第1章 转子叶片强度
【学习要点】
● 熟悉转子叶片受力特征、典型工作状态。
● 掌握叶身离心拉伸、弯曲、合成应力常规计算方法及应力分布特征。
● 熟悉叶片强度失效模式及应力评定标准。
● 掌握叶身结构强度设计要点。
● 了解影响叶片强度的其他因素。
● 了解榫头应力概念、常规计算方法及强度设计基本要求。
1.1 概述
转子叶片是压气机和涡轮中完成功能转换的重要零件，在发动机工作时承受着巨大的负荷。若转子叶片强度不足，将产生有害变形、裂纹、断裂等故障，碎片飞出还会打坏邻近的叶片和机匣，甚至打穿机匣外的管路，造成严重的事故。发动机中转子叶片的数量很大，少则几百片，多达几千片。如果能减小转子叶片的质量，则轮盘、转子和承力机匣等构件的质量也随之减小，从而将使整台发动机的质量大为减小。转子叶片强度设计分析的目的是保证所设计的转子叶片能可靠工作，又使其尽可能轻。
设计叶片时，① 首先要进行压气机或涡轮叶片的气动设计。根据设计的气动参数，选取一定的叶型，确定叶身各个截面的弦长b、*大厚度Cmax、进出气角、前后缘小圆半径等叶型构造参数；② 然后进行叶身结构强度设计。通过调整叶片各个截面的面积和各个截面形心之间的相对位置(即叶片各截面形心沿叶高的变化)，进行多次叶片强度计算及设计方案比较，以实现叶身结构优化，质量尽可能小；③ 还要结合叶片振动特性分析设计，考虑是否加装阻尼结构（如叶冠、凸台、轮缘阻尼结构等）；④ 根据加工工艺和积叠叶型须平滑过渡等要求进行叶片外形修整。为了满足气动、强度、振动、工艺等各方面的综合要求，且力求质量小，上述计算分析和结构设计修整过程往往需要进行多次迭代。
本章重点讨论转子叶片的强度分析问题。应该指出，压气机和涡轮转子叶片的强度计算公式和方法是基本相同的，只是在受力方向、叶片形状等方面有差异。
1.1.1 转子叶片受力分析
航空发动机工作时，转子叶片受到下列几种负荷(参见图1-1)。
图1-1 作用在转子叶片上的力
1. 叶片自身质量产生的离心力
由于发动机的转速很高，故叶片自身的质量离心力很大。例如一个质量为0.7kg的转子叶片在*大转速(11000r/min)工作时产生的离心力高达70000N，接近叶片自重的10万倍。叶片在其自身离心力的作用下，将产生很大的拉伸应力和弯曲应力，还能引起扭转应力。
2. 气流的横向气体力
压气机或涡轮的转子叶片都处于流量大、流速高的气流中，无论是燃气驱动涡轮转子叶片做功，或是压气机转子叶片压缩空气，都有很大的横向气体力作用在叶片表面，使叶片受到较大的气动弯矩。气体力使叶片产生弯曲应力，还会引起扭转应力。
3. 热负荷
在涡轮中，燃气温度可达到1700℃或更高，涡轮转子叶片的表面温度也将接近这个数值。压气机末几级转子叶片的温度可达400~550℃或更高。这不仅使材料的许用应力降低，而且叶片由于温度分布不均匀还会产生热应力。涡轮转子叶片中的热应力较大，特别是在发动机起动及停车过程更为严重，叶片往往因热机械疲劳而损坏。
4. 振动负荷
由于气流扰动等原因会激起叶片振动，这将在叶片中产生交变的弯曲应力和扭转应力。在某些情况下，这种振动应力还会很大。
在上述各种负荷同时作用的情况下，叶片的应力状态十分复杂，也难以精确计算。为了使问题简化，在方案设计或初步设计时可只计算叶片的主要的应力成分，并求出其代数和，得到近似的总应力。然后根据叶片材料的许用应力，计算出安全系数。至于那些被忽略的和难以计算的应力成分，在强度储备系数中加以考虑。
1.1.2 计算模型简化和坐标系
计算转子叶片的应力时，通常作如下假设。
（1）把转子叶片看作根部完全固装的悬臂梁。忽略叶片承受各种负荷后产生的变形。
（2）转子叶片仅承受自身质量离心力和横向气体力，只计算由离心力产生的拉伸应力和弯曲应力，以及由气体力引起的弯曲应力，不计叶片上的扭转应力、热应力和振动应力。
图1-2 叶片的坐标系
（3）设转子叶片各截面的扭转中心(刚心）、气体力压力中心与形心（质心）三者重合，则离心力和气体力均作用于截面形心（质心），忽略其对叶片其他截面产生的扭转应力。
转子叶片的轴线(各截面形心连线)通常是略有弯曲的空间曲线，因此计算叶片的强度时可采用如图1-2所示XYZ总体直角坐标系和xyz截面局部坐标系。取转子的旋转轴线为OX轴，以发动机排气方向为正；通过叶根截面形心o′作OX轴的垂线即为OZ轴，以指向叶尖方向为正，垂足O即为坐标系原点；将OX轴绕OZ轴顺钟向旋转90°(沿OZ轴向下看)即为OY轴的正向。截面局部坐标系的原点oi为转子叶片第i截面的形心，其x、y、z轴分别与X、Y、Z轴平行。
1.1.3 计算状态的选择
航空发动机，特别是军用航空发动机的工作范围宽，任务剖面变化大，这也是军用航空发动机区别于民用航空发动机以及地面燃机的主要差异之一。飞行速度V和高度H不同，则进入发动机的空气温度、压力、密度会随之改变，进而影响发动机空气流量。发动机的转速也时常改变。这都将引起叶片上所受的负荷发生变化。另外，叶片工作温度的变化对叶片材料的许用应力也有影响。因此，转子叶片上的应力情况及安全系数将随各工作状态不同而变化。一般来讲，只需要选取叶片若干典型几种*危险状态进行强度计算校核，即可保证在各种飞行状态下叶片能可靠工作。
图1-3 航空发动机高度H~速度V（或马赫数Ma）包线示意图
如前所述，作用于转子叶片上的*主要负荷是叶片自身的离心力和气体力。离心力与发动机转速有关，显然在*大转速nmax时的离心力*大。气体力的变化主要与发动机流量有关。由于叶片结构设计时通常要求尽可能使离心力弯矩和气体力弯矩相互抵消，这就要求对叶片*大和*小气体力两种极端情况加以重点考虑。因此在对转子叶片进行强度设计分析时，需在如图1-3飞机飞行包线内选择下列若干典型计算状态。
A状态：设计状态(即地面试车状态)，取H=0，V=0，n=nmax，作为叶片强度计算的基本计算状态。
B2状态：低空高速飞行（*大气动）状态，这时发动机空气流量*大，取H=0，VH=0max，n=nmax，进气温度可按夏季地面*高温度计算，如t0=313K。
C状态： 高空低速飞行（*小气动）状态，这时发动机空气流量*小，取H=Hmax，V=VHmaxmin，n=n巡航，t0=tHmax进行计算。tHmax为高度Hmax处的大气温度。
D、B1状态：*大热负荷状态——热端件温度*高（若开加力状态，限制使用时间），t4=tmax，n=nmax。
E状态：中间以上状态，可取H=Hz，V=Vz，n=nmax进行计算，中间以上状态工作总时间Time=TimeC (约占总寿命10%~35%)。可以近似按*大转速状态估算叶片应力及持久强度，它们的机械及热负荷差别不大。
1.1.4 叶片截面的主要几何参数
进行叶片应力常规计算时，需要知道叶片各截面的面积、形心坐标、主惯矩轴和主惯性矩。由于叶片截面形状特殊，一般难以解析计算，早期采用近似估算法。现在可借助有限元分析通用软件（如ANSYS），直接计算叶型截面积、形心位置，叶片体积、叶片重心位置等。此处介绍一种近似估算法（参见图1-4），计算误差为8%~10%。
图1-4 近似估算叶形截面几何参数图
对于薄叶型：
面积*
形心坐标m=0.429b
n=0.811h
主惯性矩*
*
*小主惯矩轴η与叶弦平行。
对于较厚的大曲度叶型：
面积A=0.7bcmax
重心坐标m=0.429b
n=0.762h
主惯性矩*
*
*小主惯矩轴η与叶弦平行。
1.2 离心拉伸应力计算
转子叶片在自身质量离心力的作用下，将产生拉伸应力。显然，叶片任一垂直于Z轴的横截面上的平均离心拉伸应力等于该截面以上的叶片质量离心力沿Z轴方向的分量与该截面面积之比。使用常规算法计算叶片拉应力时假设在一个截面上的离心拉伸应力是均匀分布的。
1.2.1 一般积分公式
如图1-5所示，在叶片上取一个高度为dZ的微元段，并在该微元段上取一个微元体dXdYdZ，令微元体的面积dXdY=dA，则微元体的离心力dp为
式中，ρ为叶片材料密度；ω为转子旋转角速度；Z′为微元体重心到旋转轴X的距离。
注意到Z=Z′cosφ，则离心力dP沿Z轴方向的分量为
因此，截面积为A（Z）的叶片微元段质量所产生的沿Z轴方向的离心力为
这样，就可求出转子叶身任一截面（Z=Zi）上的叶片质量的离心力沿Z轴方向的分量为
式中， ZT为叶尖处的Z坐标值;A（Z）为叶片横截面面积，是随Z坐标变化的函数。
则叶片任一截面（Z=Zi）以上的离心力作用在Zi截面上的平均拉伸应力如下：
（1-1）
图1-5 叶片微元体所产生的离心力
1.2.2 数值积分法
按照式（1-1)求叶片任一截面上的平均离心拉神应力，必须知道叶片横截面积随叶高变化的规律A（Z）。一般这一规律比较复杂，常不易用解析式表达并求积分，所以通常可采用数值积分法。
图1-6 叶片分段积分计算简图
如图1-6所示，将叶片沿叶高分成n段，则从叶尖到叶根有第0，1，2， ，n共n+1个截面。先研究第一段，即第01叶片段，该段叶片质量离心力沿Z轴方向的分量为
式中，Am1=12（A0+A1） 为第一段叶片的平均截面积；Zm1=12（Z0+Z1）为第一段叶片的平均Z坐标；ΔZ1=Z0－Z1为第一段叶片的Z向高度。
同理，可求出ΔP2，ΔP3， ，ΔPn。
设叶片第i截面面积为Ai，则该截面以上叶身的离心拉伸应力为
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