目录
前言
第1章 线性方程组 1
1.1 线性方程组与矩阵的有关概念 1
1.1.1 线性方程组的概念 1
1.1.2 矩阵的有关概念 2
1.1.3 同型矩阵与矩阵相等的概念 6
1.1.4 矩阵的转置 7
1.1.5 对称矩阵 7
1.2 线性方程组解的存在性 9
1.2.1 齐次和非齐次线性方程组 10
1.2.2 线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换和高斯消元法 12
1.2.3 行阶梯形矩阵与矩阵的秩 13
1.3 线性方程组的高斯求解方法 16
1.3.1 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵 16
1.3.2 将行阶梯形矩阵化为行*简形矩阵 18
1.4 线性方程组的应用 23
1.4.1 剑桥食谱 23
1.4.2 交通流量 24
1.4.3 决策问题 26
1.4.4 导航问题 28
习题 1 29
第2章 矩阵代数 32
2.1 矩阵的基本运算及性质 32
2.1.1 预备知识 32
2.1.2 矩阵的加减法 33
2.1.3 矩阵的数乘 34
2.2 矩阵的乘法运算 36
2.2.1 课题引入 36
2.2.2 矩阵乘法运算的定义和性质 37
2.2.3 方阵的幂 43
2.3 行列式 44
2.3.1 二阶行列式 44
2.3.2 三阶行列式 46
2.3.3 n 阶行列式 48
2.3.4 n 阶行列式的性质与计算 54
2.4 余子式与代数余子式 63
2.4.1 引例 63
2.4.2 伴随矩阵 64
2.4.3 行列式按行 (列) 展开法则 65
2.5 矩阵的秩及其求法 77
2.5.1 k 阶子式 77
2.5.2 矩阵的秩 77
2.5.3 矩阵秩的求法 78
2.6 求解线性方程组的克拉默法则 80
2.6.1 知识回顾||线性方程组 80
2.6.2 克拉默法则 81
2.6.3 重要定理 82
2.6.4 小结与思考 84
2.7 矩阵分块法 85
2.7.1 课题引入 85
2.7.2 分块矩阵的概念 85
2.7.3 分块矩阵的运算规则 87
2.8 逆矩阵 92
2.8.1 知识回顾||矩阵运算 92
2.8.2 课题引入 92
2.8.3 逆矩阵的定义 93
2.8.4 逆矩阵的性质 97
2.9 初等变换与逆矩阵的初等变换求法 99
2.9.1 知识回顾||初等变换 99
2.9.2 初等矩阵 100
2.9.3 初等矩阵的可逆性 101
2.9.4 初等行变换法求逆矩阵 102
习题 2 106
第3章 向量空间 112
3.1 向量及其线性组合 112
3.1.1 课题引入 112
3.1.2 向量的定义 113
3.1.3 两种特殊向量 113
3.1.4 向量同型与相等 114
3.1.5 向量的加、减、数乘运算 114
3.2 向量组、矩阵、线性方程组 115
3.2.1 向量组的定义 115
3.2.2 向量与向量组之间的关系||线性表示 116
3.2.3 线性方程组的向量表示 117
3.3 向量组的线性相关性 120
3.3.1 知识回顾||三维空间中的向量 120
3.3.2 线性相关与线性无关及其性质 120
3.3.3 向量组线性相关的判定定理 123
3.4 向量组的极大无关性 124
3.4.1 课题引入 124
3.4.2 两个向量组等价的定义和性质 125
3.4.3 向量组的极大无关组 127
3.4.4 向量组的秩与矩阵的秩的关系 130
3.5 向量空间 131
3.5.1 向量空间的定义 131
3.5.2 基变换公式与过渡矩阵 135
3.6 线性方程组解的结构 136
3.6.1 知识回顾||线性方程组的解 136
3.6.2 解向量的定义 136
3.6.3 齐次线性方程组解的结构 137
3.6.4 非齐次方程组 Am￡nx = b(b 6= 0) 解的结构 140
3.7 线性空间与线性变换 142
3.7.1 线性空间 142
3.7.2 线性变换的引入 142
3.7.3 线性变换的性质 144
3.7.4 几种特殊线性变换 144
习题 3 146
第4章 方阵的特征值与特征向量 152
4.1 方阵的特征值与特征向量的概念和计算 152
4.1.1 知识点复习 152
4.1.2 课题引入 153
4.1.3 特征值与特征向量的性质 155
4.1.4 本节小结 157
4.2 特征值和特征向量的求法 158
4.2.1 思维导图 158
4.2.2 理论依据 159
4.2.3 特征值和特征向量的其他性质 163
4.3 相似矩阵和对角化 166
4.3.1 相似矩阵的定义和性质 166
4.3.2 矩阵相似的充分不必要条件 167
4.3.3 相似对角化问题 168
习题 4 177
第5章 二次型及其标准形 180
5.1 二次型及其矩阵表示 180
5.1.1 课题引入 180
5.1.2 二次型的矩阵表示 183
5.1.3 二次型的标准形 187
5.2 化二次型为标准形 190
5.2.1 用合同变换化二次型为标准形 190
5.2.2 用配方法求二次型的标准形 191
5.3 欧氏空间 193
5.3.1 向量的内积 193
5.3.2 欧氏空间的定义 198
5.3.3 正交矩阵 202
5.4 实对称矩阵的对角化与二次型的标准形 204
5.4.1 化二次型为标准形 204
5.4.2 实对称矩阵的对角化 205
5.4.3 正交变换与二次型的标准形 207
5.5 正定二次型与正定矩阵 215
5.5.1 正定二次型 215
5.5.2 正定矩阵 216
习题 5 219
参考文献 223
附录 中英文专业词汇 224