第1章行列式
　　科学研究、工程技术和经济活动中有许多问题可归结为线性方程组，行列式正是在研究线性方程组的过程中产生的．行列式实质是由一些数值排成的数表按一定的规则计算得到的一个数，这个数及其构成行列式的数表的重要信息，是研究线性代数的重要工具，它在自然科学、社会科学的许多领域里都有广泛的应用，特别在本课程中，它是研究线性方程组、矩阵及向量线性相关性的一种重要工具．
　　本章主要讨论行列式的概念、性质及计算方法，并介绍用行列式解一类特殊线性方程组的克拉默(Cramer)法则．
　　1.1二阶与三阶行列式
　　1.1.1二阶行列式
　　用消元法解二元线性方程组
　　(1.1.1)
　　(1.1.2)
　　(1.1.1)×a22－(1.1.2)×a12得
　　(1.1.3)
　　同理，(1.1.2)×a11－(1.1.1)×a21得
　　(1.1.4)
　　当a11a22－a12a21≠0时，二元线性方程组有唯一解
　　(1.1.5)
　　为便于记忆，引入下面概念．
　　定义1.1记号表示代数和，称为二阶行列式．记为
　　其中数aij(i，j=1，2)称为行列式的元素．横排叫作行，竖排叫作列.元素aij的第一个下标i叫作行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j叫作列标，表明该元素位于第j列．aij表明该元素是位于第i行与第j列交叉点上的元素．
　　由定义1.1可知，二阶行列式是由22个元素按一定的规律运算所得到的一个数，这个规律性在行列式的记号中称为“对角线法则”，如图1-1所示．把a11，a22的连线称为二阶行列式的主对角线，把a12，a21的连线称为次对角线（或副对角线），这样二阶行列式的值就等于主对角线上两元素的乘积减去次对角线上两元素的乘积．
　　有了二阶行列式的定义，二元线性方程组解(1.1.5)中的分母、分子表达式可分别记为
　　其中D称为二元线性方程组的系数行列式，Dj(j=1，2)又称为二元线性方程组的常数项行列式，其构成是系数行列式D中的第j列元素用方程组中的常数项b1b2去代替．则(1.1.3)，(1.1.4)可写成
　　于是，我们就有如下结论：对于二元线性方程组，当其系数行列式D≠0时，方程组有唯一解，且，即
　　例1解方程组
　　解因为
　　故方程组有唯一解
　　1.1.2三阶行列式
　　用消元法解三元线性方程组
　　(1.1.6)
　　类似于二元线性方程组的讨论，有当时，三元线性方程组有唯一解.
　　为了便于记忆，引入下面概念．
　　定义1.2记号表示代数和，称为三阶行列式，即.
　　由定义1.2可知，三阶行列式的展开式共有6项，每一项均为来自不同行、不同列的三个元素之积再冠以正负号，其运算规律可用如图1-2所示的“对角线法则”来表述．
　　例2计算三阶行列式．
　　解
　　例3解方程
　　解．
　　于是解得x=1或x=3．
　　根据三阶行列式的定义，可以把三元线性方程组的解用三阶行列式来表示．首先
　　就是三元线性方程组(1.2.1)的系数行列式．x1，x2，x3的分子分别用D1，D2，D3来表示，即.
　　于是，对于三元线性方程组(1.2.1)，当其系数行列式D≠0时，方程组(1.2.1)有唯一解，解为
　　其中Dj(j=1，2，3)是把D的第j列换成常数项b1，b2，b3所得的行列式．例4解三元线性方程组
　　解因为，故方程组有唯一解．又
　　于是所求方程组的解为
　　习题1.1
　　1.计算下列二阶行列式:
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　2.计算下列三阶行列式：
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　3.当k取何值时，
　　4.行列式的充分必要条件是什么？
　　5.解方程
　　6.证明下列等式：
　　1.2n阶行列式
　　利用二阶和三阶行列式，使二元和三元线性方程组的公式便于记忆和使用，人们自然想到把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式，并利用n阶行列式来讨论线性方程组的解，使它的解有便于记忆的简捷形式.为了得到n阶行列式的概念，我们先来学习排列和逆序的有关知识.
　　1.2.1排列与逆序
　　定义1.3由n个不同的数码1，2， ，n组成的一个有确定顺序而无重复数码的排列称为一个n级排列，简称为排列，一般记为i1i2 in.
　　例如，1234和4231均为4级排列，342561是一个6级排列.
　　注n级排列总共有n!种不同排法，并且称n级排列中按自然数大小顺序的排列，即123 n为n级的标准排列或称为自然排列.
　　定义1.4在一个n级排列i1 is it in中，如果is>it（即一个较大的数排在一个较小数前面），则称这两个数构成了一个逆序（或反序）.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数（或反序数），记为N(i1i2 in).
　　由定义1.4知求逆序数的方法：先考察i1与后面的n－1个数i2 in构成的逆序个数，记为t1；再考察i2与后面的n－2个数i3 in构成的逆序个数，记为t2；以此类推，*后考察in－1与数in构成的逆序个数，记为tn－1，而in后已没数，故tn=0，则
　　例1计算排列32514的逆序数.
　　解将数码3与后面的4个数码比较，构成2个逆序，即t1=2；
　　将数码2与后面的3个数码比较，构成1个逆序，即t2=1；
　　将数码5与后面的2个数码比较，构成2个逆序，即t3=2；
　　数码1与数码4不构成逆序，即t4=0.
　　所以所求排列的逆序数为
　　注N(12 n)=0，即标准排列的逆序数为0.
　　定义1.5逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
　　规定：标准排列123 n为偶排列.
　　注在n级排列的所有n!种不同的排列中，奇偶排列各占一半.
　　例如，3级排列总共有3!=6种不同排法，其中123，231，312为偶排列；而213，321，132为奇排列.
　　例2求排列n(n－1) 321的逆序数，并讨论其奇偶性.
　　解
　　易见，当n=4k，4k+1（k∈N）时，该排列为偶排列；当n=4k+2，4k+3（k∈N）时，该排列为奇排列.
　　定义1.6在一个n级排列i1 is it in中，如果交换数码is与it的位置，其他数码位置不变，得到一个新的n级排列，称为对排列施行了一次对换，记为对换(is，it)，即
　　例如，35241(2，4)35421.其中35241为奇排列，35421为偶排列.关于对换有如下性质：对一个排列施行一次对换后其奇偶性改变.
　　1.2.2n阶行列式的定义
　　排列的有关结论能帮助我们将二、三阶行列式推广到n阶行列式.

目录
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章行列式 1
1.1二阶与三阶行列式 1
1.1.1二阶行列式 1
1.1.2三阶行列式 3
习题1.1 4
1.2n阶行列式 5
1.2.1排列与逆序 5
1.2.2n阶行列式的定义 6
习题1.2 10
1.3行列式的性质 10
习题1.3 18
1.4行列式按行(列)展开 19
1.4.1行列式按一行(列)展开 20
1.4.2行列式按某k行(列)展开 25
习题1.4 27
1.5克拉默法则 28
习题1.5 31
总习题1 32
第2章矩阵 37
2.1矩阵的概念及运算 37
2.1.1矩阵的定义 37
2.1.2—些特殊的矩阵 39
2.1.3矩阵的运算 40
习题2.1 49
2.2可逆矩阵 50
2.2.1可逆矩阵的定义 50
2.2.2可逆矩阵的性质 53
习题2.2 54
2.3分块矩阵 55
2.3.1分块矩阵的概念 55
2.3.2分块矩阵的运算 57
2.3.3—些特殊分块矩阵的运算 59
习题2.3 60
2.4初等变换与初等矩阵 61
2.4.1矩阵的初等变换 61
2.4.2初等矩阵 63
2.4.3初等变换法求逆矩阵 67
习题2. 4 71
2.5矩阵的秩 72
2.5.1矩阵秩的概念 72
2.5.2矩阵秩的性质 74
习题2.5 75
总习题2 76
第3章线性方程组 82
3.1消元法 82
3.1.1线性方程组的消元解法 83
3.1.2线性方程组有解的判别定理 90
习题3.1 93
3.2向量与向量组的线性组合 94
3.2.1向量及其线性运算 94
3.2.2向量组的线性组合 98
3.2.3向量组等价 100
习题3.2 101
3. 3向量组的线性相关性 102
3.3.1向量组的线性相关性概念 102
3.3.2向量组线性相关性的有关定理 106
习题3.3 109
3.4 向量组的秩 109
3.4.1向量组的极大线性无关组 109
3.4.2向量组的秩与矩阵秩的关系 111
习题3.4 114
3.5线性方程组解的结构 115
3.5.1齐次线性方程组解的结构 115
3.5.2非齐次线性方程组解的结构 122
习题3.5 125
总习题3 126
第4章矩阵的特征值 133
4.1向量的内积、长度与正交 133
4.1.1向量的内积、长度及其性质 133
4.1.2正交向量组 135
4.1.3正交矩阵、正交变换 137
习题4.1 139
4.2方阵的特征值与特征向量 139
4.2.1特征值与特征向量 140
4.2.2特征值与特征向量的性质 142
习题4.2 145
4.3相似矩阵 146
4.3.1相似矩阵的概念 146
4. 3.2相似矩阵的性质 147
4.3.3矩阵与对角矩阵相似的条件 148
4.3.4矩阵对角化的步骤 150
习题4.3 153
4.4实对称矩阵的对角化 153
习题4.4 158
总习题4 159
第5章二次型 162
5.1二次型的基本概念 162
习题5.1 165
5.2化二次型为标准形 165
5.2.1二次型的标准形 165
5.2.2二次型的规范形 in
习题5.2 173
5.3正定二次型 173
5.3.1正定二次型和正定矩阵 173
5.3.2二次型的有定性 176
习题5.3 178
总习题5 178
第6章线性空间与线性变换 182
6.1线性空间的定义与性质 182
6.1.1线性空间的定义 182
6.1.2线性空间的性质 185
6.1.3线性子空间 185
习题 6.1 187
6.2线性空间的基、维数与坐标 187
6.2.1线性空间的基与维数 187
6.2.2线性空间的基与坐标 188
习题6.2 195
6.3基变换与坐标变换 196
6.3.1基变换公式 196
6.3.2坐标变换公式 197
习题 6. 3 205
6.4线性变换 205
6.4.1线性变换的定义 205
6.4.2线性变换的性质 209
6.4.3线性变换的值域与核 210
习题6.4 211
6.5线性变换的矩阵表示 212
6. 5.1线性变换的矩阵 212
6.5.2线性变换与矩阵的关系 218
习题6.5 222
总习题6 223
第7章应用案例 228
7.1投人产出模型 228
7.1.1模型的构建 228
7.1.2模型的求解和应用 230
7.2森林管理模型 231
7.2.1模型的构建 231
7.2.2模型的求解和应用 233
7.3汽车保险模型 234
7.3.1模型的构建 234
7.3.2模型的求解和应用 236
7.4满意度测量模型 237
7.4.1模型的构建 238
7.4.2模型的求解 239
7.4.3模型的应用 240
参考文献 241
部分习题答案 242