第1章 频域的数学基础
本章简要介绍频域鲁棒控制理论的一些数学基础。首先介绍度量空间、赋范空间等有关泛函分析的知识，接着分别定义信号的范数和传递函数的范数，并通过传递函数的范数来描述系统输入-输出的关系。
1.1 度量空间
度量空间是Euclid上距离概念在一般抽象集合上的推广。
定义1.1(度量)设X为一非空集合，它的一个度量d是指定义在X X上的一个函数，且对任意的满足：
(1)d是有限的非负实数;
(2)d(x，y)=0当且仅当x=y;
(3)d(x，y)=d(y，x);
(4)。
我们称定义了上述度量的集合为度量空间，通常记为(X，d)。在同一集合上可定义不同的度量，可以构成不同的度量空间。
例1.1 对于Euclid空间Rn和酉空间Cn。它们分别是由n个实数和复数的有序组x=(ξ1，ξ2， ，ξn)或y=(η1，η2， ，ηn)等组成的集合，其Euclid度量定义为
可以验证d(x，y)满足定义1.1中的度量条件，因此Rn和Cn都是度量空间。
在一个度量空间(X，d)中，借助度量可以定义序列的极限。
定义1.2 (收敛与极限)设是度量空间(X，d)中的序列，若存在使得
则称序列收敛到极限x，并记为。否则fxng不收敛，称为发散。
定义1.3 (Cauchy序列与完备性)设(X，d)是度量空间，fxng是X中的序列，如果对任意小的正数.>0存在，使得当时有
则称为一Cauchy序列。进一步，如果X中的每个Cauchy序列都在X中收敛，即其极限x包含在X中，则称X为完备的。
不难证明，Euclid空间Rn及酉空间Cn都是完备的。
1.2 赋范空间
为了使度量空间中的度量与线性空间中的代数运算结合起来，我们可在线性空间上建立向量的范数，它是向量模概念的推广。设X为一向量空间，为一定义在X的实值函数，如果对于任意和，该实值函数满足下列性质：
(1) (非负性)；
(2) (正定性)；
(3) (齐次性)；
(4) (三角不等式)。
则称这个实值函数为范数。如果一个函数只满足其中的(1)、(3)和(4)，而不一定满足(2)，则称该函数为拟范数。对于向量，按照如下方式定义其p-范数:
特别地，当时有
可以验证，它们均满足范数的几个性质。定义了范数的空间X称为赋范空间，并记为。例如，对Cn中的向量定义p-范数，则Cn便成为赋范空间。借助前面定义的范数，可诱导向量空间上的度量。记，则诱导度量可以表示为
若在该度量下X是完备的，则称X为Banach空间。换句话说，如果一个赋范空间X中的每个Cauchy序列均收敛到X中，则称该赋范空间是完备的。完备的赋范空间称为Banach空间。设S为Banach空间的子集，如果有下面两条性质成立：
(1)如果，必有；
(2)如果，必有。
则称S为X的一个子空间。进一步，如果S中的每一个在X中是收敛的序列在S中都有极限的话，那么S称为X中的闭子空间。一般说来，一个子空间不必是闭的。但如果X是有限维空间，则其每个子空间都是闭的。考虑Euclid空间Rn和酉空间Cn。对x=(ξ1，ξ2， ，ξn)，定义
可以验证它满足范数定义中的4个条件。由此诱导出的度量为
其中，y=(η1，η2， ，ηn)。可以验证，在此度量下Rn空间和Cn空间都是完备的。因此，二者都是Banach空间。
定义1.4(等价范数)设X是线性空间，和是定义在X上的两个不同的范数。如果存在正数a和b使得对所有满足：
则称范数与等价。在有限维线性空间X上，任何两个范数都是等价的。
定义1.5 (线性算子)设X，Y是同一数域K上的两个相量空间，T是一个从X到Y的映射。如果T的定义域D(T)是X的向量子空间，T的值域R(T)包含在Y中且对所有和任意的，有
(1.1)
成立，则称T是线性算子。
定义1.6 (线性有界算子)设X，Y是同一数域K上的两个赋范空间，是一个线性算子。如果存在常数c>0，使得对任意，有
(1.2)
成立，则称T是有界算子。否则，称T是无界算子。
式(1.2)表明
因此，对所有，与上式左边所对应的数集必有上确界。从而，算子T的范数 (或增益)可以定义为
(1.3)
显然，由式(1.3)可得
等价地
另外，对任意，有
因此
(1.4)
式(1.4)给出了线性算子范数的定义。由于上述范数是通过算子T在像空间和值空间的范数诱导出来的，因此也称为算子的诱导范数。
1.3 Hilbert空间
内积空间是Euclid空间Rn的自然推广。
定义1.7 (内积空间)设X是C上的一个线性空间，则X上的内积是一复值函数使得对任意，有
(1)；
(2)若x6=0；
(3)当且仅当x=0；
(4)。
定义了内积的线性空间称为内积空间并记为。
借助上面定义的内积，可诱导出线性空间上的范数。由Schwarz不等式可验证它满足范数的4个条件。因此，内积空间必是赋范空间。对于内积空间X中的两个向量x，y，如果满足，则称之为正交的，记为。更一般地，如果对所有的，都有，则称向量x与集合S正交，记为。内积和内积诱导出的范数具有下面的性质。
定理1.1 设X是一内积空间，令，则有
(1) (Cauchy-Schwarz不等式)。等式成立当且仅当存在某个常数α使得x=αy或者y=0；
(2) (平行四边形法则)；
(3)若，则有。
X可以是完备的，也可以是不完备的。如果一个定义了内积的线性空间在其诱导范数下是完备的，则称之为Hilbert空间。显然，Hilbert空间也是一个Banach空间。例如，在Euclid空间Rn或酉空间Cn中，定义内积，则它们都是Hilbert空间，这里表示复共轭转置。若X是一个Hilbert空间，是其一个子集，则M的正交补记为，定义为
令X为一个向量空间，M和N为其子空间，如果且X中的每一个元素z2X均可表示为z=x+y，其中，则X称为M和N的直和，记为。若X是一个内积空间，M和N是正交的，则X就称为M和N的正交直和。
定理1.2令X为一Hilbert空间，令M为其子空间，则对X的每个元素，存在**的向量和使得z=x+y，即。进一步，是使得成立的**向量。
定义1.8 (伴随算子)设X和Y是两个Hilbert空间，是一个有界线性算子，则存在**的算子使得对所有的，有
满足上式的称为T的伴随算子。当时，则称T为自伴算子。
伴随算子的一个基本结论是。设一个Hilbert空间X可以表示为。如果存在一个映射到自身的有界算子P满足：
则称P为映射到S的正交投影。
1.4 H2和H∞空间
下面考虑某些常用的复（矩阵）函数空间。
1.L2(jR)空间
L2(jR)或简记为L2，是一个在jR上的矩阵(或标量)函数Hilbert空间，由所有使得如下积分有界的矩阵函数F构成，即
(1.5)
对，该Hilbert空间得内积定义为
(1.6)
而由内积引导的范数由式(1.7)给出：
(1.7)
例如，所有在虚轴上无极点的实有理严格正则传递矩阵构成L2(jR)的一个(非闭的)子空间，用或RL2表示。
2.H2空间
H2空间是L2(jR)空间的一个(闭)子集，其矩阵函数F(s)在Re(s)>0(开右半平面)
解析。相应的范数定义为
(1.8)
可以证明
(1.9)
因此，可以像计算L2范数一样来计算H2范数。用RH2来表示H2的实有理空间。它由所有严格正则和实有理稳定矩阵构成。
3.H空间
H是H2在L2中的正交补，即L2中在开左半平面解析的函数的(闭)子空间。由全部极点位于开右半平面的严格正则有理传递矩阵所构成的的实有理子空间记为。
易见，若G是一个严格正则、稳定、实有理传递矩阵，则且。本书中大部分的研究内容将集中在实有理情形。
4.L∞(jR)空间
L∞(jR)或简记为L∞，是一个矩阵(或标量)函数的Banach空间，在jR上(本性)有界，具有范数
(1.10)
L∞的有理子空间用RL∞(jR)表示，或简记为RL∞，是由所有在虚轴上无极点的正则、实有理传递函数矩阵构成。
5.H∞空间
H∞是L∞的一个（闭）子空间，其中的函数在开右半平面解析并有界。H∞范数定义为
(1.11)
H∞的实有理子空间用RH∞表示，由所有正则、实有理传递函数矩阵构成。
6.H∞-空间
H∞-是L∞的一个(闭)子空间，其中的函数在开左半平面解析并有界。H∞-范数定义为
(1.12)
H∞-的实有理子空间用表示，由所有极点均位于开右半平面的正则、实有理传递函数矩阵构成。
定义1.9 若一个传递函数，则通常称其为反稳定的或反因果的。
关于L∞和H∞空间，有下面一些性质：
(1)若，则;
(2)若，则;
(3)若。
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