第1章 数理经济学概述
经济分析离不开数学方法的应用，其目的是准确、简明和更加有逻辑地描述经济现象，揭示经济现象背后隐藏的规律。数理经济学恰是介绍经济分析中数学方法如何应用的学科，或者说数理经济学是经济现象和经济理论如何用数学模型表述、推理的学科。因此，数理经济学是掌握高级经济学理论和开展经济学研究的基础学科。
本章对数理经济学的定义、诞生和发展、研究方法、基本问题和研究内容等进行介绍，目的是使读者了解数理经济学的形成过程，了解数学和经济学的联系，从而帮助读者掌握数理经济学的研究内容和方法。
1.1 数理经济学的定义
1838年法国著名经济学家、数学家、哲学家古诺（Cournot）出版了《财富理论的数学原理的研究》一书，第一次比较系统地运用数学方法分析了经济问题，从此开始了经济分析中数学方法的应用，时至今日，应用数学原理和分析方法研究经济学问题已有近200年的历史，数学的许多分支，如微积分、线性代数、概率论与数理统计、线性规划、非线性规划、博弈论、泛函分析、拓扑学、随机过程、*优控制论等都在经济学中得到了成功的应用，并推动着经济学的发展。应用数学方法研究经济问题属于数理经济学范畴，然而数理经济学（mathematicaleconomics）发展至今尚无统一的定义，以下是几种有代表性的定义。
美国经济学家阿罗（Arrow）等召集数十位世界著名数理经济学家编撰的《数理经济学手册》一书指出：数理经济学是包括数学概念和方法的经济学，特别强调数学在经济理论中的各种应用。
蒋中一（Chiang）、温赖特（Wainwright）在《数理经济学的基本方法》一书中指出：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其他学科方面的理论。
路甬祥、杜瑞芝分别在《现代科学技术大众百科—科技与社会卷》和《简明数学史辞典》中指出：数理经济学是运用数学符号、数学方法和数学图形表述与论证经济现象及其相互依存关系的一门综合性边缘学科，其主要研究经济活动中的数量关系并从中寻找规律。
杨小凯在《数理经济学基础》中指出：数理经济学主要是进行定性分析的理论经济学，它研究*优经济效果、利益协调和*优价格的确定等经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，它实在是经济学的基础之基础。
由以上定义可以看出：数理经济学主要是研究数学方法如何应用到经济分析中，具体来讲就是经济问题如何用数学模型表示，就是建立经济问题的数学模型进行求解，然后分析所求解的变化情况。因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说是一种经济学分析方法论。
1.2 数理经济学的诞生和发展
数理经济学诞生和发展的过程就是数学在经济学中的应用过程，也是经济学发展的必然结果。因为经济学家不仅要关心现实生活中的许多经济行为、经济思想、经济理论，更要关心经济现象的数量问题，经济学家需要对价格、产量、收入、就业率、失业率、通胀率、消费者价格指数（consumerpriceindex，CPI）、国内生产总值（grossdomesticproduct，GDP）等指标进行度量，并分析这些数量背后的经济规律，要和数量打交道就要研究数量的变化和数量之间的关系，以此来把握经济运行规律。然而，经济学经历了漫长的发展过程后才真正青睐数学。今天经济学已是社会科学领域*成功运用数学的学科，恩格斯（Engels）曾指出“一门学科只有成功运用了数学，它才成为科学”。因此可以认为经济学中融入了数学才成为科学。
由阿罗等召集数十位世界著名数理经济学家编撰的《数理经济学手册》，将数理经济学的诞生与发展分为相互衔接的三个主要时期：以微积分为主要分析方法的边际主义时期（1838～1947年）；集合论和线性模型分析方法时期（1948～1960年）；当前的综合方法时期（1961年至今）。
1.以微积分为主要分析方法的边际主义时期（1838～1947年）
*早比较系统地运用数学方法分析经济问题的是法国学者古诺（拉普拉斯和泊松的学生，从事概率论的研究）。古诺在《财富理论的数学原理的研究》一书中，将古典经济理论用数学变量进行描述。例如，他通过对商品需求量与价格的研究提出单个市场上的消费行为理论，该理论认为商品需求量主要由商品销售价格决定，随着价格的下降，需求量是增长的，随着价格的上涨，需求量是减少的。用数学变量表达这一理论就是：商品需求量是商品价格的连续函数，D表示商品需求量，p表示商品价格，随着价格的下降，需求量是增长的，随着价格的上涨，需求量是减少的。用数学方法表示就是该函数为减函数，即，可以看出用数学方法表达经济学理论简洁、清晰。古诺的《财富理论的数学原理的研究》一书的出版标志着数理经济学的诞生，古诺被认为是数理经济学的创始人。正如德布鲁（Debreu）在1983年的诺贝尔经济学奖获奖演讲中所说：“如果要对数理经济学的诞生选择一个象征性的日子，我们会以罕见一致意见选定1838年，古诺是作为*早建立阐明经济现象数学模型的缔造者而著称于世的。”
边际分析方法是这一时期产生的*重要的经济分析方法，其代表人物有德国经济学家戈森（Gossen），奥地利经济学家门格尔（Menger），法国经济学家瓦尔拉斯（Walras），英国经济学家杰文斯（Jevons）、埃奇沃思（Edgeworth）、马歇尔（Marshall）、费雪（Fisher）等。边际分析方法就是研究一个变量的变化能够引起其他变量多大的变化，自变量增加一单位，因变量增加的数量就称为边际量，从现代数学的角度看边际分析方法实际上就是求导数的方法。这种分析方法在经济分析中有普遍而广泛的应用，如对效用、成本、产量、收益、储蓄、投资要素效率等的分析。实际上边际分析方法首先被奥地利的门格尔、法国的瓦尔拉斯和英国的杰文斯三位经济学家独立提出并应用于对商品效用的分析，形成了边际效应学派，提出了边际效应（marginal utility）理论，该理论认为追求商品带来的*大满意度（效用）是人们消费商品的目的和愿望，消费商品数量的增加给消费者带来总满意度的增加，但是每增加一单位商品给消费者带来的满意度的增量在减少。用数学表达就是，其中U表示效用，Q表示商品数量。边际效用价值理论是边际效用理论的基础，边际效用价值理论认为商品的价值取决于商品的效用，商品价值尺度采用边际效用度量，商品价格只是该商品供求双方对商品效用的主观判断，商品的价格之比应等于它们的边际效用之比，边际效用价值理论不同于劳动价值理论。边际生产力理论即要素的边际产出就是要素在生产过程中所做出的贡献，将要素的边际产出与产品价格的乘积称为边际产出价值，生产要素的边际产出价值等于生产要素价格。再进一步形成边际生产力分配理论等，总之，边际分析方法在经济分析中的应用标志着现代经济学的开端。
虽然门格尔、瓦尔拉斯和杰文斯三位经济学家使边际效应学派名扬天下，但是边际学派的先驱者是德国经济学家戈森，他建立了完备的主观主义经济理论体系，他企图研究并获得人的享受规律，从而帮助人们获得*大的生活享受，戈森第一定律提出了边际效应递减原则，戈森第二定律提出了享用物品的边际效用相等原则，他在1854年完成的经济学著作《人类交换规律与人类行为准则的发展》中写下了大量数学符号、公式、图表，他认为发现了经济变量变化之间关系的数学分析方法，戈森自诩他的著作在经济学上的成就类似哥白尼在天文学上的贡献。门格尔则出于对数学的无知，不了解200年前牛顿和莱布尼茨创立的微积分，于1871年重新发明“边际分析法”，清晰地阐明了边际效用学派的经济学分析方法。到了后一代的经济学家才搞清楚，门格尔所说的各种边际，原来就是数学家所说的导数或偏导数。杰文斯在1871年出版的《政治经济学理论》中，利用导数表述边际效用概念，提出了“*后效用程度”价值论，用数学模型建立两种商品之间交换的均衡价格是如何决定的。瓦尔拉斯在《纯粹政治经济学纲要》中提出稀少性价值理论，总之人们揭开了边际分析方法的面纱，认识到了边际分析方法的特点与应用。
如果杰文斯是第一代创始人，那么英国边际学派的第二代研究人员中有两位代表人物。一位是以统计学家和经济学家著称的埃奇沃思，这位牛津大学教授力图用抽象的数学方法刻画边际效用理论。由于他把效用看作完全主观的东西，以致他的*重要的经济学著作有着一个《数学心理学》（Mathematical Psychics）的怪名称。这本书被德布鲁认为是对当代数理经济学*有影响的著作之一。其中，描述商品交换的埃奇沃思盒（Edgeworth box）分析方法，现在几乎每本经济学教科书都会提到；而关于瓦尔拉斯均衡与契约曲线在一定条件下可以重合的“埃奇沃思猜想”则是20世纪70年代数理经济学研究*热门的课题。另一位是名气更大的马歇尔，他在1861年进入剑桥大学数学系，1865年已成为一名数学家，后来成了经济学“剑桥学派”的宗师。今天的微观经济学教科书中的那些既直观易懂，又不失严谨的曲线图，多半出于马歇尔之手。他的学生凯恩斯（Keynes），是对当代西方经济学和西方经济政策影响*大的人物之一。凯恩斯也是以数学家的身份开始其经济学研究的，他甚至还在1921年编写了一本《概率论》，该书是那个时代*重要的概率论和或然逻辑方面的著作之一。
如果奥地利经济学家门格尔算第一代创始人，那么奥地利边际效用学派的第二代研究人员则是门格尔的两大门徒庞巴维克（Bawerk）和维赛尔（Wieser）。他们都是维也纳大学教授，使门格尔开创的奥地利边际效用学派发展到尽善尽美，但是在方法上则与他们的老师一样，还是继续使用边际分析方法。门格尔的儿子小门格尔*大的贡献是对不确定性经济学问题的研究。他很早就进入经济学研究领域，并不拘一格地培养学生。其名下*著名的两位学生，一位是当代*伟大的数理逻辑学家哥德尔（Godet）；另一位是沃尔德（Wald）。正是在小门格尔的帮助下，沃尔德在1933～1936年成为第一个试图给出一般均衡存在性严格数学证明的人，后来又在第二次世界大战期间成为开创统计学新局面的大统计学家。然而数学思辨模式的经济学分析方法使1959年德布鲁建立了公理化经济学体系，他把整个一般经济均衡理论严格数学公理化，从而出版了《价值理论》一书，这本书一问世就被认为是20世纪前50年人类*伟大的科学成就之一，正如德布鲁所说，这本书的出现“宣告了经济理论的深刻而广泛的转变”。还有一位代表人物是摩根斯坦（Morgenstern），他受小门格尔的影响也很大。有一次他在研究一个经济学问题时遇到了数学上的困难，便去请教数学家切克，切克告诉他这样的问题正是冯 诺伊曼*近研究的对策论问题。就这样，冯 诺伊曼与摩根斯坦走到了一起，开始了数十年有关对策论及其在经济学中的应用的合作研究。有一个有趣的现象值得注意，人们认为由冯 诺伊曼在1928年创立的对策论是一门数学，但是今天在西方大学里的对策论教授几乎都是经济系教授，而且学生想学对策论似乎也只能去经济系。此外，冯 诺伊曼投身于经济学的研究也是在他加入奥地利学派时进行的。他用德文写的极为重要的有关一般经济均衡模型和经济增长的论文，于1937年发表在小门格尔主编的数学文集中，后来因在1945年译成了英文而轰动一时，被认为开创了当代经济增长理论的新纪元。
奥地利学派的另一位声名显赫的代表人物是熊彼特（Schumpeter）。由于他的思想更为敏锐，视野更为开阔，人们早已不把他仅仅当作奥地利边际效用学派的代表，而是看作当代经济学领域*有影响的经济学家之一。他的“创新”理论、经济周期理论虽然没有包含很深奥的数学知识，但他对经济学中融入数学方法的促进作用很大。没有他的推崇，洛桑学派和数理经济学的地位或许不会如此之高。1932年，熊彼特移居美国后，在哈佛大学任教，培养了几代经
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