第1章 绪论
1.1 引言
在科学技术高速发展的今天，社会生产和人们的日常生活都与各种系统变得密不可分，如交通运输系统、复杂机械系统、通信网络系统、电力系统、互联网系统以及公共服务系统等。这些系统大多呈现结构复杂、元件间关系交错、承载价值巨大、重要性高等特点，一旦失效所造成的损失可能非常严重，甚至是灾难性的。因此，这些复杂系统的可靠性管理问题越来越受到人们的重视。如何对系统可靠性进行科学的评估和分析从而提升可靠性是极具现实意义的重要课题。
可靠性管理，是指基于特定管理目标，在系统可靠性理论和风险管理理论指导下，结合工程实际，科学地对可靠性工程技术活动进行规划、组织、协调、控制和监督等。可靠性数学理论是指导可靠性管理的基础理论之一，在可靠性管理中扮演着非常关键的角色。可靠性数学理论源于第二次世界大战期间对战机、武器等复杂机械装备可靠性的研究，经过半个多世纪的发展，现已成为面向各类复杂系统，综合概率、统计、运筹、图论等学科的理论和方法对可靠性作定量研究的理论，内容丰富且应用广泛。
一般来说，可靠性数学理论主要包含三个重要分支，分别是结构可靠性、随机可靠性和统计可靠性。结构可靠性侧重分析系统的结构对系统可靠性或性能的影响，随机可靠性侧重对系统或者元件的寿命分布进行建模，而统计可靠性或者可靠性统计侧重基于实际或实验数据对系统寿命分布和相关度量进行统计推断。其中，结构可靠性的角色更为基础。结构可靠性是以著名的应用概率统计学家Birnbaum等于20世纪中叶所建立的关联系统理论作为基本框架，以概率、统计和运筹中相关理论和方法为主要工具，通过对系统年龄行为、性能比较、维修策略优化等多个方面的研究，分析系统的结构对可靠性的影响机制，揭示系统运行的行为规律，寻求提高可靠性的方法和策略（Barlow and Proschan，1981）。
结构函数是关联系统理论中*基本的概念，它是系统工作状态关于元件工作状态的函数，基于这一函数关系，系统结构被完整刻画。结构函数的引入，为系统的可靠性分析提供了基本方法。给定系统的结构函数和元件的可靠性，系统的可靠性（函数）可以通过简单的概率计算获得，而当要比较两个系统的性能优劣时，可以直接比较结构函数的大小或者可靠性函数的大小。然而，在实际应用中，直接使用结构函数在很多时候却并不方便。例如，当用结构函数来表征一个系统结构时，它是依赖元件编号的，也就是说，对于同一个（非对称）系统结构，当交换某两个元件的编号时，系统的结构函数会发生变化，表明同一个系统结构可以具有不同的结构函数（本质上等价，但因编号而异导致形式不同）。这就使得我们在一般情形下较难通过结构函数直接来判定不同的系统是否具有相同的结构。此外，在系统性能比较中，当系统元件数目较大时，直接比较结构函数或可靠性多项式会导致很高的复杂性。
系统签名（system signature），作为系统结构的概率化表示，能够很好地克服上述结构函数在使用中的不足。一个n元件关联系统的签名被定义为一个n维概率向量，它的第i个分量是“元件的第i次失效恰好导致了系统的失效”的概率。当元件寿命独立同分布时，签名完全由系统结构决定。直观上，签名向量的尾部分量和越大，表示系统的结构越好，反之亦然。因此，签名能够较为直观地反映系统的结构优良性或稳健性。在计算系统可靠性时，签名扮演着一般关联系统到n中取k系统的纽带角色。当元件寿命独立同分布时（或可交换），系统可靠性可以表示成n中取k系统的可靠性关于签名的混合，这一混合表示使得n中取k系统的部分相关研究结果可以通过签名作为纽带应用到一般关联系统上。同时，签名也是系统可靠性比较的有力工具，它的使用往往能够简化问题并产生更强的结论，达到事半功倍的效果。一个典型的例子是Singh H和Singh R S（1997）与Kochar等（1999）分别运用可靠性多项式和签名独立地证明了n中取k结构下元件层面的冗余在特定随机序意义下优于系统层面冗余的结果，相比较而言，Kochar等基于签名方法的证明过程更简洁而且获得了更强的结果。
系统签名的概念*早可以追溯到著名学者EI-Neweihi等于1978年在研究串并联系统可靠性时提出的“系统寿命长度（life length）”的概念。EI-Neweihi等（1978a）将签名看作系统可靠性的一种度量，开展了串并联系统签名的计算和年龄性质问题研究。Samaniego于1985年在研究系统关于元件年龄性质封闭性的问题中独立地提出了这一概念（并未正式命名为签名），并且建立了系统可靠性关于签名的混合表示，基于这一重要表示，系统对元件IFR（失效率递增，increasing failure rate）性质封闭的充分必要条件被建立。Samaniego的工作首次开启了系统签名应用的大门，同时，他所建立的系统可靠性关于签名的混合表示为签名的进一步应用奠定了基础。Kochar等（1999）首次使用了“签名”这一名称，并将其用于系统可靠性的比较，基于Samaniego建立的签名混合表示，他们建立了系统可靠性关于签名随机序的封闭性质，这一封闭性质为系统可靠性比较提供了新方法，充分展示了签名在可靠性比较中所具有的独*优势。Kochar等（1999）的工作在可靠性领域中引起了较大的反响，随后，很多著名的学者如Shaked、Boland、Block等开始对系统签名展开进一步的研究。2007年，Samaniego出版了System Signatures and Their Applications in Engineering Reliability一书，该书系统介绍了签名的基本理论及其在工程可靠性中的相关应用。作为签名的第一本专著，它的面世为后续签名理论的发展起到了很大的推动作用。
在签名的研究中，计算问题一直都是*受关注的问题之一，因为签名的计算效率能够直接决定签名应用的深度和广度。EI-Neweihi等（1978a）*早讨论了串并联系统签名的计算问题，呈现了几种计算签名的方法和公式，然而，这些方法和公式仅适用于串并联系统，很难推广到一般系统结构下。Boland（2001）首次在一般系统结构下建立了签名基于系统路集数目的计算公式。Boland的公式不仅从路集的角度重新诠释了签名的含义，也为计算系统签名提供了非常重要的方法。然而，当系统结构较为复杂或者元件数目较大时，运用Boland公式计算系统签名往往比较复杂。Da等（2012）首次讨论了模块系统签名的快速计算问题，提出了模块系统的分块计算方法，并建立了串联模块系统、并联模块系统以及冗余系统签名的分块计算公式，这些公式能够大幅降低模块系统签名计算的复杂性。这一工作也使得探索签名有效算法随即成为领域内关注的焦点问题，之后，很多学者在这一问题的研究中做出了很好的成果。签名的计算是本书介绍和讨论的第一个主要问题。第3和第4章将系统介绍一般系统签名的计算方法和模块系统的分块计算方法。
可靠性度量是签名的基本属性，年龄性质研究是认识这一度量的有效途径。EI-Neweihi等（1978a）证明了串并联系统的签名具有NBU（新比旧好，new better than used）年龄性质，并且猜想这一年龄性质可以加强到IFR。随后，Ross等（1980）证明了EI-Neweihi等的猜想，并进一步证明了一般关联系统的签名具有IFRA（失效率平均递增，increasing failure rate average）性质。EI-Neweihi等和Ross等的工作为签名年龄性质的研究奠定了重要基础。第5章将系统介绍签名的年龄性质，并着重讨论签名的IFR性质，扩展EI-Neweihi等和Ross等的工作。
在近几年有关签名的研究中，签名的扩展是非常重要的一个方面。众多学者对经典签名理论进行了全方位的扩展，提出了很多广义的签名概念，例如，混合系统签名、旧系统条件签名、系统概率签名、多状态系统签名以及多类型系统签名等。这些扩展工作不但丰富了系统签名的理论，也为进一步解决系统可靠性问题提供了新的思路和方法。第6、第7章分别介绍两类扩展签名，分别是三状态系统二元签名及其计算和多类型系统签名与可靠性比较。对于其他签名扩展工作，将在第8章做简要回顾。
近十年来，系统签名理论和应用都有飞跃式的发展，签名已经成为系统可靠性分析中不可或缺的重要工具，与签名相关的研究也已成为系统可靠性分析中*具活力的领域之一。在可预见的将来，签名理论的进一步发展必将催生可靠性理论研究中一系列新的突破。希望本书的出版能够进一步推动系统签名理论的发展，也期望对我国的系统可靠性研究有所裨益。
1.2 章节内容简介
第2章首先简要回顾关联系统基本框架，包括结构函数、路集、割集的定义，以及系统可靠性的结构函数表达，*小割集和路集表达等。接下来，系统回顾签名的概念，以及一些经典的结果，包括基于签名的系统IFR性质封闭定理，系统可靠性基于签名的混合表达，Boland的签名计算公式等。
第3章和第4章主要介绍签名的计算方法。第3章介绍一般系统设置下，如何通过系统的*小割集、*小路集、系统的可靠性多项式等计算系统的签名。第4章主要介绍模块系统的签名算法，分别介绍独立模块和非独立模块系统的签名基于模块（子系统）签名与组织结构的计算方法。对于非独立模块系统情形，引入了一个全新的概念——分解签名，基于这一概念，成功建立了非独立模块系统签名的相关计算方法。
第5章主要介绍系统签名的年龄性质，包括签名SSLSF（生存函数对数星型，star shape log survival function）与IFRA性质，着重讨论了签名IFR性质的充分条件，即具有何种特征的系统其签名具有IFR性质。
第6章将系统签名的概念扩展至（二状态元件构成的）三状态系统框架下，称为二元系统签名。介绍二元系统签名相关理论，包括三状态系统可靠性基于二元签名的混合表达、二元签名与系统路集（割集）的关系，以及三状态模块系统签名算法等。
第7章将系统签名的概念扩展到多类型系统框架下，主要介绍多类型系统签名的概念、基本性质以及它在非齐次系统可靠性比较中的应用。
第8章将介绍文献中其他三类重要的扩展签名，概率签名、耦合系统签名以及有序系统签名，介绍这些签名的概念、计算以及一些重要性质如混合表示等。
1.3 记号与假设
除非特别说明，本书中所考虑的系统均为关联系统，元件的寿命假定为无结点并可交换。本书的单调递增（递减）指单调非减（非增）。此外，为了阅读方便，将本书常用的一些记号或定义罗列如下。
（1）表示系统的结构函数，表示其对偶系统的结构函数。
（2）对任意的正整数n，表示集合；表示的所有排列构成的集合。
（3）对任意的 ，表示示性函数。
（4）s，和S分别表示一个n元件系统的签名向量（矩阵）、生存签名向量（矩阵）和累积签名向量（矩阵）；当表示一个向量时
当表示一个矩阵时，和。
（5）对随机变量 ，记表示第i小的次序统计量。
（6）定义 ，当或者时。
（7）对任意的实数序列定义，表示空集。
（8）分别表示实数的下取整和上取整。
第2章可靠性与系统签名
本章主要介绍系统签名的概念以及与签名有关的重要理论结果。首先介绍关联系统的一些基本概念，如结构函数、路集与割集、对偶系统、系统可靠性函数等，这些结果对于理解系统签名的概念是必要的。在签名的重要理论结果介绍中，重点回顾基于签名的Boland公式、系统IFR性质封闭性定理与签名随机序封闭性定理等。
2.1 关联系统与可靠性
2.1.1 结构函数与路割集
现代社会中，“系统”一词再熟悉不过。人体本身就是一个由多个器官构成的生物系统，而不同功能的器官又构成了一些更具体的系统，如呼吸系统、神经系统、生殖系统等。随着科学技术的
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