张铁1982年2月毕业于东北大学数学系，1985年和1995年分别获得吉林大学计算数学专业硕士和博士学位，1998年晋职为东北大学数学系教授，2004年被评为博士生导师.主要研究领域为计算数学理论与应用,已发表SCI学术论文80多篇.在科学出版社出版《偏微分积分-微分方程有限元方法》和《间断有限元理论与方法》专著2部.作为项目负责人承担过4项“国家自然科学基金面上项目”以及教育部和辽宁省等科研基金项目十几项.1995年被评为“辽宁省青年科技先进工作者”，1998年获得“辽宁省教委科技进步一等奖”，2007年获得“宝钢优秀教师奖”，2012年被评为“辽宁省优秀科技工作者”.学术兼职曾任中国工业与应用数学会理事、中国计算数学学会理事、辽宁省数学会副理事长、沈阳市数学会副理事长兼学术委员会主任.

    邵新慧， 1994年7月毕业于东北师范大学数学系， 1997年和2006年分别获东北师范大学硕士学位、东北大学博士学位，东北大学理学院数学系教授，辽宁省教学名师，一流课程《数值分析》负责人. 主要科研方向是数值代数与智能计算，在国内外学术期刊上发表学术论文近50余篇，承担或参与国家自然科学基金、辽宁省自然科学基金多项，主持或参与多项省级和校级的教学研究项目，发表教学论文10余篇，获得多项省级、校级教学成果奖. 曾荣获辽宁省优秀党员、沈阳市高校师德标兵、东北大学“三育人”先进个人、东北大学“我最喜爱的教师”、东北大学“我心中的好导师”、华为奖教金和江河奖教金等多项荣誉称号.

第1章绪论
　　1.1 数值分析研究的对象和内容
　　数值分析主要研究科学计算中各种数学问题求解的数值计算方法. 众所周知， 传统的科学研究方法有两种：理论分析和科学实验. 今天， 伴随着计算机技术的飞速发展和计算数学理论的日益成熟， 科学计算已经成为第三种科学研究的方法和手段. 用电子计算机进行科学计算， 解决实际问题， 其基本过程如下：
　　根据数学模型提出的问题， 建立求解问题的数值计算方法并进行方法的理论分析， 直到编制出算法程序上机计算得到数值结果， 以及对结果进行分析， 这一过程就是数值分析研究的对象和内容. 数值分析是计算数学的基础， 它不像纯数学 那样只研究数学本身的理论， 而是把理论与计算紧密结合， 着重研究面向计算机的、能够解决实际问题的数值计算方法及其理论. 具体地说， 数值分析首先要构造可求解各种数学模型的数值计算方法; 其次分析方法的可靠性， 即按此方法计算 得到的解是否可靠， 与精确解之差是否很小， 以确保数值解的有效性; 再次， 要分析方法的效率， 分析比较求解同一问题的各种数值方法的计算量和存贮量， 以便使用者根据分析结果采用高效率的方法， 节省人力、物力和时间， 这样的分析是数值分析的一个重要部分 应当指出， 数值计算方法的构造和分析是密切相关不可分割的.
　　对于给定的数学问题， 常常可以提出各种各样的数值计算方法. 如何评价这些方法的优劣呢? 一般说来， 一个好的方法应具有如下特点：
　　(1) 结构简单， 易于计算机实现;
　　(2) 有可靠的理论分析， 理论上可保证方法的收敛性和数值稳定性;
　　(3) 计算效率高， 时间效率高是指计算速度快， 节省时间; 空间效率高是指节省存贮量;
　　(4) 经过数值实验检验， 即一个算法除了理论上要满足上述三点外， 还要通过数值实验来证明它是行之有效的.
　　在学习数值分析时， 我们要注意掌握数值方法的基本原理和思想， 要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合， 要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论. 此外， 还要通过编程计算来提高使用各种数值方法解决实际问题的能力.
　　目前， 数值计算方法与计算机技术相结合已融入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域， 计算机上使用的数值计算方法已浩如烟海. 本书只限于介绍科学计算中*基本的数值计算方法. 主要内容有：线性代数方程组的数值解法， 非线性方程求根， 矩阵特征值和特征向量的计算， 函数的插值与逼近， 数值积分， 常微分方程和偏微分方程的有限差分方法等. 本书是以高等院校本科生和工科各专业研究生为主要对象编写的， 目的是使读者获得数值计算方法的基本概念和思想， 掌握适用于电子计算机的常用算法， 具有基本的理论分析和实际计算能力.
　　1.2 误差来源和分类
　　在科学与工程计算中， 估计计算结果的精确度是十分重要的， 而影响精确度的是各种各样的误差. 误差按照它们的来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种.
　　(1) 模型误差 反映实际问题有关量之间关系的数学公式或方程， 即数学模型， 通常只是近似的. 由此产生的数学模型的解与实际问题解之间的误差称为模型误差.
　　(2) 观测误差 数学模型中包含的一些物理参数， 它们的值往往是通过观测和实验得到的， 难免带有误差. 这种观测数据与实际数据之间的误差称为观测误差.
　　(3) 截断误差 求解数学模型所用的数值方法一般是一种近似方法， 只能得到数学模型的近似解. 这种因近似方法的使用所产生的误差称为截断误差或方法误差. 例如， 利用 Taylor(泰勒) 公式， 函数ex 可表示为
　　对给定的x， 要计算函数值ex 时， 可采用近似公式
　　那么此近似公式的截断误差为
　　 (4) 舍入误差 由于计算机的字长有限， 参加运算的数据以及运算结果在计算机上存放时， 计算机会按舍入原则舍去每个数据在字长之外的数字， 从而产生误差， 这种误差称为舍入误差或计算误差. 例如， 在十进制十位字长的限制下，会出现
　　(1.000002)2-1.000004 = 0
　　这个结果是不准确的， 准确的结果应是4 × 10.12， 这里所产生的误差就是计算舍入误差.
　　在数值分析中， 一般总假定数学模型是准确的， 因而不考虑模型误差和观测误差， 主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响.
　　1.3 绝对误差、相对误差与有效数字
　　设x是精确值x*的一个近似值. 记
　　称e 为近似值 x 的绝对误差， 简称误差. 如果ε 为|e| 的一个上界， 即
　　则称 ε 为近似值 x 的绝对误差限或绝对误差界， 简称误差限或误差界. 精确值 x*， 近似值 x 和误差限 ε 三者的关系是， 通常记为
　　例如， x=1.414 作为无理数的一个近似值， 它的绝对误差是
　　易知
　　所以， x=1.414作为的近似值， 它的一个绝对误差限为ε = 0.00022.
　　用绝对误差来刻画近似值的精确程度是有局限的， 因为它没有反映出它相对于精确值的大小或它占精确值的比例. 例如， 两个量 x*和 y*与它们的近似值 x 和 y 分别为
　　则有误差限