边有无穷多项的序列
这个序列由同胚f=.T所生成，即
(1.1.2)
(1.1.3)
T称为流.的时刻T映射，又称Poincaré映射.特别地，称为流.的时刻1映射.流.t的时刻T映射可看作流的时刻1映射.因此，只需考虑T=1的情形.
一般地，任给一个同胚(Cr-微分同胚)f，f不一定是某个流的时刻1映射，同样能够生成一个双边序列
(1.1.4)
其中.显然f满足关系:
(1)对于一切成立;
(2).
与流的情形类比，人们称这种由同胚(Cr-微分同胚)生成的双边序列为离散动力系统.离散动力系统也是一个单参数变换群，其参数取值范围是整数加群(Z，+).
由于存在没有全局截面的流，因此，一般而言，不能说每个流通过取Poincaré映射必对应一个微分同胚.但是，流经过采样离散化而得到一个低一维的离散动力系统.流的时刻1映射总是一个同胚.反之，采用“扭扩”(suspension)微分同胚f(图1.1.1)，可构造f作为某个流的Poincaré映射.这里不再赘述.正因为流和离散动力系统有这样紧密的关系，才激励着离散动力系统理论的大发展.我们研究流所得到的结论，往往可用于微分同胚情形.反之，在一定的条件下，由微分同胚所获得的信息，可用于研究比微分同胚高一维的流.人们往往首先在微分同胚的研究中去发现定理，反过来又用之于微分方程所定义的流，以得到相应的结果.这就是微分方程研究的动力系统方法.
图1.1.1 离散动力系统的扭扩
上面的讨论都是由同胚(Cr-微分同胚)生成的系统，如果我们更一般地考虑连续映射(Cr-映射)的迭代，所得到的系统称为拓扑半动力系统(Cr-微分半动力系统).
1.2 基本定义和性质
设 X是拓扑空间(Cr-流形)，f:X→X是一个同胚(Cr-微分同胚).
定义1.2.1 集合分别称为离散动力系统f过点x的轨道、正半轨道和负半轨道.
显然.如不产生混淆，可简记Orbf(x)为Orb(x).
定义1.2.2 设存在正整数n.1，使得fn(x)=x成立，称x为f的周期点;使得fn(x)=x成立的*小自然数n，称为x的周期.特别，周期为1的点，称为f的不动点.
用记号Per(f)和Fix(f)分别表示f的周期点集合和不动点集合.显然.
定义1.2.3 设x∈X，若存在正整数m>0，使得fm(x)是f的周期点，则称x为f的准周期点(或称终于周期点).
f的终于周期点集合记为EPer(f).f的周期点必是准周期点，反之不真.并且
定义1.2.4 设x∈X，若对x的任意邻域，都存在n>0，使得fn(x)∈U(x)，则称x为f的回复点(recurrence point).
f的回复点集合记为Rec(f).显然.
定义1.2.5 集合
与
分别称为Orbf(x)的ω极限点集和α极限点集.其中，N表示正整数集合.
由这个定义可见，ω(x)和α(x)都是闭集.如果X是紧致的度量空间，则对于一切x∈X，ω(x)和α(x)都是非空的.
定义1.2.6 设x∈X，若存在x的邻域，使得对于一切，其中.表示空集，则称x为f的游荡点.不是游荡点的点称为非游荡点(non-wandering point).换言之，对x的任意邻域U(x)，总存在整数k.=0，使得，则称x为f的非游荡点.
f的非游荡点全体所构成的集合称为f的非游荡集，记为Ω(f).由该定义可知，f的游荡点集是开集，f的非游荡集Ω(f)是闭集.
定义1.2.7 设集合，且(对于半动力系统，称为f的不变集.又若Λ是f的非空闭不变集，并且不存在真包含于它之中的非空闭不变子集，则称Λ为f的极小集.
定理1.2.1 设f:X→X是一个连续映射，则
(i)Ω(f)是闭集;
(ii)从而Ω(f)非空;
(iii)全体周期点集;
(iv)又若f为同胚，则Ω(f)为不变集，即.
证 (i)根据定义1.2.6，X.Ω(f)为开集，故Ω(f)为闭集.
(ii)设，兹证y∈Ω(f).用V表示点y的邻域，兹求满足的n.1，从而存在和某个z∈V，满足fn(z)∈V.事实上，因为y∈ω(x)，故存在自然数列{ni}，满足，选择ni0<ni1，.于是，取n=ni1.ni0，z=fni0(x)，即得到结论.
(iii)若是x的邻域，则有，从而x∈Ω(f).
(iv)设x∈Ω(f)，V为f(x)的邻域，则是x的邻域.从而存在某个n>0，使得.因此，故f(x)∈Ω(f)，即.如果f是同胚，必有.因此，由.Ω(f)知，f(Ω(f))=Ω(f)，即Ω(f)是不变集.
定义1.2.8 (i)连续映射f:X→X称为单边拓扑传递的(topologically transitive)，倘若存在某些x∈X，其半轨道在X中稠;
(ii)同胚映射f:X→X称为拓扑传递的，倘若存在某些x∈X，其轨道在X中稠.
如果同胚映射f:X→X是单边拓扑传递的，称f是拓扑混合的.存在例子说明，拓扑传递的同胚映射f不是拓扑混合的.反之，f拓扑混合必拓扑传递，且Ω(f)=X.
定理1.2.2 设f:X→X是紧致度量空间的同胚映射，则以下的说法等价：
(i)f是拓扑传递的;
(ii)设E是X的闭子集，是f的不变集，则或者E=X，或者E无处稠密(换言之，对于任何满足f(U)=V的开子集U.X，或者U=.，或者U为稠集);
(iii)对任何非空开集U，V，存在n∈Z，使得;
(iv)集合是稠的Gδ集合.
证 (i).(ii).设在X中稠，从而.设，且E为闭集，关于f不变.若U为开集且则存在p使得.从而，即X=E.因此，或者E=X，或者E无内点.
(ii).
(iii).设U，V是非空开集，则fn(U)为开集，且关于f不变，由(ii)中条件，该集合必为稠集，从而.
(iii)用U1，U2， ，Un表示X的可数基，则集合.且由(iii)的条件稠，由此即得(iv)的结论.
由是显然的.
以下设拓扑空间X是可度量化的，其距离函数为d.
定义1.2.9 设f:X→X是一个连续映射，称f关于初始条件具有敏感依赖性，倘若存在δ>0，使得对于一切x∈X和x的任何邻域U，恒存在y∈U，n.0使得d(fn(x)，fn(y))>δ.
定理1.2.3 如果同胚映射f:X→X是拓扑传递的，并且f有稠的周期点，则f关于初始条件具有敏感依赖性.
证 由于f的周期点在X中稠，必存在数δ0>0，使得对每个x∈X，存在f的周期点q∈X，满足.事实上，任取两个周期点q1和q2，记.由三角不等式得.
以下证f具有敏感常数为δ0的初始条件敏感依赖性.设x∈X，V为x的某个邻域.由于f的周期点是稠的，在x为中心，δ为半径的球Bδ(x)与V之交集U=V∩Bδ(x)中，必存在周期为n的周期点如前所述，存在另一个周期点q∈X(未必在U内)，满足 显然，为开集，且q∈.V，即.V非空.根据f的拓扑传递性，U中必有一点y，并存在某个自然数k，使得.我们取，其中表示该数的整数部分.于是.从而
由于p是周期点.应用三角不等式和关系可得
再次用三角不等式可证成立.在两种情形中，都已找到V中的点，使得作用于该点后与fnj(x)的距离大于δ，即f关于初始条件具有敏感依赖性.
这个定理考虑的是度量空间中的连续映射，具有一般性.如果限制空间为一维的，则以下结论成立.
定理1.2.4 设I表示一个区间(不必有限)，f:I→I是连续的拓扑传递映射.则(1)f的周期点在I中稠;(2)f关于初始条件具有敏感依赖性.
下面我们设f为Cr(r.1)-微分同胚.用Df(x0)表示f在x0∈X的线性化算子.
定义1.2.10 (i)f的不动点.x称为稳定的，倘若对.x的每个邻域U，都存在.x的邻域，使得若，则对一切m>0，fm(x)∈U成立.若不动点是稳定的，并且对一切，则称不动点.x是渐近稳定的，渐近稳定的不动点又称吸引的不动点.
(ii)f的周期为n的周期点.x称为双曲的，倘若的所有特征值都不等于1.
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