第1章绪论
在工程问题的研究历史中，断裂破坏现象始终是一个不可忽视的话题。总的来说，导致工程材料发生永久破坏的原因大致可分为两类，即塑性变形和断裂。塑性变形通常发生在材料内部应力超过屈服极限后的阶段，而断裂则会使材料裂成几个部分。在断裂力学发展之前，对于断裂问题的研究几乎完全依赖于唯象方法，然而通过应力或应变的概念所建立的强度准则的可靠性并不高。虽然当裂纹比较小的时候这类准则也具有一定的精度，但是当裂纹尺寸较大，裂纹尖端应力场具有显著的梯度变化时，这些基于应力或应变的准则几乎完全失去作用，甚至出现了名义应力远小于强度应力时就发生破坏的现象。因此，一些相应的工程设计就存在显著的隐患。一个著名的例子就是第二次世界大战(简称二战)时期美国的“自由舰”事件。自由舰是美国在二战时期建造的命名为“自由”的大型海军货轮[1](图1-1)，由于其造价低廉且施工简单，因此在美国大批量建造，在1941～1945年内共建造了约2710艘，被认为是美国在二战时期工业水平的一个象征。然而，自由舰在服役期间却出现了严重的脆性破坏。二战期间，美国约有100艘自由舰发生了严重的舰艇断裂事故，甚至约有10艘在无征兆的情况下断成两截[2]。究其原因，是较低的温度导致船体使用的钢铁脆化，更容易引起裂纹的起裂和扩展。其中，船体的建造中采用了大量的焊接技术，使得钢板被有效地连接在一起，为裂纹持续扩展提供了可能。除此之外，船体的设计并未有效避免应力集中等问题，这也导致了裂纹更易起裂。
历史上一系列断裂事故的不断发生，引起了人们对相关问题的研究，并*终发展出来了一套断裂力学理论。断裂力学的基石是弹性裂纹尖端场展开解，利用该解，*早提出了两类断裂准则，即应力强度因子准则和能量释放率准则。通过裂纹尖端解可以发现，裂纹尖端的应力是无限大的，并且具有很高的梯度。因此，断裂力学认为不应用应力作为准则，而应该使用表征应力状态的量——应力强度因子来判断裂纹是否会起裂。能量释放率准则是基于结构整体能量平衡发展而来的，即产生新的裂纹表面所需的能量为结构减少的势能。随着断裂力学的发展，人们开始使用一种内聚力模型来表征裂纹的扩展。*早的内聚力模型为Dugdale模型[3]，该模型认为在真实的裂纹前端还存在着一段虚拟裂纹，虚拟裂纹受到原子力的黏聚作用，在虚拟裂纹的尖端应力强度因子为零，也就在理论上避免了应力奇异性这一在物理上无法解释的现象。除了内聚力模型，人们还发展了损伤理论来减小断裂力学的求解难度。
1.1断裂问题一般求解方法
在断裂力学形成以后，人们逐渐接受了使用应力强度因子等作为判据进行结构的设计。随后，学者对一系列断裂问题展开了求解，并且获得了一些典型问题相应的应力强度因子解析解或近似解，并整合成为《应力强度因子手册》，通过手册可以直接查询，便于设计。然而，能够得到解析解或近似解的含裂纹问题仅限于标准结构，如矩形板中心裂纹、无限大板中心裂纹、无限大板中的周期裂纹等。随着设计目标变得更加复杂，这些完美裂纹构型的解析解或近似解已经不能满足实际需求了，需要对更加复杂的结构几何形状、非标准的裂纹构型和复杂的受力状态进行分析，得到更加符合实际工况的裂纹尖端应力强度因子。这也促进了裂纹问题的数值求解以及相应的计算方法理论的发展。
目前，比较常见的裂纹问题的数值分析方法包括：奇异单元法和内聚力单元法等，但是这类方法往往需要预先知道裂纹的路径，以及需要在裂纹面或者裂纹尖端放置特殊的单元，以考虑结构内因裂纹存在而导致的非连续场，而这些要求增加了此类方法对断裂过程模拟的难度。为了能够更加方便、有效地模拟裂纹的任意扩展过程，国内外的研究者们提出了多种更加先进的数值方法，其中*具代表性的就是扩展有限元法(XFEM)，这类方法一般采用增加额外自由度的方式考虑单元内的非连续场，因此避免了模拟裂纹扩展时网格重构的问题。不过需要注意的是，此类方法往往需要对裂纹的路径进行追踪，以确定加强单元的位置，这就给模拟复杂裂纹问题带来了较大的挑战，并且此类方法还很难处理裂纹分叉以及多条裂纹交叉等情况。另一方面，损伤力学则另辟蹊径，假设材料的断裂破坏可以表示为一部分材料的软化，通过损伤因子的概念来衡量材料软化的程度。损伤力学是基于连续介质力学发展而来的，在有限元模拟的过程中，不需要重新划分网格，计算方便，而且实现的难度几乎不随裂纹的复杂程度增大而增加。但是，传统的损伤模型也有一些缺点，比如网格相关性强、理论不严密等。近年来，一类断裂问题的相场法得到发展。本质上来说，该方法也属于损伤模型，但克服了原有损伤模型的一些缺点，具有很好的研究和实用价值。
1.2断裂力学的相场模型
1998年Francfort和Marigo根据Griffith脆性断裂理论，提出了一种断裂力学变分原理[4]，他们以结构内可能的位移场和裂纹面集合作为自变量，将变形能与断裂能之和定义为结构总能量，并且认为真实的位移场与裂纹面使得该总能量*小。然而在数值模拟中将离散的裂纹面作为未知量来求解是非常困难的，因此2000年Bourdin等提出了一种相场模型，其中引入了一个连续的标量场，即相场，来近似地描述裂纹。相场值为1和0分别代表材料完全破坏和完好两种极限状态，而它们之间的值代表了一种损伤状态，并且裂纹的弥散程度由相场特征宽度来控制，其值越大弥散宽度越大，反之则越小。然后通过一个与相场相关的裂纹面密度泛函来重构结构内的断裂能，并将因损伤而退化的变形能与重构的断裂能代入Francfort-Marigo变分原理就得到了相场模型的基本列式。相场模型中的自变量为两个连续变化的场，即位移场和相场，因此它可以很方便地由不同数值方法实现，本书主要介绍的是相场模型在有限元法框架下的数值求解。直观来看，相场模型将一个结构内裂纹萌生与演化问题，转化为了一个多场耦合情况下求*小能量的优化问题，因此它可以用于直接求解(例如分叉、交叉、融合、扭结等)复杂断裂问题，而不需要额外的裂纹路径追踪方法。
Francfort-Marigo变分原理是基于Griffith脆性断裂理论而形成的，这就使得*初的相场模型在模拟断裂问题时，自动隐含了一种基于临界能量释放率的破坏准则。这在处理一些复杂多裂纹情况中是非常有利的，但是需要注意的是这种特性也使得相场模型很难再考虑其他类型的破坏准则，限制了其在准脆性材料、复合材料等问题中的应用。因此在过去的十几年中如何将相场模型推广到此类问题中就是相关领域研究的一个热点问题。另外，相较于直接采用Francfort-Marigo变分原理，相场模型的一个突出的优点就是它引入了一个连续变化的相场来近似描述裂纹构型，避免了在数值模拟时求解一个离散的裂纹集合的问题。但是这就需要相场的宽度尽可能小，并且在相场值为1处，其沿宽度方向上的梯度尽可能大，有研究表明，当相场宽度趋向于零时，相场模型等价于Griffith脆性断裂理论[5]。为了在有限元模拟中尽可能准确地描述相场的梯度，一般要求潜在断裂区域内的网格尺寸小于1/2倍甚至1/5倍的相场特征宽度。相场模型的这一要求使得它在模拟中往往需要非常稠密的网格，极大地增加了模拟时间。此外，相场模型为一个高度非线性系统，其中位移场和相场是相互耦合的，并且Francfort-Marigo变分原理所定义的总能量一般是非凸的，这就使得在它的求解中很难得到全局收敛解，因此一些文献中建议采用一种交错求解格式求其局部*优解[5，6]。需要注意的是，虽然这种求解格式提高了模拟的收敛性与稳定性，但是它往往需要非常多的迭代次数，结合较密的有限元网格，使得相场模拟的效率非常依赖于其数值实现平台。并且，Francfort-Marigo变分原理是Griffith脆性断裂理论的一种较为合理的数学描述，因此它不可避免地继承了Griffith理论的一些缺点，比如不能考虑材料断裂强度的影响。这个缺点在一些传统的相场模型中[7，8]表现为预测的结构*大承载能力不准确。一些学者发现，在传统脆性材料的相场模型中，模拟的结构*大承载力与相场特征宽度的取值相关，因此可以通过确定特征宽度的合理取值来解决相场法的这个理论缺点。研究发现，相场特征宽度的合理取值可通过材料破坏强度、杨氏模量等物理属性计算出来[9，10]，由此可在一定程度上正确预测结构/材料的*大承载能力。然而，对于不同的材料，其属性往往具有较大的差异。在一些材料中，如碳纤维增强型复合材料，经材料属性计算出来的相场特征宽度可能会非常大，进而导致模拟失败。在对断裂力学相场模型的学习与研究中，这些都是读者需要特别关注的问题。
本书将从断裂力学的基础出发，介绍有关的相场模型及其应用。第2章中简要介绍了线弹性断裂力学中的基本概念以及现有的一些较为常用的断裂数值模拟方法。第3章详细介绍了传统用于脆性材料破坏的相场模型。为了帮助首次接触相场模型的读者能够更快地理解相关内容，本章按照相场函数的定义、裂纹面密度泛函和Francfort-Marigo变分原理的顺序逐渐由浅入深，具体地解释了相场模型的基本假设和理论。同时本章中还给出了相场模型相关的有限元列式，以及求解非线性方程组所采用的迭代格式。第4章介绍了用于模拟内聚力裂纹的相场模型。对在传统相场模型的基础上如何考虑特定内聚力关系的过程做了详细介绍，展示了该模型实现不同内聚力关系的理论基础。第5章介绍了模拟动态裂纹的相场模型。相对于准静态问题，该模型需要考虑惯性力的影响，并且本章详细介绍了不考虑相场黏滞力和考虑相场黏滞力的模型，给出了相场数值求解时所采用的显式积分格式。相比于隐式求解，该显式格式不需要进行迭代，并且省去了内存中大量的矩阵运算，因此可以节省模拟时间。第6章介绍了一种用于模拟纤维增强复合材料破坏的修正各向异性相场模型。相较于各向同性破坏的相场模型，该模型中通过引入一个结构张量来考虑断裂属性的方向性，并且对驱动破坏演化的相场驱动力进行了修改以能够更加准确地描述裂纹的扩展过程。第7章介绍了模拟多相材料破坏的双相场模型，其中一种相场用于弥散材料界面，另一种相场用于弥散裂纹。第8章将相场法在商业软件ABAQUS二次开发环境中的程序实现方式做了介绍，并附上相应相场模型的UEL代码以及相应模型信息文件，以帮助读者能够更快地理解相关理论，以及用于具体的断裂问题的数值模拟。
本书第一作者和合作者撰写了相场法的综述文章[11]，感兴趣的读者可以参阅。
第2章断裂力学基本公式
根据受力和变形的特点，弹性体裂纹一般可划分为三种基本类型：I型裂纹，也称为张开型裂纹，其裂纹表面位移垂直于裂纹的扩展方向，如图2-1(a)所示，I型裂纹是工程上常见的裂纹形式；II型裂纹又称为滑开型裂纹，如图2-1(b)所示，裂纹上下表面位移彼此相反，一个沿着裂纹扩展方向，另一个背离扩展方向；III型裂纹又称为撕开型裂纹，如图2-1(c)所示，裂纹上下表面产生向面外方向相反的位移。
图2-1三种基本的裂纹模型
在实际工程问题中，结构的几何形状和载荷情况是复杂的，裂纹的形状及其扩展方向受到应力分布的影响，裂纹问题往往并非属于某一种裂纹类型，而是复合型的。例如，压力容器的内壁表面裂纹与轴向呈夹角时，这种裂纹在内压作用下属于I/II复合型。一旦该裂纹穿透压力容器，则变成了I/II/III复合型混合裂纹。
在断裂过程中，裂纹尖端不断扩展同时形成新的裂纹表面，这一过程伴随着能量的释放。由于裂纹尖端应力奇异性的现象，一般不使用应力值作为判断裂纹起裂及扩展的参数，而是使用应力强度因子、能量释放率等断裂参数。因此，早期的断裂力学研究主要集中在确定裂纹尖端附近的断裂参数上。
2.1线弹性力学基本方程
在断裂力学的分析中，经常要用到弹性力学的基本方程，关于它们的详细推导过程可以从众多弹性力学相应著作中查到[1]。本章只列出有关的基本方程，并
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