第1章 常微分方程两点边值问题的差分方法
　　有限差分方法是用于求解微分方程定解问题的*广泛的数值方法，其基本思想是用离散的只含有有限个未知量的差分方程组去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的解作为微分方程定解问题的近似解.常微分方程两点边值问题可以看成一维椭圆型方程定解问题，模型简单.本章研究此模型问题的差分解法，介绍微分方程数值解法中的一些基本概念、差分格式的极值原理分析方法和能量分析方法，以及提高数值解精度的Richardson外推法.
　　1.1 Dirichlet边值问题
　　考虑如下定解问题:
　　(1.1a)
　　(1.1b)
　　其中q(x).0，f(x)为已知函数，α和β为已知常数.
　　当q(x)≡0时，在方程(1.1a)中用s代替x，并在两边关于s从0到x积分一次，得到
　　在上式中用ξ代替x，再在两边关于ξ从0到x积分一次，并应用左边界条件u(0)=α，得到
　　再应用右边界条件u(L)=β，可得
　　因而(1.1)的解可表示为
　　要想求出某点处的值还需要借助于数值积分.当时，用同样的方法要想得到解的精确表达式是困难的，甚至是办不到的.读者可对q(x)≡1的情形试一试.
　　尽管难以求出精确解，但我们可以设法给出解的估计式.
　　1.1.1 基本微分不等式
　　本书中Cm[0，L]表示闭区间[0，L]上所有具有m阶连续导数的函数的集合.
　　设函数u∈C[0，L].记
　　如果函数u∈C1[0，L]，则进一步记
　　引理1.1(I)设函数，则有
　　(1.2)
　　(II)设函数v∈C2[0，L]，且v(0)=0，v(L)=0，则有
　　(1.3)
　　(III)设函数v∈C1[0，L]，且v(0)=v(L)=0，则有
　　(IV)设函数v∈C1[0，L]，且v(0)=v(L)=0，则对任意.>0有
　　(1.4)
　　(V)设函数v∈C1[0，L]，则对任意.>0有
　　(1.5)
　　证明 (I)由分部积分直接可得(1.2).
　　(II)由(1.2)易得(1.3).
　　(III)对于任意的x∈(0，L)，有
　　(1.6)
　　(1.7)
　　将(1.6)和(1.7)两端平方并应用Cauchy-Schwarz不等式，得到
　　(1.8)
　　(1.9)
　　将(1.8)乘以L.x，将(1.9)乘以x，并将结果相加，得
　　(1.10)
　　注意到当x∈(0，L)时，
　　由(1.10)易得
　　将上式两边开方，得
　　易知
　　对(1.10)式两端关于x积分，得
　　两边开方得
　　(IV)对任意.>0，有
　　将以上两式相加并除以2，得到
　　因而(1.4)成立.
　　(V)设x∈[0，L]使得
　　当y∈[x，L]时，
　　由以上两式得到
　　将上式两边关于y从0到L求积分，得到
　　易得
　　因而(1.5)成立.
　　引理证毕.
　　1.1.2 解的先验估计式
　　我们给出齐次边值问题解的先验估计式.
　　定理1.1设函数v∈C2[0，L]为两点边值问题
　　(1.11a)
　　(1.11b)
　　的解，其中q(x).0，则有
　　(1.12)
　　(1.13)
　　证明(I)将(1.11a)两端同乘以v(x)，并关于x在(0，L)上积分，得
　　(1.14)
　　注意到(1.11b)，由引理1.1有
　　由q(x).0，有
　　此外，应用Cauchy-Schwarz不等式，有
　　将以上三式代入(1.14)，得
　　再次应用引理1.1，有
　　于是
　　 (II)注意到
　　由(1.12)及引理1.1，得
　　定理证毕.
　　称(1.12)和(1.13)为两点边值问题(1.11)解的先验估计式.

目录
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 常微分方程两点边值问题的差分方法 1
1.1 Dirichlet边值问题 1
1.1.1 基本微分不等式 2
1.1.2 解的先验估计式 5
1.2 差分格式 7
1.2.1 差分格式的建立 9
1.2.2 差分格式解的存在性 11
1.2.3 差分格式的求解与数值算例 12
1.2.4 差分格式解的先验估计式 16
1.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 25
1.2.6 Richardson外推法 26
1.2.7 紧致差分格式 29
1.3 导数边界值问题 32
1.3.1 差分格式的建立 32
1.3.2 差分格式的求解与数值算例 35
1.4 小结与拓展 39
习题1 40
第2章 椭圆型方程的差分方法 44
2.1 Dirichlet边值问题 45
2.2 五点差分格式 48
2.2.1 差分格式的建立 48
2.2.2 差分格式解的存在性 51
2.2.3 差分格式的求解与数值算例 51
2.2.4 差分格式解的先验估计式 54
2.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 57
2.2.6 Richardson外推法 58
2.3 紧致差分格式 61
2.3.1 差分格式的建立 62
2.3.2 差分格式解的存在性 64
2.3.3 差分格式的求解与数值算例 66
2.3.4 差分格式解的先验估计式 69
2.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 74
2.4 导数边界值问题 75
2.4.1 差分格式的建立 75
2.4.2 差分格式的求解与数值算例 78
2.5 双调和方程边值问题 80
2.6 小结与拓展 82
习题2 84
第3章 抛物型方程的差分方法 86
3.1 Dirichlet初边值问题 86
3.2 向前Euler格式 89
3.2.1 差分格式的建立 90
3.2.2 差分格式解的存在性 92
3.2.3 差分格式的求解与数值算例 92
3.2.4 差分格式解的先验估计式 95
3.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 99
3.3 向后Euler格式 103
3.3.1 差分格式的建立 103
3.3.2 差分格式解的存在性 105
3.3.3 差分格式的求解与数值算例 105
3.3.4 差分格式解的先验估计式 109
3.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 112
3.4 Richardson格式 113
3.4.1 差分格式的建立 113
3.4.2 差分格式的求解与数值算例 115
3.4.3 差分格式的不稳定性 116
3.5 Crank-Nicolson格式 119
3.5.1 差分格式的建立 119
3.5.2 差分格式解的存在性 121
3.5.3 差分格式的求解与数值算例 122
3.5.4 差分格式解的先验估计式 124
3.5.5 差分格式解的收敛性和稳定性 127
3.5.6 Richardson外推法 128
3.6 紧致差分格式 130
3.6.1 差分格式的建立 131
3.6.2 差分格式解的存在性 133
3.6.3 差分格式的求解与数值算例 134
3.6.4 差分格式解的先验估计式 136
3.6.5 差分格式解的收敛性和稳定性 138
3.7 非线性抛物方程 139
3.7.1 向前Euler格式 141
3.7.2 向后Euler格式 147
3.7.3 Crank-Nicolson格式 153
3.8 导数边界值问题 161
3.9 小结与拓展 164
习题3 165
第4章 双曲型方程的差分方法 174
4.1 Dirichlet初边值问题 174
4.2 显式差分格式 176
4.2.1 差分格式的建立 176
4.2.2 差分格式解的存在性 179
4.2.3 差分格式的求解与数值算例 180
4.2.4 差分格式解的先验估计式 183
4.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 187
4.3 隐式差分格式 191
4.3.1 差分格式的建立 191
4.3.2 差分格式解的存在性 194
4.3.3 差分格式的求解与数值算例 196
4.3.4 差分格式解的先验估计式 198
4.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 200
4.4 紧致差分格式 203
4.5 有限Fourier级数及其应用 206
4.5.1 有限Fourier级数 206
4.5.2 两点边值问题差分解的先验估计式 210
4.5.3 抛物型方程第一边值问题差分解的先验估计式 212
4.5.4 双曲型方程第一边值问题差分解的先验估计式 214
4.6 小结与拓展 218
习题4 219
第5章 高维发展方程的交替方向法 226
5.1 二维抛物型方程的交替方向隐格式 226
5.1.1 差分格式的建立 227
5.1.2 差分格式解的存在性 232
5.1.3 差分格式的求解与数值算例 233
5.1.4 差分格式解的先验估计式 238
5.1.5 差分格式解的收敛性和稳定性 242
5.2 二维抛物型方程的紧致交替方向隐格式 243
5.2.1 差分格式的建立 244
5.2.2 差分格式解的存在性 247
5.2.3 差分格式的求解与数值算例 249
5.2.4 差分格式解的先验估计式 252
5.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 255
5.3 二维双曲型方程的交替方向隐格式 257
5.3.1 差分格式的建立 257
5.3.2 差分格式解的存在性 262
5.3.3 差分格式的求解与数值算例 263
5.3.4 差分格式解的先验估计式 268
5.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 273
5.4 二维双曲型方程的紧致交替方向隐格式 275
5.5 小结与拓展 281
习题5 282
第6章 分数阶微分方程的有限差分方法 287
6.1 分数阶导数的定义和性质 287
6.1.1 分数阶积分 287
6.1.2 Grünwald-Letnikov分数阶导数 287
6.1.3 Riemann-Liouville分数阶导数 288
6.1.4 Caputo分数阶导数 288
6.1.5 Riesz分数阶导数 290
6.2 Caputo分数阶导数的插值逼近 290
6.2.1 α(0<α<1) 阶分数阶导数的逼近 290
6.2.2 γ(1<γ< 2) 阶分数阶导数的逼近 293
6.3 时间分数阶慢扩散方程的差分方法 296
6.3.1 差分格式的建立 296
6.3.2 差分格式的可解性 297
6.3.3 差分格式的稳定性 298
6.3.4 差分格式的收敛性 300
6.3.5 数值算例 300
6.4 时间分数阶波方程的差分方法 301
6.4.1 差分格式的建立 302
6.4.2 差分格式的可解性 303
6.4.3 差分格式的稳定性 304
6.4.4 差分格式的收敛性 306
6.4.5 数值算例 307
6.5 时间分数阶混合扩散和波方程的差分方法 308
6.5.1 差分格式的建立 309
6.5.2 差分格式的可解性 310
6.5.3 差分格式的稳定性 311
6.5.4 差分格式的收敛性 314
6.5.5 数值算例 315
6.6 小结与拓展 317
习题6 318
第7章 Schr*dinger方程的差分方法 320
7.1 引言 320
7.2 二层非线性差分格式 322
7.2.1 差分格式的建立 323
7.2.2 差分格式解的守恒性和有界性 324
7.2.3 差分格式解的存在性和唯一性 327
7.2.4 差分格式解的收敛性 329
7.2.5 数值算例 334
7.3 三层线性化差分格式 336
7.3.1 差分格式的建立 336
7.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 337
7.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 339
7.3.4 差分格式解的收敛性 340
7.3.5 数值算例 348
7.4 小结与拓展 349
习题7 349
第8章 Burgers方程的差分方法 352
8.1 引言 352
8.2 二层非线性差分格式 354
8.2.1 记号及引理 354
8.2.2 差分格式的建立 355
8.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 356
8.2.4 差分格式解的存在性和唯一性 358
8.2.5 差分格式解的收敛性 361
8.2.6 数值算例 366
8.3 三层线性化差分格式 368
8.3.1 差分格式的建立 368
8.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 369
8.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 370
8.3.4 差分格式解的收敛性 371
8.3.5 数值算例 375
8.4 小结与拓展 376
习题8 378
第9章 Korteweg-de Vries方程的差分方法 380
9.1 引言 380
9.2 空间一阶差分格式 381
9.2.1 差分格式的建立 381
9.2.2 差分格式解的存在性 383
9.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 385
9.2.4 差分格式解的收敛性 386
9.2.5 数值算例 388
9.3 空间二阶差分格式 390
9.3.1 差分格式的建立 390
9.3.2 差分格式解的存在性 394
9.3.3 差分格式解的守恒性和有界性 396
9.3.4 差分格式解的收敛性 397
9.3.5 数值算例 401
9.3.6 引理9.2的证明 402
9.4 小结与拓展 406
习题9 406
参考文献 408
索引 411