第1章 张量和场论的基础知识
　　流体力学方程常用矢量和张量的符号来表达，其书写高度简练，物理意义鲜明。此外，流体力学中的一些重要物理量，如应力、应变等本身就是张量。本章主要介绍张量和场论的基础知识。
　　1.1 矢量与矢性函数
　　1.1.1 矢量
　　矢量（vector）指既有大小又有方向，且遵守一定运算法则的量，又称为向量，如力、速度、加速度等。几何中的有向线段就是一个直观的矢量，如，其中A为起点，B为终点，箭头的方向表示矢量的方向；线段AB的长度，即矢量的大小，称为矢量的模，记为。两矢量相等指长度相等，方向相同。
　　数学上的矢量，可以在空间中任意平移，称为自由矢量。一般在符号上加单箭头或用黑体符号表示自由矢量，如或a，自由矢量可以划分为如下几种。
　　常矢：模和方向都不变的矢量。
　　变矢：模和方向同时改变或其中之一改变的矢量。
　　单位矢量：模为1的矢量。
　　零矢量：模等于零的矢量。零矢量的方向不定，一切零矢量相等。
　　在xyz坐标系中，矢量 可以写为
　　（1-1）
　　式中，i、j、k分别表示x、y、z轴正向的单位矢量，称为基本单位矢量；ax、ay、az分别表示矢量a在x、y、z轴上的投影长度。
　　矢量a的模为
　　（1-2）
　　直角坐标系中，单位矢量n的模为
　　（1-3）
　　式中，α、β、γ分别表示矢量n与三个坐标轴之间的夹角。
　　1.1.2 矢量的运算
　　按平行四边形法则进行两个矢量的加（减）运算，同一空间中两个矢量的加（减）后得到的仍是该空间的矢量。图1-1为矢量a和b的平行四边形运算法则，设有两矢量， 和 ，其加、减运算分别为
　　（1-4）
　　（1-5）
　　图1-1 矢量的平行四边形运算法则
　　两矢量的乘法分为点积和叉积两种：
　　（1-6）
　　（1-7）
　　1.1.3 矢性函数
　　1. 矢性函数的定义
　　有数性变量t和变矢a，如果对于t在某个范围G内的每一个数值，a都以一个确定的矢量和它对应，则a为数性变量t的矢性函数（vector function），记作
　　（1-8）
　　其在直角坐标的展开式为
　　（1-9）
　　如图1-2所示，从坐标原点出发，向空间点M（x，y，z）引出的有向线段称为该点的位置矢量或矢径，用r表示：
　　（1-10）
　　矢性函数的起点取在坐标原点，在终点M（x，y，z）处描绘出一条曲线l，该曲线称为矢性函数的矢端曲线，曲线l的参数方程为
　　曲线l的矢量方程为 。
　　图1-2 矢径和矢端曲线
　　2. 矢性函数的微分和积分
　　矢性函数的导数定义为
　　在直角坐标系中，有
　　（1-11a）
　　或
　　（1-11b）
　　因此，矢性函数的微分可写作
　　（1-12）
　　在直角坐标系中，有
　　（1-13）
　　若 是 的原函数，矢量微分方程为
　　（1-14）
　　式（1-14）的解如式（1-15）所示：
　　（1-15）
　　式中，c为任意常矢量。
　　式（1-15）称为矢性函数的不定积分。
　　若是连续矢性函数在区间[t1，t2]上的一个原函数，则有
　　（1-16）
　　式（1-16）称为矢性函数的定积分。
　　1.2 场论基础
　　场是指物理量的空间分布情况，分为数量场（或标量场）和矢量场（或向量场）。若场中各点的物理量的值不随时间变化，则称为定常场（或稳态场），否则称为非定常场（或非稳态场）。
　　数量场中，由物理量取相同值的点组成的曲面称为等值面或等位面，如等温面。在二维情况下，等值面为等值线或等位线。矢量场中，曲线上的每一点处的切线方向与该点的矢量方向相同，这样的曲线称为矢量线，如流场中的流线、旋涡场中的涡线等。
　　矢量线上任意点M（x，y，z）的矢径为 ，其微分为 ，按矢量线的定义，在点M处与矢量线相切。点M处的场矢量为，依据 和 共线，可以得到
　　（1-17）
　　1.2.1 方向导数和梯度
　　如图1-3所示，在给定一标量场，在t=t0时刻，在场内取一点M，过M点作任意方向曲线s，并在s曲线上M点的领域内取点，则在M点沿曲线s的方向导数（directional derivative）为
　　（1-18）
　　图1-3 沿曲线s的方向导数
　　过M点可以有无穷多个方向，函数沿其中哪个方向的变化率*大？*大的变化率是多少？这引出了梯度（gradient）的概念。
　　为s曲线上的单位矢量。G在曲线 的投影表示M点的函数 在该方向上的方向导数，当单位矢量 和G的方向一致，即时，方向导数*大，*大值为 ，因此矢量G的方向就是函数 变化率*大的方向，其模 就是*大变化率的数值。将G称作函数 在给定点处的梯度，记作，即
　　（1-19）
　　直角坐标系中，有
　　（1-20）
　　图1-4中，M点处的函数 在过该点的等值线的法线方向n上的变化*快，其梯度为
　　（1-21）
　　图1-4 M点处函数 的梯度
　　梯度的性质如下。
　　（1）梯度 描述场内任意点领域内函数 的变化情况，是标量场不均匀的量度。
　　（2）梯度 的方向与过该点的等值线的法线方向重合，且指向 增大的方向。
　　（3）梯度 在任一方向上的投影等于沿该方向的方向导数。
　　1.2.2 通量和散度
　　如图1-5所示，在一矢量场中任取一曲面A，dA为曲面上的微元面，M为dA面内一点，n为曲面A在M点的外法线方向的单位矢量，则矢量a通过曲面A的通量（flux）为
　　（1-22）
　　图1-5 矢量通过曲面的通量
　　当曲面A封闭时，设A包围的体积为V，M为体积V内任意一点，将矢量a通过曲面A的通量除以体积V，并令V向M点无限收缩，即
　　将其定义为矢量a在M点处的散度（divergence），以表示，有
　　（1-23）
　　散度表示场中某一点处通量对体积的变化率，是标量。
　　在直角坐标系中，有
　　（1-24）
　　利用高斯公式，得
　　（1-25）
　　当diva=0时，矢量场a为无源场。
　　无源场的性质如下。
　　（1）矢量a通过矢量管任一截面上的通量相等。
　　（2）矢量管不能在场内发生或终止，一般只能延伸到无穷，或靠在区域的边界上，或自成封闭管路。

目录
第1章 张量和场论的基础知识 1
1.1 矢量与矢性函数 1
1.1.1 矢量 1
1.1.2 矢量的运算 2
1.1.3 矢性函数 2
1.2 场论基础 4
1.2.1 方向导数和梯度 4
1.2.2 通量和散度 5
1.2.3 环量与旋度 7
1.2.4 哈密顿算子 8
1.2.5 基本运算公式 8
1.3 张量基础知识 10
1.3.1 张量表示法 10
1.3.2 几个特殊的张量 12
1.3.3 张量的代数运算 13
1.4 正交曲线坐标系 14
1.4.1 曲线坐标系 14
1.4.2 正交曲线坐标系中的弧微分 15
1.4.3 常见的正交曲线坐标系 16
1.4.4 场论中的量在一般正交坐标曲线中的表达 18
第2章 流体力学的基础知识 21
2.1 描述流体运动的两种方法 21
2.1.1 拉格朗日法 21
2.1.2 欧拉法 22
2.1.3 系统和控制体 24
2.1.4 迹线和流线 25
2.1.5 两种方法的相互转换 27
2.2 流体微团运动分析 30
2.2.1 亥姆霍兹速度分解 30
2.2.2 速度分解的物理意义 32
2.3 旋涡运动的基本概念 35
2.3.1 涡量及涡通量 35
2.3.2 速度环量及斯托克斯定理 37
2.3.3 旋涡的运动学性质 39
2.4 应力张量 40
2.4.1 质量力与表面力 40
2.4.2 应力张量 41
2.4.3 理想流体和静止流体的应力张量 44
2.5 本构方程 45
习题 48
第3章 流体力学的基本方程 50
3.1 雷诺输运定理 50
3.2 连续性方程 51
3.2.1 积分形式的连续性方程 52
3.2.2 微分形式的连续性方程 52
3.3 运动方程 55
3.3.1 积分形式的运动方程 55
3.3.2 柯西方程 56
3.3.3 纳维-斯托克斯方程 57
3.3.4 葛罗米柯-兰姆方程 58
3.3.5 相对运动的运动方程 58
3.3.6 伯努利方程 59
3.4 能量方程 61
3.4.1 积分形式的能量方程 61
3.4.2 微分形式的能量方程 62
3.5 流体力学的基本方程组及定解条件 65
3.5.1 流体力学的基本方程组 65
3.5.2 定解条件 66
习题 69
第4章 流体的旋涡运动 71
4.1 涡量场的运动学性质 71
4.1.1 旋涡运动的概念 71
4.1.2 旋涡的运动学性质 72
4.2 涡量动力学方程 72
4.3 开尔文定理和拉格朗日定理 74
4.3.1 开尔文定理 74
4.3.2 拉格朗日定理 75
4.4 涡线及涡管强度保持性定理 75
4.4.1 涡线保持性定理 75
4.4.2 涡管强度保持性定理 77
4.4.3 涡量的产生 77
4.5 黏性流体中的涡量扩散 81
4.6 诱导速度场 83
4.6.1 直涡线 85
4.6.2 圆形涡线 87
4.6.3 涡层 89
习题 91
第5章 势流理论 92
5.1 有势流动的基本方程组及其性质 92
5.2 速度势函数和流函数 95
5.2.1 速度势函数及其性质 95
5.2.2 流函数及其性质 96
5.2.3 复势和复速度 98
5.2.4 平面极坐标下的速度势函数和流函数 100
5.3 基本平面势流 102
5.3.1 均匀流 102
5.3.2 点源与点汇 103
5.3.3 点涡 104
5.3.4 任意角域内的流动 106
5.4 势流的叠加 107
5.4.1 势流的叠加原理 107
5.4.2 点源（汇）与点涡—螺旋流 107
5.4.3 偶极子流 108
5.5 圆柱体绕流 109
5.5.1 圆柱体无环量绕流 110
5.5.2 圆柱体有环量绕流 113
5.6 镜像法解平面势流 117
5.6.1 平面定理 117
5.6.2 圆周定理 120
5.7 保角变换法解平面势流 122
5.7.1 保角变换的定义和特性 122
5.7.2 茹科夫斯基变换 124
5.8 空间势流 135
5.8.1 基本空间势流的势函数 136
5.8.2 轴对称流动的流函数 138
5.8.3 基本的轴对称流动的流函数 140
5.8.4 圆球绕流 141
5.8.5 轴对称体（回转体）绕流 144
5.8.6 巴特勒球定理 146
习题 146
第6章 纳维-斯托克斯方程的解 150
6.1 黏性流动的相似性和无量纲参数 150
6.2 平行定常流动 151
6.2.1 泊肃叶流动 151
6.2.2 库埃特流动 153
6.2.3 库埃特-泊肃叶流动 154
6.3 平行非定常流动 156
6.3.1 突然加速平板引起的流动（斯托克斯第一问题） 156
6.3.2 平板在自身平面内周期振动（斯托克斯第二问题） 158
6.4 平面圆周运动 159
6.5 楔形区域内的流动 161
6.6 多孔壁上的流动 163
6.7 低雷诺数流动 164
6.7.1 绕圆球的缓慢流动 165
6.7.2 滑动轴承内的流动 170
6.7.3 赫尔-肖流动 174
6.7.4 通过多孔介质的缓慢流动 175
习题 177
第7章 不可压缩层流边界层 181
7.1 边界层的基本概念 181
7.1.1 边界层的特点 181
7.1.2 边界层的厚度 182
7.1.3 边界层内的流态 184
7.2 边界层方程组及边界条件 185
7.3 边界层方程的相似性解 188
7.3.1 相似性解的概念 188
7.3.2 相似性解的解法及条件 189
7.3.3 平板边界层流动的相似性解 191
7.4 边界层动量积分方程 195
7.4.1 边界层动量积分方程推导方法1（依据动量定理） 196
7.4.2 边界层动量积分方程推导方法2（积分边界层微分方程） 197
7.4.3 边界层动量积分方程求解 199
7.5 边界层的分离及减阻 205
7.5.1 边界层分离 205
7.5.2 卡门涡街 209
7.5.3 减阻措施 210
习题 212
第8章 不可压缩流体的湍流运动 213
8.1 湍流的流动特征及统计平均法 213
8.1.1 湍流的流动特征 213
8.1.2 湍流的统计平均法 213
8.2 湍流的基本方程 215
8.2.1 连续性方程 216
8.2.2 运动方程—雷诺方程 216
8.2.3 平均动能方程 218
8.2.4 焓方程 219
8.3 湍流基本方程的导出方程 220
8.3.1 雷诺应力输运方程 220
8.3.2 湍动能方程 221
8.3.3 湍流耗散方程 222
8.3.4 雷诺传热输运方程 223
8.4 湍流边界层流动 223
8.4.1 壁面湍流边界层 224
8.4.2 自由剪切湍流 230
8.4.3 边界层内湍流量的测量结果 232
8.5 湍流模型 234
8.5.1 涡黏性模型 235
8.5.2 混合长度模型 235
8.5.3 一方程模型—K方程模型 237
8.5.4 二方程模型—K-ε方程模型 238
8.5.5 雷诺应力模型 240
8.5.6 雷诺传热输运方程模型 242
8.5.7 直接数值模拟 243
习题 243
习题答案 246
第2章 246
第3章 247
第4章 247
第5章 248
第6章 249
第7章 250
第8章 250
参考文献 251