第1章半导体物理基础
半导体物理知识是学习半导体器件物理课程的基础。为了方便学过半导体物理的学生在使用本书时对半导体物理的有关知识进行回顾和查阅，也为了给没有学过半导体物理的读者提供必要的参考，在本章简要介绍半导体的基本性质，主要内容包括半导体能带理论的主要结果、半导体中载流子的统计分布、费米能级的计算、载流子的输运和半导体中的基本控制方程等。半导体表面和半导体光学性质等是半导体物理的重要内容。为使本章的内容不过于冗长，并便于学习相关器件的物理知识，分别把它们放在有关章节(见第8、9章)进行介绍。相信这些内容可为读者学习半导体器件物理提供足够的预备知识。如果读者还觉得本书所介绍的内容不够全面、深入和详尽，可参阅标准的半导体物理和固体物理等教材。
1.1半导体中的电子状态
电子状态是指电子的运动状态，简称为电子态、量子态等。半导体之所以具有异于金属和绝缘体的物理性质是源于半导体内电子的运动规律。半导体内电子的运动规律是由半导体中的电子状态决定的。
1.1.1周期性势场
晶体中原子的排列是长程有序的，这种现象称为晶体内部结构的周期性。晶体内部结构的周期性可以用晶格来形象地描绘。晶格是由无数个相同单元周期性重复排列组成的。这种重复排列的单元称为晶胞。晶胞的选取是任意的，其中结构*简单、体积*小的晶胞称为原胞。原胞是平行六面体。原胞只含有一个格点，格点位于平行六面体的顶角上。
以原胞的任一格点为原点，方向分别沿三个互不平行的边，长度分别等于原胞三个边长的一组基矢量称为原胞的基矢(basis vector)，记为a1， a2， a3。矢量
称为晶格矢量。式中，m1，m2，m3是任意整数。r和r'=r+Rm为不同原胞的对应点，两者相差一个晶格矢量。可以说，不同原胞的对应点相差一个晶格矢量。反过来也可以说，相差一个晶格矢量的两点是不同原胞的对应点。通过晶格矢量的平移可以定出所有原胞的位置，所以Rm也称为晶格平移矢量(translation vector)。
晶体内部结构的周期性意味着，在晶体内部不同原胞的对应点处原子的排列情况相同，晶体的微观物理性质相同。因此，对于不同原胞的对应点，晶体的电子势能函数相同，即
式(1-1-2)是晶体的周期性势场的数学描述。
在绝热近似和单电子近似下，晶体中电子所处的势场可以看作周期性势场。图1-1所示为一维周期性势场的示意图。V1， V2， V3， 分别代表原子1， 2， 3， 的势场，V代表叠加后的晶体势场。
图1-1一维周期性势场的示意图
具有能量E1或E2的电子可以在原子1的势场中运动，根据量子力学的隧道效应，它还可以通过隧道效应越过势垒V到势阱2，势阱3， 中运动。换言之，在周期性势场中，属于某个原子的电子既可以在该原子附近运动，也可以在其他的原子附近运动。通常把前者称为局域化运动，而把后者称为共有化运动。相应的电子态分别称为局域态(local states)(原子轨道)和扩展态(extended states)(晶格轨道)。晶体中电子的运动既有局域化的特征又有共有化的特征。如果电子能量较低，如图1-1(a)中的E2，那么在该能态电子受原子核束缚较强，势垒V-E2较大，电子从势阱1穿过势垒进入势阱2的概率就比较小。对于处在这种能量状态的电子，它的共有化运动的程度就比较小。但对于束缚能较弱的状态E1，由于势垒V-E1的值较小，穿透隧道的概率就比较大。因此，处于状态E1的电子共有化的程度比较大。价电子是原子的*外层电子，受原子的束缚比较弱，所以共有化的特征就比较显著。在研究半导体中的电子状态时，*感兴趣的正是价电子的电子状态。
1.1.2周期性势场中电子的波函数、布洛赫定理
晶体是由规则地周期性排列起来的原子所组成的，每个原子又包含有原子核和核外电子。原子核和电子之间、电子和电子之间存在着库仑作用。因此，它们的运动不是彼此无关的，应该把它们作为一个体系统一地加以考虑。也就是说，晶体中电子运动的问题是一个多体问题。为使问题简化，可以近似地把每个电子的运动单独地加以考虑，即在研究一个电子的运动时，把在晶体中各处的其他电子和原子核对这个电子的库仑作用，按照它们的概率分布，平均地加以考虑，这种近似称为单电子近似(single electron approximation)，也称为哈特里-福克(Hartree-Fock)近似。这样，一个电子所受的库仑作用仅随它自己位置的变化而变化，它的运动便由仅包含这个电子的坐标的薛定谔方程(波动方程)决定，表示为
式中，为电子的动能算符，V(r)为电子的势能算符，E为电子的能量，ψ(r)为电子的波函数，h为普朗克常量，称为约化普朗克常量。
布洛赫(Bloch)定理指出：如果势函数V(r)有晶格的周期性，即
则方程(1-1-3)的解ψ(r)表示为
式中，uk(r)为一个与晶格具有同样周期性的周期性函数，即
Rm为式(1-1-1)所定义的晶格平移矢量。k为波矢量，是任意实数矢量，它是标志电子运动状态的量。k=称为波数，为波长。由式(1-1-4)所确定的波函数称为布洛赫函数或布洛赫波。在r + Rm处，有
即
式(1-1-6)是布洛赫定理的另一种表述。式(1-1-6)说明，晶体中不同原胞对应点处的电子波函数只差一个模量为1的因子。也就是说，在晶体中各个原胞对应点处电子出现的概率相同，即电子可以在整个晶体中运动—共有化运动。
现在考察波矢量为k和波矢量为k'=k + Kn的两个状态，其中
称为倒格矢。b1， b2， b3称为与基矢a1， a2， a3相应的倒基矢(reciprocal basis vector)。n1， n2， n3为任意整数。由b1， b2， b3所构成的空间称为倒空间或倒格子(reciprocal lattice)。b1， b2， b3与a1， a2， a3之间具有正交关系，表示为
且
其中
为晶格原胞的体积。显然，晶格平移矢量Rm和倒格矢Kn之间满足
利用上式，有
由于k是标志电子运动状态的量，因此上式说明相差倒格矢Kn的两个k代表的是同一个状态。这样，为了表示晶体中不同的电子态，只需要把k限制在以下范围(第一布里渊(Brillouin)区)就可以了，即
或写为
式(1-1-11)所定义的区域称为k空间的第一布里渊区。
布里渊区是把倒空间划分成的一些区域，它是这样划分的：在倒空间，作原点与所有倒格点之间连线的中垂面，这些平面便把倒空间划分成一些区域，其中，距原点*近的一个区域为第一布里渊区，距原点次近的若干个区域组成第二布里渊区，以此类推。这些中垂面就是布里渊区的分界面。
在布里渊区边界上的k的代表点，都位于倒格矢Kn的中垂面上，它们满足下面的平面方程：
即
k取遍k空间除原点以外的所有k的代表点。可以证明，这样划分的布里渊区，具有以下特性：
(1)每个布里渊区的体积都相等，而且等于一个倒原胞的体积。
(2)每个布里渊区的各个部分经过平移适当的倒格矢Kn之后，可使一个布里渊区与另一个布里渊区相重合。
(3)每个布里渊区都是以原点为中心而对称地分布着，而且具有正格子和倒格子的点群对称性。布里渊区可以组成倒空间的周期性的重复单元。
常见金刚石结构和闪锌矿结构具有面心立方晶格，其第一布里渊区如图1-2所示。布里渊区中心用Γ表示。6个对称的〈100〉轴用表示。8个对称的〈111〉轴用表示。12个对称的〈110〉轴用Σ表示。符号X，L，K分别表示〈100〉、〈111〉、〈110〉轴与布里渊区边界的交点。
在6个对称的X点中，每一个点都与另一个相对于原点同它对称的点相距一个倒格矢，它们是彼此等价的。不等价的X点只有三个。同理，在8个对称的L点中不等价的只有4个。
下面来证明布洛赫定理。
引入电子的哈密顿算符
则波动方程(1-1-3)可以简写成
引入平移算符(translation operator)T(Rm)，其定义为，当它作用在任意函数f?(r)上后，将函数中的变量r换成r+Rm，得到r的另一函数f(r+Rm)，即
对于任意两个平移算符T(Rm)和T(Rn)，有
这说明两个平移操作接连进行的结果，不依赖于它们的先后次序，即平移算符彼此之间是可以交换的，即
在周期性势场中运动的电子的势函数V(r)具有晶格的周期性，如式(1-1-2)所示，因而有
上式表明，任意一个晶格平移算符T(Rm)和电子的哈密顿算符H是对易的，即
根据量子力学的一个普遍定理，这些线性算符具有共同的本征函数。或者说，存在这样的表象，在此表象中，这些算符的矩阵元素同时对角化。
容易证明，为了选择H的本征函数，使得它们同时也是所有平移算符的本征函数，只需要它们是三个基本平移算符T(a1)，T(a2)，T(a3)的本征函数就够了。也就是说，如果ψ(r)是基本平移算符T(aj)的本征函数，则它也是平移算符T(Rm)的本征函数。
证明如下：假设ψ(r)是三个基本平移算符T(a1)，T(a2)，T(a3)的本征函数，即
于是
可见，若C(a1)，C(a2)，C(a3)分别是三个基本平移算符的本征值，则就是平移算符T(Rm)的本征值。ψ(r)也就是算符T(Rm)的属于本征值的本征函数。于是，可以这样来选择波动方程(1-1-3)的解，使它们同时也是所有平移算符的本征函数。
由于平移算符T(Rm)和H满足对易关系，因此若ψ(r)是H的本征函数，则经过平移后的函数ψ(r+Rm)一定也都是H的本征函数。要求这些函数都满足归一化条件，因而它们之间的比例系数的绝对值必须等于1，即
(m1，m2，m3是任意整数)
该式成立的充分必要条件是
即要求这三个常数只可能是模量为1的复数。它们一般可以写成
式中，β1，β2，β3为三个任意实数。以这三个实数为系数，把三个倒基矢线性组合起来，得到一个实数矢量k
根据正基矢与倒基矢之间的正交关系可以把式(1-1-18)改写为
代替β1，β2，β3，引入了矢量k。
需要说明的是，在量子力学中，算符代表一定的力学量，力学量的本征值是实数，相应的算符为厄米算符。平移算符只是一种对称操作，不代表物理量，不具有厄米算符的性质，故其本征值可以是复数。将式(1-1-20)代入式(1-1-17)，得到
此即前面给出的式(1-1-6)。
利用波函数ψ(r)可以定义一个新的函数
根据式(1-1-6)，容易证明，函数u(r)具有晶格的周期性
于是，由式(1-1-21)可以将周期性势场中电子的波函数表示为
式中，u(r)具有晶格的周期性。
根据以上分析，周期性势场中电子的波函数可以表示成一个平面波和一个周期性因子的乘积。平面波的波矢量为实数矢量k，它可以用来标志电子的运动状态。不同的k代表不同的电子态，因此，k也同时起着一个量子数的作用。为明确起见，在波函数上附加一个指标k，写为
至此，布洛赫定理得证。
相应的本征值(即能量谱值)为E = E(k)。
根据式(1-1-23)可以得出以下几点。
(1)波矢量k只能取实数值，若k取为复数，则在波函数中将出现衰减因子，这样的解不能代表电子在完整晶体中的稳定状态。
(2)平面波因子eik r与自由电子的波函数相同，它描述电子在各原胞之间的运动—共有化运动。
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