第1章 分数阶微积分基础知识
分数阶微分和积分有各种各样的定义，本章主要介绍常见的分数阶微分和积分的定义与性质，本书以常见的分数阶微分和积分的定义作为研究基础，更多的内容可参考分数阶著作[1—6].
1.1 一些特殊函数的定义和性质
本节给出本书用到的一些特殊函数及其基本性质.
1.1.1 Gamma函数
Gamma函数是分数阶微分和积分定义的基本组成函数，也是数值计算必须
考虑的重要函数.
定义1.1.1 含参积分
(1.1)
称为Gamma函数，z为复数，其中Re(z)为其实部.
Gamma函数的极限形式为
(1.2)
由分部积分，可得如下递推公式:
(1.3)
Gamma函数的基本性质:
(1)Γ(n+1)=n!，其中Γ(0)=1;
(2);
(3)余元公式，由余元公式可得;
(4)Legendre公式.
1.1.2 Beta函数
定义1.1.2 含参积分
(1.4)
称为Beta函数.
Beta函数和Gamma函数的关系为
(1.5)
Beta函数的基本性质:
(1);
(2);
(3).
1.1.3 Mittag-Leffler函数
Mittag-Leffler函数在分数阶系统里有着重要的作用，它是指数函数的推广.
关于Mittag-Leffler函数的性质及其应用可见[7].单参数的Mittag-Leffler的定义如下.
定义1.1.3
其中.
定义1.1.4 带有双参数的Mittag-Leffler函数定义如下:
其中.
Mittag-Leffler函数的基本性质:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11).
1.2 分数阶导数的定义和性质
分数阶微积分是整数阶微积分向非整数阶(任意阶)微积分推广后所得到的基本算子.目前已知分数阶微积分的最早历史源自1695年Leibniz和L’Hospital的学术讨论，在两人的信中提到了二分之一阶导数的意义[9].在随后的三百多年的时间里，由于缺少准确的物理意义和实际的应用背景，分数阶微积分的研究仅仅停留在纯理论的数学基础上.如1819年，Lacroix提出了一个简单的分数阶导数的结论;1823年，Abel在求解Voherra型积分时使用了分数阶算子的定义;19世纪中叶，分数阶微积分定义在Riemann、Liouville、Grünwald等的研究下有了系统性的结论.直到Mandelbort在1983年第一次发现并提出在自然界和很多科技领域中含有广泛的分数维实例，并且论证了整数和分数部分之间存在的自相似现象[10]，分数阶微积分才又一次得到了国内外学术界的广泛关注，其作为分形几何和分数维的动力学基础，也成为目前国际上的热点科研项目.
此外，注意到越来越多的学者指出，分数阶微分与积分更适于描述真实材料的特性.与传统的整数阶模型相比，分数阶微分模型提供了一种能够描述实际材料与过程中内在记忆与遗传特性的有效工具[2-4].现今，分数阶动力系统已在电磁波[12，13]、电解质极化[14-16]、黏弹性系统[17-21]、经济[22-26]、生物[27-29]、系统控制[30-34]、医学[35，36]等领域中得到广泛应用.分数阶微积分有潜力取得一些整数阶微积分无法达成的结果和更广阔的应用.分数阶系统与传统的整数阶系统相比，分数阶导数和积分为描述不同事物的记忆性和遗传性提供了有力的工具.事实上，现实世界中的过程一般或最有可能的是分数阶系统.“数学是给予万物高深莫测的别名的艺术，而‘分数阶微积分’这一美丽的、乍听起来有些神秘的名称正是这些别名中的一个，它同时也是数学理论的精华”(Igor Podlubny).并且分数阶本身作为参数，在传统整数阶的基础上提高了一个维度(自由度).因此，现实世界中的过程，尤其是复杂过程，更有可能是分数阶系统.当很多问题无法用整数阶系统准确刻画时，利用分数阶系统往往能简洁高效地拟合实际情况.分数阶微积分有着超越整数阶传统经典的巨大潜力，甚至展现出一些开创性的结果和应用价值.因此，越来越多的国内外学者开始关注和研究分数阶微积分，并在不同领域做出了很多贡献，验证了分数阶模型在很多方向上都比经典的整数阶模型更胜一筹.
本节简要介绍Grünwald-Letnikov分数阶微分和积分的定义、Riemann-Liouville分数阶微分和积分的定义及Caputo分数阶微分定义，本书主要用这三种分数阶微积分的定义.
1.2.1 Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义
Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义为离散的形式，是由整数阶的导数扩展而得到的.
整数阶导数的定义:
(1.6)
其中
将n扩展为任意实数q时，有
将上式用Gamma函数表示可得
定义1.2.1 Grünwald-Letnikov(G-L)分数阶微积分定义如下:
(1.7)
其中[ ]表示不比其大的最大整数.若q>0，上式为G-L分数阶微分定义;若q<0，上式为G-L分数阶积分定义.
G-L分数阶微积分有如下的性质.
(1)令，则，其中或.
(2)G-L分数阶微积分运算的连续性，即.
(3)G-L分数阶微积分算子是线性算子，即对任意的常数，有.
(4)G-L分数阶微积分算子的交换性质:
(I)当p<0时，对于任意的实数q，都有;
(II)当，且时，对任意实数q，都有;
(III)当，且，其中，则有;
(IV)当p=n时，对于任意的q>0，都有;
特别地，当有时，则有.
注1.2.2 这里只给出G-L分数阶微积分的基本性质，关于性质的证明可见[1，5]，关于G-L分数阶微积分算法可参考[6].
1.2.2 Riemann-Liouville分数阶微积分定义
Riemann-Liouville(R-L)分数阶微积分定义是研究分数阶系统常用的定义之一，本节主要介绍R-L分数阶积分定义和微分定义及一些基本性质.
1.R-L分数阶积分定义
如果将积分看作微分的逆定义，则整数阶积分可以写成如下形式
如果积n重可知
将n扩展为任意正实数q时，即可得到R-L分数阶积分定义.
定义1.2.3
其中q>0，Γ( )为Gamma函数.
2.R-L分数阶导数的定义
整数阶导数和分数阶积分算子复合运算就得到了R-L分数阶导数的定义，具体如下.
定义1.2.4
(1.8)
其中n为正整数.
当0<q<1时，R-L分数阶导数变为.
由文献[1]可知，G-L分数阶积分与R-L分数阶积分具有等价性.并且在闭区间[a，T]内，若函数f(t)满足n.1阶连续可微且f(n)(t)可积，则G-L分数阶微分与R-L分数阶微分也具有等价性，即
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