第1章 曲线
1.1 曲线方程设计方法—以心形线为例
1.1.1 笛卡儿与克里斯汀的故事
笛卡儿1596年出生在法国，欧洲大陆暴发黑死病时他流浪到瑞典.
传说在1649年斯德哥尔摩的街头，笛卡儿邂逅了瑞典公主克里斯汀.几天后，克里斯汀的父亲—瑞典国王便聘请笛卡儿到皇宫做克里斯汀的家庭教师，主要讲授哲学和数学.不久后，公主的数学在笛卡儿的指导下突飞猛进，笛卡儿还向她介绍了自己研究的新领域—直角坐标系.他们每天形影不离地相处，彼此产生了爱慕之心，但国王知道后勃然大怒，下令将笛卡儿处死，在克里斯汀苦苦哀求下，国王将笛卡儿流放回法国，克里斯汀也被父亲软禁起来.
笛卡儿回法国后不久便染上重病，但他每日坚持给克里斯汀写信，盼望着她的回信.可是这些信件都被国王拦截下来，克里斯汀从未收到他的来信.就在笛卡儿给克里斯汀寄出第13封信后，他的病情越来越严重，不久便离开了这个世界，而这第13封信内容只有短短的一个公式：当国王打开信看到这个公式后，将全城的数学家召集到皇宫，却没有一个人能解开，看着心爱的女儿整日闷闷不乐，国王就把这封信交给了克里斯汀.
公主看到后，立即明白恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来.看到图形，她开心极了，知道恋人仍然爱着她.原来方程的图形是一颗心的形状，这就是著名的“心形线”（Cardioid）.
在历史上，笛卡儿和克里斯汀的确有过交集.但笛卡儿是1649年10月4日应克里斯汀邀请来到瑞典，当时克里斯汀已成为瑞典女王.而且笛卡儿与克里斯汀谈论的主要是哲学问题而不是数学.
1.1.2 定义
“心形线”是动圆在定圆外侧滚动且两圆半径相等时，动圆上一定点的几何轨迹，是外摆线的一种，因其形状像心脏而得名，由笛卡儿在1741年发表，如图1.1.1所示.
图1.1.1 动点的初始位置及对应的心形线
每幅子图中，右侧的小圆为动圆，标出的点为动圆上定点的初始位置.
1.1.3 几何性质
1.方程
极坐标方程
图1.1.1（a）；
图1.1.1（b）；
图1.1.1（c）；
图1.1.1（d）
直角坐标方程
图1.1.1（a）；
图1.1.1（b）；
图1.1.1（c）；
图1.1.1（d）
参数方程
图1.1.1（a）；
图1.1.1（b）；
图1.1.1（c）；
图1.1.1（d）
2.面积和弧长
面积为弧长为
1.1.4 心形线方程的设计
因为“心形线”有着美丽的爱情故事传说，所以每个年代都有不少年轻朋友希望设计出与众不同的“心形线”来向自己心爱的对象表白.结果设计出大量的心形线，其方程有直角坐标方程、参数方程以及极坐标方程.通过研究，作者发现，心形线方程的设计主要有两种方法：剪裁拼接法、压缩变形法.下面对这两种方法逐一进行介绍.
1.剪裁拼接法
将不在标准位置上的椭圆用x轴（或y轴）分成完全相同的两部分，然后按一定的方式将它们重新拼接起来，便得到一个心形线.本方法的实质是将椭圆的方程改造成心形线的方程.如图1.1.2（a）所示的椭圆的方程为 ，用剪裁拼接法设计出的“心形线”如图1.1.2（b）所示.具体过程如图1.1.3所示.
图1.1.2 椭圆及剪裁拼接成的心形线
图1.1.3 心形线的设计过程
下面推导由椭圆剪裁拼接成的心形线的方程是如何求出的.
图1.1.2（b）中的心形线位于y轴右侧部分的方程为（x＞0）.该心形线关于y轴对称，故只需将右侧部分的方程中的x换成–x即得左侧部分的方程，即为（x＜0）.
由上述两个方程合并成一个方程，得
这就是剪裁拼接而成的心形线的方程.
同时，上述由椭圆方程推导出心形线方程的过程，形式上是将椭圆方程中的x替换成| x |，即可得心形线的方程.
图1.1.2（b）所示的心形线是用该方程在MathGS软件中绘制，有兴趣的读者可以利用该方程在MathGS软件中绘制这个心形线图.
同理，也可将图1.1.2（a）所示的椭圆的绿轴（y轴）右侧的一半绕x轴旋转180？，得到如图1.1.4（a）所示的心形线.因在方程中，x与y具有轮换对称性，即将
图1.1.4 关于竖轴和横轴对称的心形线
x与y的位置互换，方程不变.因此还可以得到对称轴为x轴的心形线，例如将图1.1.2（a）中椭圆位于x轴上方的一半绕y轴旋转180？得到如图1.1.4（b）所示的心形线，其方程为.
现将心形线的方程一般化，得到 ，且设.在这4个参数中，a，b，c控制心形线的形状，可通过改变它们的值设计出不同形状的“心形线”，但当它们的值不满足不等式时就不再是“心形线”，请读者在MathGS软件中进行验证.
2.压缩变形法
“心形线”可以通过圆或椭圆压缩变形而得到.压缩变形方式有三种，在这里分别称为压缩变形法（一）、压缩变形法（二）和压缩变形法（三）.
1）压缩变形法（一）
图1.1.5（b）所示的“心形线”是将图1.1.5（a）所示的圆压缩变形而成.但如何才能将圆压缩变形成“心形线”呢？经过大量实验发现，只需将圆的方程中的y换成 ，在上的图形具有图1.1.6所示的形状（黑色或灰色）即可.
图1.1.5 圆以及压缩而成的心形线
图1.1.6 f (x)的图形形状
这样的函数比较容易找到，如 ，等这些函数均可作为这里的.
例如，图1.1.5（b）所示的心形线的方程为.在该方程中，用代换 ，方程不变，也就是说方程关于变量是偶函数，因此该心形线关于轴对称，也可以通过在方程中植入参数来调整心形线的形状.另外，类似地可以设计出关于轴对称的方程，有兴趣的读者可自行探索.
若压缩变形法（一）中的变形函数f (x)为其他函数，则将圆压缩变形成其他形状图形.图1.1.7中给出了3种压缩后的图形.其方程分别为
图1.1.7 圆压缩而成的曲线
图1.1.7（a）；
图1.1.7（b）；
图1.1.7（c）.
2）压缩变形法（二）
直接在圆或椭圆方程中加一个平方项，即心形线的方程为或 ，其中f (x)与压缩变形法（一）中的变形函数具有相同的性质.图1.1.8给出了三条利用压缩变形法（二）设计的心形线.其方程分别为
图1.1.8（a）；
图1.1.8（b）；
图1.1.8（c）.
图1.1.8 压缩变形法（二）设计的心形线
若压缩变形法（二）中的变形函数f (x)为其他函数，则将圆压缩变形成其他形状图形.图1.1.9中给出3种压缩后的图形.其方程分别为
图1.1.9（a）；
图1.1.9（b）；
图1.1.9（c）.
图1.1.9 压缩变形法（二）设计的曲线
3）压缩变形法（三）
压缩变形法（一）和压缩变形法（二）都要求圆的方程为直角坐标方程，设计出的心形线的方程也是直角坐标方程.而压缩变形法（三）对圆的压缩变形是通过对极径的控制而实现，其设计的灵感来源于阿基米德螺线.
图1.1.10 阿基米德螺线及由此设计出的心形线
图1.1.10（a）为阿基米德螺线，其极坐标方程为.图1.1.10（a）中，阿基米德螺线在灰轴上方的部分的范围是 ，将该部分复制一份并翻转到灰轴的下方，即得到图1.1.10（b）所示的心形线.因上方部分的范围是 ，故下方部分的范围可设为 ，且极径需满足 ，于是心形线的极坐标方程即为.这也是作者到目前为止设计的方程中*简单的一种心形线.图1.1.10（b）所示的心形线方程 ，实质上是将圆的极坐标方程乘以函数而得到，这就是对圆进行了压缩变形.当取这些函数时，也能将圆压缩变形成心形线.图1.1.11给出了由压缩变形法（三）设计出的3条心形线，其方程分别为
图1.1.11 压缩变形法（三）设计的心形线
图1.1.11（a）；
图1.1.11（b）；
图1.1.11（c）.
若压缩变形法（三）中的变形函数f (x)为其他函数，则将圆压缩变形成其他形状图形.图1.1.12给出3种压缩后的图形，其方程分别为
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