第 1章 声学与噪声分析基础知识
1.1基本声学参量
基本声学参量包括描述声波状态的物理变量和表示声波特性的参数[1，2]。
1．声压
一个人能听到声音的存在是因为耳道内空气压力的变化引起听觉频率范围内耳膜的振动。高于和低于大气压的压力变化叫做声压，单位是帕斯卡（Pa）。声学测量仪器（例如声级计）一般测量的并不是声压的幅值，而是声压的有效值（即均方根值）：
式中，T为周期；t为时间； p(t)为 t时刻的声压幅值。
2．质点振速
质点振速定义为在声波传播的介质中质点在平衡位置附近的振动速度，单位是米 /秒（m/s）。声压 p与质点振速 u的比值叫做声阻抗率（简称声阻抗），表示为
声阻抗率通常表示成复数的形式，表述声压与质点振速之比的幅值和它们之间的相位差，单位是 Pa？s/m，为纪念 Lord Rayleigh，也使用 Rayl作为单位。
3．声速
声速是声波在介质中传播的速度，单位是米 /秒（m/s）。理想气体中声速的计算公式为
式中，γ是比热比（定压比热与定容比热之比），对于空气γ=1.4；R是气体常数，对于空气 R =287J/(kg？K)；T'是气体的热力学温度（单位为 K），等于摄氏温度 t'+273.15。在室温和标准大气压下，空气中的声速为 343m/s。
4．频率和周期
每秒钟压力变化的次数叫做频率，单位是赫兹（Hz）。一个具有正常听力的年轻人可以听到的声音频率范围大约在 20～20000Hz，定义为正常可听频率范围。低于 20Hz的声音称为次声，人耳听不见次声，但仍会受其影响。由于次声在传播过程中衰减很小，即使远离声源也会深受其害。当次声的强度足够大时，能使人平衡失调，头晕目眩，并产生恐慌等，人体还能直接吸收次声而形成振动的感觉。高于 20kHz的声音称为超声，人们觉察不出来超声的存在，超声也不会对人体造成伤害。由于超声可以在任何物体中传播，因此常用作探测金属结构损伤或人体内部病变的工具。
只有一个频率的声音称为纯音。一种声音的频率分布会产生特有的听觉效果。因此，远处打雷的隆隆声具有较低的频率，而哨声具有较高的频率。在实际生活中，纯音很少遇到，多数声音是由不同频率的声波组成。如果噪声在可听声的频率范围内均匀分布，这个噪声被称为白噪声，听起来非常像湍急的流水声。
一个正弦信号完成一个循环所用的时间叫做周期，单位是秒（s）。周期和频率互为倒数。
5．波长
一个纯音（单频）声波在一个周期内传播的距离叫做波长，等于声速乘以周期或声速除以频率，即
由此可以计算出不同频率声音的波长。例如， 100Hz声音的波长为 3.43m，而 10kHz声音的波长只有 3.43cm。可见，频率越高波长越短，频率越低波长越长。
6．波数
波数是声学分析中经常使用的一个参数，定义为
式中，ω为圆频率（或角频率）。
7．亥姆霍兹数
亥姆霍兹数是声学分析中经常使用的一个参数，定义为波数和特征尺度的乘积，例如 ka或 kl，其中 a为半径， l为长度。可见，亥姆霍兹数是一个无量纲参数。
1.2理想气体中的声波方程
声场的特性可以通过介质中的声压、质点振速和密度变化量来表征。在声波传播过程中，同一时刻、声场中不同位置都有不同的数值，也就是说声压随位置有一个分布；另外，每个位置的声压又随时间而变化。根据声波过程的物理性质，建立声压随空间位置的变化和随时间的变化两者之间的联系，这种联系的数学表示就是声波方程或波动方程[3-5]。
波动是声传播介质的物质运动，可由牛顿质点动力学体系描述得到流体运动的基本方程。相对于环境状态参量，声扰动通常可以看作是小幅扰动。对于流体介质，在没有声扰动时环境状态可以用大气压 P0、速度U0 和密度.0 来表示，这些表示状态的参量满足流体动力学方程。在有声扰动时，状态参量可表示为
式中，p、u和.分别是声压、质点振速和密度变化量，它们代表声扰动对压力、速度和密度场的贡献。环境状态定义了声波传播的介质，各向同性的介质与位置无关。在很多情况下，把流体介质假设为理想化的各向同性静态介质，从而可以实现声学现象的定量分析。在各向同性介质中，状态变量 p.、u.和 满足连续性方程
和动量方程
式中，为全导数，t代表对时间的偏导数。对于静态介质（U0=0），将式（1.2.1）代入方程（1.2.2）和方程（1.2.3），忽略二阶以上声学小量，得到如下线性化声学方程：
理想气体中的声扰动是一个绝热过程，状态变量满足等熵方程，即
将作为变量，使用泰勒级数展开，并且忽略二阶以上声学小量得到
将理想气体状态方程代入式（1.2.7），得到第三个线性化声学方程
式中，
于是，应用理想气体状态方程即可以得到式（1.1.3）。
将式（1.2.8）代入式（1.2.4）消去.，然后对时间进行微分，再对式（1.2.5）取散度，二者相减得到
式中，是拉普拉斯（Laplace）算子，即梯度的散度。式（1.2.10）即为声波方程。
假设声压随时间变化的关系是简谐的，即声压表示成
将式（1.2.11）代入声波方程（1.2.10），得到只含有空间坐标的微分方程
即亥姆霍兹（Helmholtz）方程，也就是简谐声场的控制方程。
声波方程也可以表示成速度势的形式。对线性化的动量方程两边取旋度，并且注意到总是为，得到
因此，旋度在时间域为常数。如果我们考虑的初值为0，则任意时刻的值恒为，因而可以被看作是一个标量的梯度。流体的线性化动量方程要求具有零梯度，因此只是时间的函数，如果速度势被进一步限制，以至于
这个关于时间t的函数为0，则有
显然，上述两个表达式满足线性化的动量方程。结合线性化的连续性方程（1.2.4）和等熵关系式（1.2.8），可以得到
这个方程也叫做波动方程。尽管速度势有些抽象，但是用它来描述声场很方便，因为其他声学量都可以用速度势来表示。
1.3平面声波的基本性质
在垂直于声波传播的平面上，如果所有位置处的声学量相等，则这类声波被称为平面声波。此时声学量只是沿着传播方向发生变化。取声波传播方向为坐标 x，则平面波方程或一维波动方程为
对于简谐声场，控制方程即为一维亥姆霍兹方程
方程（1.3.2）的解可以写成正弦函数和余弦函数的叠加，或如下复指数的形式：
式中，A和 B是由边界条件确定的系数。
将式（1.3.3）代入式（1.2.11）得到
将声压表达式（1.3.4）代入动量方程（1.2.5）得到
式中，为介质的特性阻抗。
1.3.1声场特性
首先讨论任意瞬间t=t0时位于任意位置 x=x0 处的声波经过时间以后位于何处。在还没有确切知道以前，不妨假设经过时间以后，它传播到了位置处；最后如果求得，则说明经过时间以后声波仍在原处；如果，则说明声波沿正x方向移动了距离；如果，则说明沿负方向移动了距离。这个假设意味着时位于处的波就是t0时位于x0处的波，即
将式（1.3.4）的第一项代入上式，经过简化得到，由此解得
因为时间间隔总是大于零的，所以有，这就说明式（1.3.4）的第一项表示的是沿正 x方向行进的波（简称正向行波或前行波）。
类似的讨论可以证明，式（1.3.4）的第二项代表沿负 x方向行进的波（简称反向行波或后行波）。由此也可以说明，当初在写方程（1.3.2）的一般解时为什么取成复指数形式的特解组合，很明显，这种形式的解可以方便地将前行波和后行波分离出来。
可以看出，任一时刻t0 时，具有相同相位的质点的轨迹是一个平面，这只要令，即可解得
这就是说，这种声波在传播过程中，等相位面是平面，所以称之为平面波。由式（1.3.6）可得
可见，c代表单位时间内声波传播的距离，也就是声波的传播速度，简称声速。
总之，式（1.3.4）和式（1.3.5）的第一项描述的声波是一个波阵面为平面、沿正 x方向以速度 c传播的平面行波，第二项描述的声波是一个波阵面为平面、沿负 x方向以速度 c传播的平面行波。从式（1.3.4）和式（1.3.5）可以看出，平面声波在均匀的理想媒质中传播时，声压幅值和质点振速幅值都是不随距离改变的常数，也就是声波在传播过程中不会有任何衰减。这也是很容易理解的，因为假设媒质是理想的，没有黏滞性存在，这就保证了声波传播过程中不会发生能量的损耗；同时平面声波传播时波阵面又不会扩大，因而能量也不会随距离增加而分散。
值得注意的是：声波以速度 c传播出去，并不意味着媒质质点由一处流至远方。事实上，由式（1.3.5）可求得质点位移为
任意位置x0处质点的位移为
式中，a和都是常数。可见，x0处的质点只是在平衡位置附近来回振动，并没有流至远方。实际上也正是通过媒质质点的这种在平衡位置附近的来回振动，又影响了周围以至更远处的媒质质点也跟着在平衡位置附近来回振动起来，从而把声源振动的能量传播出去。
1.3.2声阻抗率
根据声阻抗率的定义，平面行波的声阻抗率为
可见，在平面波声场中，各位置的声阻抗率都相同，为一个实数，且平面行波的声阻抗
率数值上恰好等于介质的特性阻抗。
1.4声场中的能量关系
声波的传播过程伴随着声能量的传播，与声能量有关的主要物理量有声能密度、声功率和声强。
1.4.1声能量和声能密度
声波传到原先静止的介质中，一方面使介质质点在平衡位置附近来回振动起来，同时在介质中产生了压缩和膨胀的过程，前者使介质具有振动动能，后者使介质具有形变（弹性）势能，两者之和就是由于声扰动使介质得到的声能量。