1模空间的故事：形变和刚性
季理真
这篇文章中，我们想要解释与形变和刚性这两个对立的想法有关的一些结果的历史发展过程.首先我们会回顾现代数学中与这两个主题有关的主要结果，然后我们追溯到它们的源头，即黎曼关于黎曼曲面及其模空间的工作.在这个过程中，我们会接触到很多伟大的数学家及其工作.我们希望从这个历史的视角也可以阐述数学的统一性．
1.1简介
在这篇文章中，我想给你们讲一个故事.这个故事是关于黎曼曲面、黎曼曲面的模空间，以及它们的影响的.
一个好的故事是值得听的，所以也是值得讲的.或许它也是有意义的.我也想讲一下这个故事的历史.除了个人兴趣，历史也可以帮助我们从一个更大更合适的视角来更好地理解这些发展过程.另一方面，正如外尔在他关于黎曼曲面的经典书籍[149，p.IX]的前言中所说：
年轻一代总是倾向于忘记新的知识和老的知识之间的联系！
可以公平地说，数学的发展历史并没有被给予和数学的现代发展同等的强调.
我们的故事包含两个对立的方面：形变（灵活性）和刚性（不变形这两个性质不同但却紧密相关.它们不只在数学中被当作基本且统一的主题.
事实上，它们在很多其他的情形中被广泛研究.比如说在中国文化或者说中国哲学中提到，阴和阳以及它们的相互作用是很多或者说所有事物的本质.这篇文章的*后，我们想要得到的一个结论就是同样的事实对于数学来说也是成立的.
尽管很多研究数学的学生和教师都遇到过某种形式的关于刚性和形变的结果，但是我们仍然想要说明一下从形变、刚性以及它们的相互作用出发得到的很多漂亮且重要的定理、理论、概念以及更多的一些东西，多可以追溯到黎曼曲面及其模空间.我们希望可以重新给数学的统一带来新的思路.
在任何一个故事中，都有主角和配角.在电影（尤其是老电影）和电视剧中，在名字之后，展开情节之前，他们会列出所有的演员.我们也来做相同的事情.
问题1.1.1在我们的故事中，谁是主要的人物，或者说谁是主角？
答 主角是伯恩哈德 黎曼（BernhardRiemann），生于1826年，卒于1866年.在他短暂的一生中，他引入了很多新的概念，创造和解决了很多学科和难题，并且能在以前的问题上给出新的视角.
希望所有人都可以赞同这样的一个选择，至少在读完这篇文章之后.我将会加入很多细节来证明这个论断.
问题1.1.2 第二主角是谁？第三主角又是谁？
我们不说第二、第三主角，而是把下面两个人统称为副主演：
1.奥斯瓦尔德 泰希米勒（OswaldTeichmiiller），在世时间很短，生于1913年卒于1943年.他是个天才的数学家，但是声誉不好，因为他是一个纳粹分子.
2.亚历山大 格罗滕迪克（AlexanderGrothendieck），跟其他两个人相比，在世时间很长，从1928年到2014年.他可以说是过去半个世纪里面*著名的数学家.
你可能会问，他们为什么出现在这里，并且尝试着去证明或者解释它.关于格罗滕迪克，可能更容易一点，因为他对大家来说更熟悉，尤其是对研究代数几何的人来说.但是他和我们要讲的故事的联系好像不是那么广为人知.另一个，泰希米勒却因为几个不幸的原因，包括政治原因和不好的运气，而没有得到该有的知名度.
问题1.1.3 我们故事里的配角呢？
下面列举了可能的配角，基本上是按照时间和学科顺序排列的.当然不同的人可能会有不同的列表.
1.克莱因（Klein），一个很有远见的数学家，一个坚强的信徒，自称是黎曼的接班人.
2.庞加莱（PoincaM），可能是我们故事中黎曼之后*著名的数学家.
3.赫尔维茨（Hurwitz），克莱因早年的一个学生.
4.弗里克（Fricke），克莱因稍晚一些时候的学生，并和克莱因合作写了一些很厚的书.
5.塞维里（Severi），意大利代数几何的黄金时代非常杰出的一个成员.
6.科比（Koebe），黎曼曲面的单值化定理无可争议的启动者.
7.布劳威尔（Brouwer），拓扑学的一个先驱，一个严格且不开心的人，对模空间也有贡献.
8.托勒利（Torelli），一个聪明的但是却在世时间很短的意大利代数几何家.
9.西格尔（Siegel），—个广博且深刻的数学家，不喜欢现代数学的猛攻.
10.劳赫（Rauch）、韦伊（Weil）、阿尔福斯（Ahlfors）和贝尔斯（Bers），他们有不同的兴趣方向和成就，但是都对泰希米勒空间和模空间理论有重要的贡献.
11.芒福德（Mumford），现代模空间理论的建筑师，跟德利涅（Deligne）合作有很主要的贡献.
12.格里菲斯（Griffiths）、霍奇（Hodge），结构的变分理论的奠基者，对黎曼曲面上的周期函数做了一般化.
13.德恩（Dehn）、芬切尔（Fenchel）和尼尔森（Nielsen），发展了双曲曲面和泰希米勒空间的双曲和拓扑理论.
14.瑟斯顿（Thurston），通过使用双曲曲面对泰希米勒理论进行了革命化的改进，并将泰希米勒理论应用到三维的双曲流形上.
15.麦克马伦（McMullen）、米尔扎哈尼（Mirzakhani），通过提出并解决问题使得泰希米勒空间上的动力系统成为主流问题.
16.小平邦彦（Kodaira）和斯潘塞（Spencer），建立了局部形变理论和高维复流形的模空间理论.
17.Kuranishi，针对紧的复流形，构造了万有形变族.
18.丘成桐、希策布鲁赫（Hirzebmch）和小平邦彦，证明了复射影空间的刚性，推广了CP1在单值化定理中的刚性.
19.志村五郎（Shimura），通过志村簇系统地开创了黎曼曲面上的计算代数几何，并且推广到高维情形.
20.塞尔贝格（Selberg），在皮亚捷茨基-沙皮罗（Piatetski-Shapiro）的某些工作的基础上，开创了半单李群的格的刚性和可计算性.
21.莫斯托（Mostow），针对局部对称空间和半单李群的格证明了深刻地影响了很多学科的强的刚性定理.
22.马尔古利斯（Margulis），证明了高维半单李群的格的可计算性，通过特定的齐次作用的超刚性和刚性解决了数论中的一些问题.
23.科莱特（Corlette）、格罗莫夫（Gromov）和孙理察（Schoen），完善了超刚性，从而解决了维数为1的半单李群的格的可计算性.
上面列表中的很多名字的出现对读者可能是常见的，但是也有一些可能不那么常见.我们将会对他们中的大部分给出注释.
答谢：这篇文章是对2017年3月在中国科学院数学研究所给出的一个讲座的笔记进行大量扩充得到的.我在这里感谢组织者友好的邀请.同时感谢比尔 哈维（Bill Harvey）给出有帮助性的注释.
1.2主要的刚性和形变定理
在数学中刚性和形变有很多种不同的表述.例如，稳定性可以被认为是一种刚性.某种对象的典范表达也可以被认为是某种形式的刚性，比如微分拓扑中的莫尔斯函数，线性代数中矩阵的若尔当标准形.另一方面，只要空间中出现非离散的族，就会有形变的概念.在数学中有一个非常强大的技术，就是讲一个复杂的空间通过形变变成一个简单的空间，退化就是其中的一个.例如，将髙亏格的黎曼曲面退化成一些亏格1或者亏格0的黎曼曲面的并.再例如，把子空间形变到一般位置，这在微分拓扑中解决横截相交的问题中是非常基本的方法，在代数几何中也有用到，特别是在施密特演算中.
虽然刚性和形变看起来是两个完全不同的概念，但是它们通常都是联系在一起的.*简单的例子在我们尝试着去将一个空间或者一个函数形变到标准形式时就出现了.稍后我们会看到，一个更加深刻的例子会出现在塞尔贝格对半单李群上的格的形变和刚性的研究中.它联合应用这两者来证明了格的可计算性.尽管关于刚性和形变这两个概念还有很多结果，但是在现代数学中，主要是以下四类结果：
1.复射影空间cpn（n≥1）的刚性.
2.局部对称空间的莫斯托强刚性定理和马尔古利斯超刚性定理、半单李群的格的可计算性.
3.代数曲线和代数簇的模空间.
4.复流形的小平邦彦-斯潘塞形变理论，以及周期函数和霍奇结构的变分理论.我们先给出上面这些一般结果的一些例子，然后再给出更多的细节.为了使大家更清楚，也使内容更具有可对比性，下面分成几个部分来讨论.
1.2.1关于刚性的一些结果
黎曼曲面的单值化定理是数学中*著名且重要的定理之一.具体表述如下:每个单连通的黎曼曲面双全纯等价于以下三个标准模型之一：复射影空间CP1、复平面C和单位圆盘（或者等价地说上半平面）.
作为一个推论，我们有如下结果.
定理1.2.1每个亏格0的紧黎曼曲面双全纯等价于复射影空间CP1.
由于S是单连通的并且是紧的，而C和都不是紧的，所以从单值化定理马上得到上面的结论.
我们断言这个定理是一个刚性的结果.为了解释这个断言，需要重新叙述这个定理为如下的结果.
性质1.2.2如果一个紧的黎曼曲面S和CP1同伦，那么它一定双全纯等价于CP1.
为什么称为一个刚性结果呢？如我们所知，可以添加下面这个更加精细也更强的结构：
1.拓扑流形结构.
2.光滑流形结构.
3.复流形结构.
4.复数域上的光滑代数簇结果.
对于空间上的每一种结构，我们有和它们对应的映射.例如，对拓扑空间和流形而言，自然的映射就是连续映射，拓扑空间的等价类由同胚给出.更弱一点的等价类由同伦类给出.
对于光滑流形而言，自然的映射是光滑映射和微分同胚；对复流形而言，那就是全纯映射和双全纯映射；对代数簇而言，它们被态射（或者叫正规映射）和同构给出.
众所周知，双全纯的两个流形是微分同胚的，微分同胚的流形是拓扑同胚的，从而也是同伦等价的.但是反过来一般来说每一步都是不对的，其正确的情形是非常不平凡的.例如，庞加莱猜想说如果紧流形是同伦等价于n维球面Sn的，那么它是同胚于Sn的.米尔诺给出的怪球S7的存在性说明一个同胚于S7的光滑流形不一定能够微分同胚于S7.我们可以找到很多例子来说明微分同胚的两个紧的复流形并不是双全纯等价的（或者你们现在就可以给出一些例子）.另一方面，有一个已知的结果说如果两个光滑的射影代数簇（从而是紧的）是双全纯等价的，那么它们作为代数簇也是同构的.这一结论来自中国数学家周炜良的一个非常著名的定理.它的出发点是考虑图之间的映射.
性质1.2.2 给出了反方向的一个结果，从同伦等价到双全纯的等价.因此我们说这是关于复射影空间CP1的刚性性质.这是一个非平凡的结果，并且在单值化定理被证明之前就已经是已知的了.事实上，单值化定理在1907年被庞加莱和科比分别独立证明，而这个关于CP1刚性性质是在1865年被克莱布什（Clebsch）证明的.
CP1的刚性听起来像是几何方向第一个重要的刚性定理.事实上，这个荣誉应该归于黎曼于1851年在他的博士学位论文里给出的一个更加著名的结果.
定理1.2.3（黎曼映射定理） 复平面C的每一个单连通的真子域可以双全纯等价于单位圆盘.
这个结果有和上面类似的特征：从拓扑等价我们可以推出全纯等价.所以它是一个刚性结果.另一方面，我们后面会看到这两个结果之间存在着很大的区别.髙维复射影空间CPｎ仍然有刚性性质，但是髙维复空间Cｎ（n≥2）中的单位球却不再具有刚性性质（在C2中有无穷多个不能全纯等价于其中单位球的单连通有界区域）.
我们想要提到的第二个刚性结果是莫斯托强刚性定理.在阐述它的一
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