第1章复数
1.1复数的定义及代数运算
设x和y是两个实数，则z=x+iy称为复数，其中i代表一个新的“数”，满足i2=-1.i称为虚数单位，很显然它不是一个实数！此时x称为复数z的实部，记为x=Rez;y称为复数z的虚部，记为y=Imz.复数全体记为C.
一个普通的实数可以看成虚部为0的复数，因此实数全体R是复数全体C的一个子集.两个复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2称为相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即x1=x2，y1=y2.此外它们的加法和乘法分别定义为
定理1.1.1设zk=xk+iyk，k=1，2，3是三个复数.则
上述定理的证明请读者自行完成.
定理1.1.2(i)对任何复数z，z+0=z，z 1=z.
(ii)对任何复数z，有唯一的复数w使z+w=0.此时若记w=-z，则w=(.1)z.
(iii)对任何非零复数z，有唯一的复数w使zw=1.此时记w=z.1.
(iv)若z1z2=0，则z1和z2中必有一个为0.
证明只证(iii)和(iv).设z=x+iy-+y=0)，w=u+iv.=0(于是x.由zw=1得(xu-yv)+i(xv+yu)=1.从而得二元一次方程组
解此方程组得
特别地，若z=i，即x=0，y=1，则i.1=-i.
其次设z1z2=0.若z2≠0，则由(iii)得
若z1≠0，则类似可证z2=0.
以后若z2-z1定义为z1z2=0，则-1-z2
1.2复数的几何意义、模、共轭复数
把xy平面上的点(x，y)与复数z=x+iy对应起来，则此时xy平面称为复平面.复平面上每一点表示一个复数.此时两个复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加法，相当于复平面上由点(x1，y1)和(x2，y2)决定的两个向量的加法，即平行四边形原理(图1.2.1).此外z2-z1如图1.2.2.
图1.2.1
图1.2.2
一个复数z=x+iy的模或绝对值|z|定义为
|z|就是复平面上的点(x，y)与原点(0，0)的距离.
由定义容易得知
若z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是两个复数，则
就是复平面上的点(x1，y1)和(x2，y2)的距离.
例1若a∈C，r>0，则方程|z-a|=r的所有解z就是复平面上以a为圆心，r为半径的圆周.
若a和都是复数并且，则称复数列{zn}n≥1收敛于a，记成limzn=a或zn→a.
注和实数列一样，收敛的复数列必是有界的，即有M>0，使对一切n≥1，有|zn|-M.反之，一个有界的复数列必有收敛子列.
若z=x+iy是复数，则zˉ=x-iy称为z的共轭复数.
在复平面上z和zˉ关于x轴对称(图1.2.3).
定理1.2.1(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)(三角不等式)
上述定理的证明请读者自行完成.
1.3复数的极坐标表示
设(x，y)是复平面中的一个点，x2+y2≠0.此时就有正数r>0及实数θ使(图1.3.1)
x=rcosθ，y=rsinθ.
于是复数z=x+iy就可写为z=r(cosθ+isinθ).约定记
(1.1)
则
(1.2)
(1.2)称为复数z的极坐标表示，其中r=|z|，θ称为z的辐角，记为θ=Argz.
图1.3.1
很明显，满足(1.2)的θ不是唯一的-事实上，若某个θ满足(1.2)，则对任何整数n同样有z=rei(θ+2nπ).因此Argz事实上是一个集合:Argz={θ+2nπ:n是整数}.
若θ满足(1.2)，并且-π<θ-π，则这样的θ是唯一的，它称为z的辐角主值，记为argz.因此.例如等等.
以后对任何实数θ，约定记
下面定理容易证明.
定理1.3.1(i)
(ii)
(iii)若，则
(iv)设z1=r1eiθ1和z2=r2eiθ2是两个非零复数.则为使z1=z2，充要条件是r1=r2并且θ1-θ2是2π的整数倍.iθ
例1设r>0是固定正数，则z=re，-π<θ-π是圆心在原点，半径为r的圆周的参数方程.
例2设θ是固定实数，则z=re，r>0是辐角为θ的半射线的参数方程.
例3固定正数r>0及复数z0，则z=z0+re，-π<θ-π是圆心在z0，半径为r的圆周的参数方程.
例4设A，C是实数，研究由方程A|z|2+Bz+Bz+C=0确定的解z所构成的曲线Γ.
解设B=B1+iB2，z=x+iy.
若A=0，B≠0，则方程变为
因此当时是以为圆心为半径的圆周当时退化为一个点当时是空集即方程
1.4幂和根
设z是复数，n是整数.当z≠0时定义；当n是正整数时定义;当z≠0时，n是负整数时定义.
定理1.4.1设z=reiθ≠0，则对任何整数n，zn=rneinθ.
证明当n=0时定理成立-当n是正整数时，由定理1.3.1知本定理成立-当n是负整数时，由定义得
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