第1章 重心
在本章中， 如无特别说明， n都表示大于等于1 的整数， E 表示平面或空间.
1.1 定义与范例
定理 1.1.0.1 (定义) 设 A1; ;An 是 E 中的 n 个点， a1; ; an 是 n 个实数， a = . 则有以下两种情形.
情形一：
在此情形下， 存在唯一的点 G使得
称此唯一的点G为加权点系S= {(A1; a1); (A2; a2); ; (An; an)}的重心.
情形二：
在此情形下， 向量是一个常向量， 即它不依赖于点 M 的选取.
证明：
情形一：a≠0.
取定中的一点O. 那么有
根据假设a≠0， 所以
因为O是固定的一点， 所以也是一个固定的向量. 因此， 存在唯一的点G使得. 这就证明了重心G的存在性与唯一性.
情形二：a=0.
对于的任意两点 M 与， 根据沙勒(Chasles) 关系， 我们有
这就证明了向量是个常向量， 即它不依赖于点M的选取.
例 1.1.0.2 {(A;1); (B;1)} 的重心就是线段 [AB] 的中点. 事实上， 由 1 + 1 = 2≠0 可知重心G存在， 并且. 而这就是线段中点的刻画. 也可以用沙勒关系得出， 即.
任给两个点， 很容易就看出如何构造重心. 另一方面， 给出3个或更多的点， 情况就变得更复杂， 更难“直观地” 找到重心.
例 1.1.0.3 给定三个不共线的点 A，B，C， 如何构造加权点系 {(A， 2); (B， 1); (C，-1)}的重心?
稍后我们将看到一种推广这种方法的技术.
1.2 重心的性质
1.2.1 齐性
定理 1.2.1.1 设G是点系{(A1; a1); (A2; a2); ; (An; an)}的重心(因此). 则对任意实数， G也是点系的重心.
证明：留作练习.
定义 1.2.1.2 设 A1; ;An 是 E 中的 n 个点. 称点 A1; ;An 在相同系数下的重心为等重心.
注： 确切地说， A1; ;An 的等重心就是点系 的重心， 其中.这个说法是有意义的， 因为根据齐性定理，的重心与的值无关. 这就是为什么没必要指明系数， 只是说: “A1; ;An 的等重心”. *后， 为了方便计算， 一般令所有系数都为1.
例 1.2.1.3 两个点A和B的等重心是什么?
1.2.2 结合性
定理 1.2.2.1 设 n≥ 2， A1; ;An 是 E 中的 n 个点， a1; ; an 是 n 个实数使得. 记G为加权点系 {(Ai; ai) |1 ≤ i ≤ n} 的重心. 令与使得：
再设P为{(Ai; ai)|i∈I}的重心， Q 为{(Ai; ai)| i ∈ J}的重心. 则G也是的重心.
注： 称此定理为部分重心定理或者重心的结合性.
展开
