第一章解析几何
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用解析式来研究几何问题．解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生中常见新颖题的板块．各种解题方法在解析几何里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色．
第一讲直线与圆、线性规划
能力拓展1直线与圆的位置关系
(2014年卓越联盟)当实数m变化时，不在任何直线2mx+(1－m2)y－4m－4=0上的所有点(x,y)形成的图形的面积为.
【答案】4π
【解析】由题意知，满足条件的点集为{(x,y)|m∈R,2mx+(1－m2)y－4m－4≠0}，原方程可以转化为－ym2+(2x－4)m+(y－4)=0.
显然，当y=0时，不满足条件.
当y≠0时，令Δ=(2x－4)2+4y(y－4)<0(x－2)2+(y－2)2<4，
表示以(2,2)为圆心，以2为半径的圆的内部，
故不在任何直线2mx+(1－m2)y－4m－4=0上的所有点(x,y)形成的图形的面积为4π.
(2008年中国科学技术大学)A=(x,y)|(x－1)2+(y－2)2≤45，B={(x,y)|x－1|+2|y－2|≤a}，AB，则a的取值范围是.
【答案】［2,+∞)
【解析】设(x－1)2+(y－2)2=r2，则r2≤45，问题等价于求|x－1|+2|y－2|的最大值.
令x=1+rcosθ，y=2+rsinθ，
则|x－1|+2|y－2|=|rcosθ|+2|rsinθ|=r(|cosθ|+2|sinθ|)≤5r≤2.
故a≥2，即a的取值范围是［2,+∞).
设直线l1： y=k1x+1，l2： y=k2x－1，其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
(1) 证明l1与l2相交；
(2) 证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
【解析】(1) （反证法）假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2.
代入k1k2+2=0，得k21+2=0，此时与k1为实数的事实矛盾.
从而k1≠k2，即l1与l2相交.
(2) (解法1) 由方程组y=k1x+1
y=k2x－1，
解得l1与l2的交点P的坐标(x,y)为x=2k2－k1
y=k2+k1k2－k1．
而2x2+y2=22k2－k12+k2+k1k2－k12=8+k22+k21+2k1k2k22+k21－2k1k2=k21+k22+4k21+k22+4=1，
此即表明l1与l2的交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.
(解法2) 交点P的坐标(x,y)满足y－1=k1x
y+1=k2x，故知x≠0，从而k1=y－1x
k2=y+1x.
代入k1k2+2=0，得y－1x·y+1x+2=0，整理后得2x2+y2=1.
所以l1与l2的交点P在椭圆2x2+y2=1上.
在平面直角坐标系中，曲线y=x2－6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1) 求圆C的方程；
(2) 若圆C与直线x－y+a=0交于A,B两点，且OA⊥OB，求a的值.
【解析】(1) 曲线y=x2－6x+1与y轴的交点为(0,1)，
与x轴的交点为(3+22,0)，(3－22,0).
故可设C的圆心为(3,t)，则有32+(t－1)2=(22)2+t2，解得t=1.
则圆C的半径为32+(1－1)2=3.
所以圆C的方程为(x－3)2+(y－1)2=9.
(2) 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，其坐标满足方程组x－y+a=0
(x－3)2+(y－1)2=9.
消去y，得到方程2x2+(2a－8)x+a2－2a+1=0.
由已知可得，判别式Δ=56－16a－4a2>0.
因此,x1+x2=4－a，x1x2=a2－2a+12①.
由于OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0．
又y1=x1+a，y2=x2+a，所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0②．
由①②得，a2+2a+1=0，解得a=－1，满足Δ>0，故a=－1.
在平面直角坐标系中，已知圆C1： (x+3)2+(y－1)2=4和圆C2： (x－4)2+(y－5)2=4.
(1) 若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
(2) 设P为平面上的点，满足： 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
【解析】(1) 由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x－4)，即kx－y－4k=0.
由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d=22－2322=1.
结合点到直线距离公式，得|－3k－1－4k|k2+1=1.
化简得24k2+7k=0，即k=0或k=－724.
直线l的方程为y=0或y=－724(x－4)，即y=0或7x+24y－28=0.
(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1，l2的方程分别为y－n=k(x－m)，y－n=－1k(x－m)，即kx－y+n－km=0，－1kx－y+n+1km=0．
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，且两圆半径相等，
由垂径定理，得圆心C1到直线l1的距离与圆心C2到直线l2的距离相等.
故有|－3k－1+n－km|k2+1=－4k－5+n+1km1k2+1.
化简得(2－m－n)k=m－n－3，或(m－n+8)k=m+n－5.
关于k的方程有无穷多解，有2－m－n=0
m－n－3=0或m－n+8=0
m+n－5=0.
……
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