第一章 学科体系与数学概论
数学自诞生之日起，就与人类文明相伴而行。数学是人类文明的重要组成部分，是人类文明进步的重要标志。数学不仅具有自身发展较为完备的学科体系，而且也确立了其在整个科学技术体系中的基础性地位，并且正日益突破传统的应用范围，向几乎所有的人类知识领域渗透，越来越直接地为人类物质生产与日常生活服务。因此，了解和理解数学以及数学文化成为大学生乃至公民所必备的基本素养。
第一节 关于学科体系的若干问题
数学是学科体系中的一门重要的基础学科，对于各门学科的创立或发展起到了重要的基础性作用。但是在不同的历史时期，数学在整个学科体系中所处的地位和所起到的作用是不同的，从而造成人们对数学的认识和理解也有所不同。
一、什么是学科
“学科”（discipline）一词来源于拉丁语 discere，其原义包括知识的形式与知识对人的规范与训练。目前，从词义的角度来看，“学科”一词的含义有两层：第一层，从一般意义上理解的学科，即作为知识分支，主要强调学术的内在逻辑；第二层，专指具有教育、教学职能的“制度化学科”，例如，大学的各学科专业，与英文 subject一词的含义较接近。
一般地，所谓学科，是指一定历史时期内知识发展到一定程度所形成的规范化、专门化的知识体系。
实际上，“学科”有一个历史发展过程，它在不同历史时期有不同的内涵和定位。早期，各门学科都是在哲学之下的一个分支。但是，随着数学方法和实验方法的广泛采用，近代科学开始兴起，按照研究对象的不同，自然科学开始从包罗万象的哲学中分离出来，于是人们的知识结构和思维结构也随之发生根本变化，这为近代的学科分类体系奠定了哲学和科学的基础。到了19世纪中叶，自然科学的分化已经形成了许多各不相同的研究领域，从而学科诞生了，这是学科发展的第一阶段。19世纪末，物理学革命爆发以后，学科发展的步伐大大加快，学科越来越多，专业化程度也越来越高。此时，统一的自然科学分化为基础理论科学、技术基础科学和工程应用科学3个层次，每一层次又分成各种不同的门类。各门学科之间出现了交叉学科、边缘学科等，这是学科发展的第二阶段。进入20世纪以后，人类的知识呈现指数级的增长，到20世纪中叶，知识的发展出现了高度分化和高度综合的有机统一，表现为：一方面，知识的分门别类的研究比近代科学更精细、更深入；另一方面，横断学科、综合学科、交叉学科的出现使知识综合化、整体化的趋势更加突出，这是学科发展的第三阶段。①
二、什么是学科体系
20世纪以后的科学技术发展突飞猛进，很多分支学科如雨后春笋般地大量涌现，这些学科是现代科学技术的组成部分，从而形成了学科体系，那么这些学科在学科体系中有怎样的关系呢？这引起科学家和社会学家的关注。总体来看，学科体系研究主要有以下几个角度：
从哲学和学术思想史的角度，对学科分类、学科的分化融合以及跨文化进行研究。该研究集中在20世纪中期至20世纪末，主要是从理论上对人文社会科学的学科分化，以及学科专业化、学科多元化进行讨论和阐述。
从教育学的角度，对跨学科、交叉学科等领域的教学与课程进行研究。该研究主要是从教育实践的层面，对第一种的理论研究的成果进行实践和探索验证。
中国著名的科学家钱学森也曾关注学科体系的研究，其研究成果产生了一定的影响。钱学森从1979年开始探索现代科学技术体系的课题，并提出了现代科学技术体系结构的观点，这对理解数学在学科体系中的地位和作用有重要的指导意义。
钱学森从现代科学技术的门类结构、层次结构和学科结构三个方面来构建现代科学技术体系。
从现代科学技术的门类结构来看，钱学森将现代科学技术分成“九大部门”，即自然科学、社会科学、数学科学、思维科学、系统科学、人体科学、军事科学、行为科学和文艺理论。他认为，自然科学用的角度是物质运动，社会科学用的角度是人类社会的发展运动，数学科学用的角度是质与量的对立统一，系统科学用的角度是系统或整体与局部的统一，思维科学用的角度是人认识客观世界的过程，人体科学用的角度是人体在整个宇宙环境中的发展和运用，军事科学用的角度是集团之间的矛盾与斗争，行为科学用的角度是在与社会的相互作用下个人行为的规律，文艺理论用的角度是美感。
从现代科学技术的层次结构来看，钱学森认为，世界上的所有理论都是一层一层的概括。其中，自然科学是迄今发展得*为成熟的一个门类。他运用典型的研究方法，剖析了自然科学的层次结构，由此，钱学森把现代自然科学知识分属为“三个层次”，即工程技术、技术科学、基础科学。其中，工程技术是*接近社会实践的层次，如土木工程、水利工程、电气工程等，技术科学是对工程技术进行理论概括而产生的，如建筑学、水力学、电工学等。基础科学是对技术科学的进一步概括，上升为更高层次的科学理论，如物理学、化学、生物学等。
从现代科学技术的学科结构来看，钱学森认为，由自然科学归纳出来的体系结构具有普遍意义，由此，他进一步概括出其他体系共有的结构模式，即“三个层次一座桥梁”的结构模式（如图1-1）。
“三个层次”是指工程技术层次、技术科学层次、基础科学层次。工程技术层次是直接改造客观世界的知识，技术科学层次是工程技术共用的各种理论，基础科学层次是认识客观世界的基本理论。钱学森认为，辩证唯物主义是马克思主义哲学的核心，处于科学技术体系的*高层次，这是人类在认识和改造客观世界中总结出来的*高、*有普遍性的原理，是一切科学部门的*高概括和归宿点。
图1-1 科学技术体系的一般结构
“一座桥梁”是指中介桥梁，是对应于该学科部门的哲学分论。自然科学通向辩证唯物主义的桥梁是自然辩证法，社会科学通向辩证唯物主义的桥梁是历史唯物主义，数学科学的桥梁是数学哲学或者元数学，系统科学的桥梁是系统论，思维科学的桥梁是认识论，人体科学的桥梁是人天观，地理科学的桥梁是地理哲学，军事科学的桥梁是军事哲学，行为科学的桥梁是社会学，文艺理论的桥梁是美学。
由此，钱学森把现代科学技术归纳为“九大部门”“一个核心”（指的是哲学）、“一座桥梁”和“三个层次”，形成了一个严密的科学技术体系。①
第二节 数学是什么
现在，世界各国教育都非常重视数学，从小学开始，就将数学作为必修的课程，并且数学在全部课程中的所占比重都比较高，这甚至成为人类进行知识学习的传统。但是当被问及“数学是什么”或“什么是数学”时，人们难以给予明确地回答，并且不同的人有不同的理解和认识。这不仅是一个数学问题，而且也是一个哲学问题。
一、“数学”译名的确定
中国作为文明古国，数学在中国的起源比较早，其历史发展悠久，某些数学成果曾走在世界的前列，并且有专门的名称和术语，如算术等。但是到了明清时期，中国古代数学逐渐走向衰落，与此同时，中国也开始引进西方数学，经过艰难曲折的发展过程，才逐渐确立了西方数学在中国的重要地位，一直持续到现在。此时的西方数学已超越了中国古代关于数学的理解，随之而来的是中国对于英文”mathematics”的翻译问题。为此，“数学”名词的翻译在中国数学界引发了一些争论，从中也可以体会到中国人对于“数学是什么”的理解和认识。
实际上，我们现在所使用的“数学”一词是来自英文”mathematics”。虽然中国古代有数学专门名称，但英文”mathematics”与中国无关，该词是取自古希腊语，出自古希腊毕达哥拉斯学派。公元前6世纪，毕达哥拉斯在意大利西南端的克罗顿（ Croton）建立了一个集宗教、哲学等于一体的团体，历史上称该团体为毕达哥拉斯学派，亦称“南意大利学派”。该学派将其成员分为两类：一类是普通的听讲者，另一类是真正学派的成员，意思是指那些获得较高深知识的人，这些人在当时所学习的高深知识主要有算术、几何、天文学和音乐。由此，当时“数学”被认为是具有较高深知识的人所学习和研究的算术、几何等，含有学习、学问、科学的意思。
中国自明代以来开始引进西方数学，也就是说，中国很早就已接触到西方数学及其相关的名词。但是到了近代，中国才将英文”mathematics”翻译为中文“数学”一词，并与“算学”一词混用。直到20世纪上半叶，才确定了“数学”一词在中国的使用。20世纪初，随着中国留学生学成归国，中国的一些大学按照西方高等教育模式建立数学系。但这时，英文”mathematics”一词在中国的一些大学数学系、中小学都有不同翻译，引发了一些混乱，这便成为人们关注的事。当时，对”mathematics”有两种翻译，并分别在社会有较广泛运用：一种翻译为算学，另一种翻译为数学。但这两种翻译相持不下，*后是由当时的教育部发起并通过投票的方式，才*终确定为“数学”。由此，“数学”的译名可以部分地反映中国人对近现代数学的认识和理解。中国古代数学曾经有过辉煌的成就，主要特点是算法倾向，这与西方数学特别是近现代数学有很大的不同。因此，中国近现代数学家在引进西方数学过程中，其所理解的“数学”不同于中国古代，从而出现了“数学”不同翻译的争议现象。
二、历史上关于数学的认识
与其他学科不同，数学是一门累积性非常强的学科。德国数学家汉克尔（Hankel）曾这样评价数学学科的特点：大部分的学科是前一代人的成果被后一代人所否定。但是，唯独数学是每一代人的创造都建立在前人的基础之上。
例如，数学的发展曾经历由算术推广到代数的阶段，但是这种推广并没有将之前有关数的运算规则推翻，反而是将其纳入代数的学科体系中，也就是说数学具有兼容性。而物理学、化学等学科则不同，其中有些理论或学说往往是在推翻或修正前人结论的基础上而有所发展。例如，物理学早期曾提出以太说，后来人们在寻找以太粒子失败后将其抛弃，并提出新的理论，从而推动了物理学的发展。
数学的发展正是建立在以前数学的基础上，使得人们对数学的理解不断深入。那么关于“什么是数学”或“数学是什么”，在数学发展的不同阶段有着不同的认识。因此，可以说，“数学”是一个不断发展的概念，因而也就很难给出一个确定的、永恒不变的定义。
1.早期关于数学的认识
公元前6世纪以前，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国等河谷文明的地区和国家已经建立了今称的经验数学，也自然地形成了关于“数学”的认识，他们基本上都认为：数学主要是关于“数”的研究。例如，中国古代对“数”的认识。中国古代先哲老子曾说：“天下万物生于有，有生于无。”“道生一，一生二，二生三，三生万物。”意思是：天下的事物来源于“有”，“有”则来源于“无”，这也是成语“无中生有”的由来。根据这个道理，*早的那个“有”必定是从“无”中而来的，而这个原初的“无”，也就是“道”，所以说，“道生一”；而一旦有了第一个“有”，那么这第一个“有”就会产生第二个“有”，即“一生二”；接着，有了第一个“有”和第二个“有”，第三个“有”也就会产生出来，即“二生三”；以此类推，继之以无穷，则万物化生，即“三生万物”。老子这段话讲的是“道”的本原性和万物由来的原理，用数的形式表达对世界的认识和看法。
古希腊文明主要是在继承古埃及、古巴比伦等河谷文明的基础上所创造的灿烂文明，被认为是西方近现代文明的起点。其中，在数学方面，古希腊先哲们主要是基于哲学的角度，提出了公理化体系和形式逻辑，创造了论证数学。与经验数学不同，古希腊论证数学已发展成为一门具有严密系统、富有逻辑性的学科。基于此，古希腊人形成了关于“数学是什么”的更深刻的认识，但是在古希腊的不同时期也有所不同，这些都对数学的发展产生了重
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