第1章 量子力学基本概念
本章以量子力学基础知识为主要内容，作为后续章节的深入铺垫。对于量子力学而言，与其说它是一门物理学科，倒不如说它是一门数学学科。而且只要掌握了线性代数中的这些基本概念：行列式、矩阵、特征值理论、向量的基本性质、线性空间和内积(表1-1)，就可以将我们熟悉的线性(线性是一个非常优美的性质，可叠加、可数乘)代数的知识迁移到量子力学中，进而在精妙的数学体系中学习量子力学的基本假设，即线性代数是帮助深度理解量子力学理论体系的一个非常好的突破口。
表1-1 线性代数中的一些基本概念与量子力学中常用的概念的联系
看到“量子”这个词，许多人的第一反应就是把它理解成某种粒子。但只要是上过中学的人都知道，我们日常见到的物质是由原子组成的，原子又是由原子核与电子组成的，而原子核是由质子和中子组成的。那么量子究竟是什么？难道是比原子、电子更小的粒子吗？
其实不是。许多人一开始就“顾名思义”了，量子跟原子、电子根本不能比较大小，因为它的本意是一个数学概念(就像光年不是时间单位一样)。正如“6”是数字，“7个苹果”是实物，你问“6”和“7个苹果”哪个大，这让人怎么回答？正确的回答是：它们不是同一范畴的概念，无法进行比较。
那么“量子”这个数学概念究竟是什么呢？其实就是“离散变化的*小单元”。
定义1 量子是“离散变化的*小单元”。
什么叫“离散变化”？我们统计人数时，可以有一个人、两个人，但不可能有半个人、1/3个人；再如我们上台阶时，只能上一个台阶、两个台阶，而不能上半个台阶、1/3个台阶，这些就是“离散变化”。对于统计人数来说，一个人就是一个“量子”；对于台阶来说，一个台阶就是一个“量子”。如果某个东西只能离散变化，那么我们就说它是量子化的。1900年，德国物理学家马克斯 普朗克首次提出量子概念，他假定光辐射与物质相互作用时其能量不是连续的(图1-1)，而是一份一份的，一份“能量”就是所谓的量子，从此量子论宣告诞生。
图1-1 马克斯 普朗克
与“离散变化”相对的称为“连续变化”。例如在一段平路上，我们可以走到离起点1m的位置，也可以走到离起点1.1m的位置，还可以走到离起点1.11m的位置，如此，中间任何一个距离都可以走到，这就是“连续变化”。
显然，离散变化和连续变化在日常生活中都大量存在，这两个概念本身都很容易理解。但是，这又和量子有什么关系？为什么量子会如此重要呢？
因为人们发现，离散变化是微观世界的一个本质特征。微观世界中的离散变化包括两类：一类是物质组成的离散变化，另一类是物理量的离散变化。
先来看第一类，即物质组成的离散变化。例如，光是由一个个光子组成的，不能分出半个光子、1/3个光子，所以光子就是光的量子。再比如，阴极射线是由一个个电子组成的，不能分出半个电子、1/3个电子，所以电子就是阴极射线的量子。在这种情况下，我们似乎可以拿量子去跟原子、电子比较了，但这并没有多大意义，因为它是随问题而变的。原子、电子、质子、中子、中微子这些词本身就对应某些粒子，而“量子”这个词在不同的语境下对应不同的粒子(如果它对应粒子的话)，并没有某种粒子专门叫作“量子”。
再来看第二类，即物理量的离散变化。例如，氢原子中电子的能量只能取-13.6eV(eV为电子伏特，是一种能量单位)或者它的1/4、1/9、1/16等，总之就是 13.6eV除以某个正整数的平方(-13.6/n2eV，n可以取1、2、3、4、5等，如图1-2所示)，而不能取其他值，如-10eV、-20eV等，正因为不是等距变化，我们便无法准确定量地描述氢原子中电子能量的量子是什么，但会说氢原子中电子的能量是量子化的，位于一个个“能级”上面。每一种原子中电子的能量都是量子化的，这是一种普遍现象，图1-2是常见氢原子能级图。
图1-2 氢原子能级图
在发现离散变化是微观世界的一个本质特征后，科学家们创立了一门能够准确描述微观世界的物理学理论，那就是量子力学。“量子力学”这个名称其实是为了强调离散变化在微观世界中的普遍性。量子力学出现后，人们把传统的牛顿力学称为经典力学。
量子力学的起源是在1900年，德国科学家马克斯 普朗克在研究“黑体辐射”问题时，发现必须把辐射携带的能量当作离散变化的，才能推出与实验情况相一致的公式。在此基础上，爱因斯坦、尼尔斯 玻尔(图1-3)、德布罗意、海森伯、薛定谔、狄拉克等提出了一个又一个新概念，一步一步奠定和扩展了量子力学的理论基础与应用范围。到20世纪30年代，量子力学的理论大厦已经基本建立起来，并且能够对微观世界的大部分现象做出定量描述了。
图1-3 尼尔斯 玻尔（图片引自《猫、爱因斯坦和密码学：我也能看懂的量子通信 》）
1.1 量子力学的三大奥义——叠加、测量和纠缠
在理解了量子力学的基本概念、起源本质、诞生背景之后，我们首先需要面对的是量子力学中*著名的三大奥义——叠加、测量和纠缠，也是量子力学的灵魂所在。
量子力学的三大奥义虽然违反“常识”，但微观世界的许多实验早已验证了它们的正确性。在学习以下内容时，每当你感到“这怎么可能”“这不是胡说八道吗”的时候，请记住，这些原理并不是某个科学家的心血来潮向壁虚构，而是已经经过近百年来的无数实验反复证明的，其应用范围几乎涉及我们身边所有事物。所以，在目前的认识范围内，科学界把这些原理视为真理。接下来，我们一起学习这三大奥义——叠加、测量和纠缠，当然，在这个美妙的过程中，我们难免会使用到一些线性代数中的符号。
1.1.1 第一大奥义：线性代数中的线性组合与量子叠加态
为了更顺利地理解“叠加态”这个概念(图1-4)，我们要先定义“态矢量”。
图1-4 什么是叠加态
定义2 态矢量——表示量子力学状态的矢量。
一个系统的态(state)，包含了为了确定它未来的演化，而必须指定的关于这个系统的所有信息。例如，在经典力学中，系统的态是由该态中所有的粒子的位置和动量决定的。而在量子力学中，态是矢量，我们用符号 表示态矢量，它由希尔伯特(Hilbert)空间中的单位列向量描述，其中“ ”是英国理论物理学家狄拉克发明的，称为狄拉克符号，注意：
(1)只有正确理解了态矢量，我们才能找到量子力学的正确打开方式；
(2)态向量(或态矢)，常用 表示，也称为右矢，如*等都表示量子态；
(3*表示*的对偶向量，也称为左矢，由Hilbert空间中的行向量描述；
(4)可以将一个量子力学的状态理解成一个矢量(请回忆高中数学：矢量就是既有大小也有方向的量，如牛顿力学中的力、速度、位移都是矢量)，实际上，狄拉克符号 正是为了让人联想到矢量而设计的。
举一个简单的例子，考虑一个只有两种可能态的系统，这两种态可以是0/1、上/下、开/关、左/右、死/活等。这样的一个系统也叫作一个经典位(比特)，这也是计算机科学的基本概念之一。
定义3 一个经典位(比特)是可以处于两个完全不同状态的系统，这两个状态可以用二进制数0和1来表示。
经典位(比特)对应的计算机操作可以有“恒等”“与”“非”操作等，那么在量子计算机中或者量子计算领域中，我们使用的是否还是应用于传统的经典位(比特)呢？显然不再是了，那么我们如何在Hilbert空间中寻找到适合的“比特”呢？
此时，态矢量出现了，在二维复数Hilbert空间中，量子比特的两个态可以用矢量的两个分量来表示，即用一对正交归一的量子态来表示:
(1-1)
我们先回顾线性代数中向量的线性组合(linear combination)：在一个线性空间中，如果给定一组线性无关的基底 ，则向量空间中的任意向量 都可以表示为基底的线性组合：
(1-2)
接下来，我们假设有一个沿着z轴的二自旋电子，作为在本章中将一直用到的物理模型。在经典世界中，电子的自旋要么向上，要么向下(图1-5)。但是，量子世界中的态可以同时是两种态的叠加——既向上又向下，这里可以类比薛定谔猫的例子。现在我们将两种态的叠加态和向量做个对比，即将 和 看成某个抽象的二维空间中的基底，那么“既向上又向下”的状态，就是这两个基底的线性组合：
(1-3)
图1-5 电子的二自旋态
式中， 和 是复数(1.6节会详细介绍它为复数的原因)，也叫作概率幅，并且满足 ，这样的一个态被称为量子比特。也就是说，电子的自旋可以既不向上，又不向下，它是两种可能的态之间的线性叠加。“线性”意味着用一个数乘以一个状态，“叠加”意味着两个状态相加，所以“线性叠加”就是把两个状态各自乘以一个数后再加起来(图1-6)。
图1-6 自旋态的量子态表示
由图1-6可得，对于一个简单的向上或者向下单自旋量子态，有 和 两种量子态，对于多个自旋量子而言，根据图1-6中的自旋方向，我们可以写作 ，转化成十进制就是 ，如果四个自旋量子态的*后一个是一个叠加态，我们又该如何表达呢？这里显然需要“线性叠加”的知识，根据式(1-3)，*后一个是 和 的叠加，所以整体也就是 的叠加，转化一下就是 和 的叠加。
定义4 一个量子比特是一个可以在二维复数Hilbert空间中描述的两能级量子体系。
根据叠加原理，量子比特的任何态都可以写成如下形式：
(1-4)
式中， 分别为叠加态坍缩到 和 的概率幅，并且服从归一化条件。
问题1：为什么量子力学用Hilbert空间作为数学语言来描述？
答：第一，量子力学的实验基础是各种粒子的波粒二象性，而能自洽地描述波粒二象性的就是概率解释。数学上，如果用算符A描述物理态，由A应该能计算其概率。第二，从电子干涉和光干涉实验得到启示，可知量子态应该具有可加性。所以态用矢量描述是*方便的。第三，量子态是矢量，因为概率是正数，由矢量到数的映射，数学上就是内积，但内积有正有负，且有实数有虚数，所以取内积的模平方为概率，数学基础为内积空间。第四，独立的物理态有无穷多个，所以内积空间维数无穷大。无穷大涉及收敛的问题，某些参数取无穷大时，相应的物理态不能跑出空间，所以数学上需要任何一个序列的极限仍在空间内，即空间要满足完备性。综上，量子力学需要Hilbert空间作为数学语言来描述。
除此之外，我们还可在一个布洛赫(Bloch)球中表示量子比特(图1-7)，即
(1-5)
图1-7 一个量子比特的Bloch球表示法
在量子力学中，对于描写量子态的波函数 与 表示的是同一个量子态，即波函数可以差一个整体相位因子，故当忽略整体相位，此时式(1-5)可以写成
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