第1章 一种生成迭代数列的新方法
1.1 问题的提出
迭代数列是一类重要的数列，也可以看成一类差分方程，在非线性方程的数值计算中具有广泛的应用.目前，一些有关数值分析和数学分析的书籍和论文文献[1-4]中，分别给出了收敛于和的两个典型迭代数列{un}，即
(1)对任意;
(2)对任意.
显然，它们是基于牛顿迭代法而构造得到的.那么是否存在其他收敛于和的迭代数列{un}？如果存在的话，又应该如何构造？
本章主要是探究分别收敛于和的迭代数列{un}的一般性构造方法，提出一种构造一类迭代数列的新方法.
为此，提出以下两个主要问题：
问题1 如何构造收敛于和的一类新的迭代数列？
问题2 构造思想是否可以推广用于构造收敛于 m(m >3)的迭代数列？为了回答上述两个问题，我们作如下探讨.
1.2 收敛于的迭代数列{un}的构造
下面，首先给出迭代数列{un}收敛阶的定义，然后再分别给出收敛于的迭代数列{un}的构造方法.
定义1.1 [1]设数列{un}收敛于 A，若存在常数，使，则称数列{un}的收敛阶为 p，也称数列{un}为 p 阶收敛于 A.
显然， p 越大，数列{un}收敛于 A 的速度便越快.
令，则对于非线性方程，由牛顿迭代法可构造得到收敛于的迭代数列，其中.
下面，我们给出收敛于的一类迭代数列的一种新的构造方法.
设 a >0， u1>0，{un}收敛于，相对误差，为了构造{un}，可令，
其中 k 为实常数，且.化简整理得，
从而得，于是令，即得计算的迭代数列{un}.为了使迭代数列{un}收敛于，须使 un >0，而这只需使.
又，故取即可.
特别地，取 k =0，即得，此即为文献[1]-[4]中收敛于的典型迭代数列.
下面主要探讨所构造迭代数列{un}：的收敛性问题，即当 k 取何值时数列{un}收敛于若收敛，何时达到二阶收敛于？
注意到且故当且仅当，即 k =0时，有，此时才可能达到二阶收敛.
事实上，利用柯西(Cauchy)收敛准则，我们可以证明得到数列{un}收敛的一般性结论.
定理1.1 设数列{un}满足 u1>0，且，其中 a >0， k 为实常数，则当时，数列{un}收敛，且.
特别地，有
当 k =0时，数列{un}二阶收敛于，此时;
当时，数列{un}一阶收敛于.
证明 由题设，当时，易知，且有.
于是，当时，有，从而有.下面分三种情况考虑.
(1)当且时，解得，于是有，此时取;
(2)当且时，解得，于是有，此时取;
(3)当且时，解得，于是有，此时取.
由上知，当时，有.
又由迭代关系式得，
于是对任意 p ∈ N，有.
故由数列极限的柯西收敛准则得{un}收敛.不妨设，则由递推关系式两边取极限，得.
解得，即得.
又由递推关系式，有，
故
(1)当且仅当 k =0时，有，
从而，此时数列二阶收敛于.
(2)当时，有，此时数列{un}一阶收敛于.
[注记1]由定理1.1的证明可知，当时，定理1.1的结论仍然成立.
类似地，为了构造得到更高阶收敛于的其他迭代数列{un}，可令，
其中 k， k1， k2为实常数.化简整理得，从而得.于是令，即得 的另一类新的迭代数列{un}.
为了使迭代数列{un}收敛于，须使 un >0，而这只需使.特别地，取 k =1且，即得，
再记上式中的 k1=1+ k，即得，
此即为定理1.1中收敛于的迭代数列{un}.
类似于定理1.1的讨论，对于迭代数列，有
故
(i)当且仅当，即 k1=1时，有，二阶收敛于.
(ii)当时，有;，此时数列{un}一阶收敛于.
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