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编辑推荐

知识重点突出，学以致用

着重数值计算方法的构造

数学理论准确、分析简洁

把握算法基本原理和思想

习题丰富，涵盖上机实验

重视计算方法的具体实现

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作者简介

张达治，本、硕、博均毕业于吉林大学数学学院，现为哈尔滨工业大学数学学院教授、博士生导师.现任哈尔滨工业大学数学学院计算数学系主任、全国大学生数学建模竞赛黑龙江赛区组委会秘书长、黑龙江省数学会常务理事、黑龙江省工业与应用数学会副秘书长，中国仿真学会不确定性系统分析与仿真委员会委员.主要研究方向为：图像处理，偏微分方程数值解，基于PDE和深度学习卷积神经网络的融合模型. 在相关领域权威期刊上发表SCI论文30余篇.主持和参与各级项目10余项，获黑龙江省科学技术三等奖1项，黑龙江省教学成果一等奖1项，授权发明专利2项，2次获大学生数学建模竞赛全国优秀指导教师奖.

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精彩书摘

绪论
　　随着科学技术的发展，科学与工程计算已被推向科研领域的前沿．实验方法与理论方法是推动科学计算的两大基本方法，但它们也有局限性．许多研究对象，由于受到时间和空间的限制，既不可能用理论精确描述，也不可能用实验手段来准确模拟．因此，熟练地使用计算机进行科学计算已经成为科技工作者的一项基本技能，这就要求人们去研究掌握适用于计算机实现的数值计算方法及相关理论.
　　计算数学的研究是科学计算的主要组成部分，而数值分析则是计算数学的核心．它以纯数学为基础，但不只研究数学理论本身，而着重研究求解实际问题的数值方法及效果，如怎样使计算速度*快、储存量*少等问题，以及数值方法的收敛性、稳定性及误差分析等. 虽然有些方法在理论上还不够完善与严密，但通过对比分析、实际计算和实验检验等手段，可以验证方法的有效性. 因此，数值分析这门课程既带有纯数学高度抽象性和严密科学性的特点，又具有应用的广泛性和实际实验的高度技术性特点，是一门与计算机技术密切相连的实用性很强的计算数学课程.
　　0.1 数值分析的特点
　　数值分析 (numerical analysis) 是研究数值求解各类数学问题的方法和相应数学理论的一门学科．研究的对象是数学问题，所用的方法是数学方法，因此也称为数值数学 (numerical mathematics)．一般来说运用数值分析解决问题要经过以下过程：
　　实际问题→数学模型→数值计算方法→算法研制→软件实现→程序的执行、分析→验证及结果的可视化.
　　数值分析这门课程有如下特点：
　　(1) 面向计算机；
　　(2) 可靠的理论分析；
　　(3) 较好的计算复杂性；
　　(4) 数值实验；
　　(5) 对算法进行误差分析.
　　本书主要介绍数值代数、数值逼近、常微分方程数值解法及相应的误差理论以及收敛性分析．其他内容将在后续课程中介绍．
　　0.2 数值计算的误差
　　对数学问题进行数值求解，求解的结果一般都包含误差．即数值计算绝大多数情况是近似计算．因此，误差计算及误差估计是数值计算过程中的重要内容，进而可以确切地知道误差的性态和误差的界．
　　0.2.1 误差与有效数字
　　定义 0.1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称e* = x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差．
　　通常我们不能算出准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出绝对误差的绝对值不超过某正数，也就是误差绝对值的一个上限．叫做近似值的误差限．
　　记，称为近似值x*的相对误差．若
　　则称为x*的相对误差限．
　　定义 0.2 若近似值 x*的误差限是某一位的半个单位，该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，就说x*有n位有效数字．它可表示为
　　(0.2.1)
　　其中 ai(i = 1，，n) 是 0 到 9中的一个数字，a1≠0，m为整数，且
　　如取 x* = 3.14 作π的近似值，x* 就有3位有效数字，取 x* = 3.1416 ≈π，x*就有5位有效数字．
　　命题 0.1 设近似值.
　　(1) 若x有k位有效数字，则其相对误差限为;
　　(2) 若 x 的相对误差限为，则x有m位有效数字．
　　证明 (1) 若 x 有 k 位有效数字，则
　　而
　　所以
　　(2) 由于
　　由题设有
　　因此x有m位有效数字．
　　例 0.1 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数：294.9325， 0.007786551， 8.000033， 2.7182818．
　　按定义，上述各数具有 5 位有效数字的近似数分别是：294.93， 0.0077866， 8.0000， 2.7183．
　　注意 x = 8.000033 的 5 位有效数字近似数是 8.0000 而不是 8，因为 8 只有 1 位有效数字．
　　例 0.2 重力常数g，如果以 m=s2 为单位，g≈9.80m/s2；若以 km/s2 为单位，g= 0.00980km/s2，它们都具有3位有效数字，因为按第一种写法
　　据 (0.2.1) 式，这里 m = 0， n = 3；按第二种写法
　　这里 m = -3，n = 3．它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字．至于绝对误差限，由于单位不同结果也不同，而相对误差都是
　　注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差与误差限是有量纲的．例2 说明有效位数与小数点后有多少位数无关．然而，我们可以得到n位有效数字的近似数x*，其绝对误差限为
　　在 m 相同的情况下，n 越大则 10m-n 越小，故有效位数越多，绝对误差限越小．

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目录
前言
绪论 1
0.1 数值分析的特点 1
0.2 数值计算的误差 2
0.2.1 误差与有效数字 2
0.2.2 数值运算的误差估计 4
0.3 避免误差危害的原则 5
0.3.1 要避免两相近数相减 5
0.3.2 防止大数“吃掉”小数 5
0.3.3 减少计算次数 6
0.3.4 避免使用不稳定的数值方法 6
第1章非线性方程和方程组的数值解法 8
1.1 二分法 8
1.2 迭代法及其收敛性质 10
1.2.1 收敛阶 11
1.2.2 计算效率 11
1.3 单点迭代法——不动点迭代 12
1.3.1 不动点迭代的几何原理 12
1.3.2 不动点迭代的收敛性 14
1.3.3 不动点迭代的收敛阶 16
1.4 单点迭代法——Newton 迭代法 17
1.4.1 基于反函数 Taylor 展开的迭代法构造 17
1.4.2 Newton 迭代法 19
1.4.3 简化 Newton 迭代法与 Newton 下山法 21
1.5 多点迭代法——割线法 22
1.5.1 割线法 23
1.5.2 虚位法 25
1.6 重根上的迭代法 26
1.7 迭代加速收敛的方法 29
1.8 拟 Newton 法 31
1.8.1 拟 Newton 法 32
1.8.2 秩 1 的拟 Newton 法 32
习题1 35
第2章线性代数方程组数值解法 38
2.1 Gauss 消元法 38
2.1.1 Gauss 消元法 39
2.1.2 列选主元的 Gauss 消元法 41
2.1.3 全主元 Gauss 消元法 42
2.1.4 Gauss-Jordan 消元法 43
2.2 三角分解法 46
2.2.1 Doolittle 分解方法 48
2.2.2 Crout 分解方法 51
2.2.3 Cholesky 分解方法 52
2.2.4 解三对角方程组的追赶法 56
2.3 向量范数与矩阵范数 60
2.3.1 向量范数 60
2.3.2 矩阵范数 61
2.3.3 有关定理 64
2.4 矩阵的条件数与病态线性方程组 67
2.4.1 误差分析与矩阵的条件数 67
2.4.2 病态线性方程组 71
2.5 线性方程组的迭代解法 73
2.5.1 迭代法的一般形式 73
2.5.2 迭代法的收敛条件 74
2.5.3 Jacobi 迭代法 76
2.5.4 Gauss-Seidel 迭代法 77
2.5.5 超松弛 SOR 迭代法 79
2.5.6 迭代法收敛的其他判别方法 82
2.6 共轭梯度法 85
2.6.1 与方程组等价的变分问题 86
2.6.2 *速下降法 86
2.6.3 共轭梯度法 88
习题2 92
第3章插值法与数值逼近 96
3.1 多项式插值 96
3.1.1 插值问题的提出 96
3.1.2 多项式插值 96
3.1.3 Lagrange 插值公式 97
3.1.4 Newton 插值公式 102
3.1.5 反插值 105
3.1.6 插值公式的运用及其收敛性与数值计算稳定性 105
3.1.7 Hermite 插值与分段插值 109
3.2 样条插值 115
3.2.1 引言 115
3.2.2 基本概念 115
3.2.3 三弯矩插值法 117
3.2.4 三转角插值法 120
3.3 有理逼近 126
3.4 *佳平方逼近 129
3.4.1 正交多项式及其性质 129
3.4.2 函数的*佳平方逼近 136
3.4.3 曲线拟合的*小二乘逼近 141
3.4.4 多项式*小二乘的光滑解 146
3.5 周期函数逼近与快速 Fourier 变换 148
3.5.1 周期函数的*佳平方逼近 148
3.5.2 快速 Fourier 变换 151
习题3 153
第4章数值积分 157
4.1 数值积分的一般问题 157
4.1.1 数值积分思想概述 157
4.1.2 代数精度的概念 158
4.2 Newton-Cotes 求积公式 160
4.2.1 Newton-Cotes 求积公式的提出 160
4.2.2 偶数阶求积公式的代数精度 162
4.2.3 复化求积法 164
4.3 Romberg 算法 167
4.3.1 梯形公式的递推化 167
4.3.2 Romberg 公式 168
4.4 Gauss 求积公式 169
4.4.1 Gauss 点 170
4.4.2 Gauss-Legendre 公式 171
4.4.3 Gauss 公式的余项 173
4.4.4 Gauss 求积公式的稳定性 174
4.5 带权函数的 Gauss 求积公式 175
4.5.1 数值求积公式和代数精度 175
4.5.2 Gauss 求积公式的求积系数和余项的选取 177
4.5.3 无穷区间上的求积公式 179
4.5.4 Gauss-Chebyshev 求积公式 181
4.6 复化 Gauss 求积公式 185
4.7 振荡函数的求积公式 187
4.8 自适应积分方法 189
4.9 多重积分求积公式 193
4.9.1 蒙特卡罗方法 193
4.9.2 余项的误差分析 196
习题4 197
第5章矩阵特征值计算 200
5.1 特征值基本性质和估计 200
5.1.1 特征值问题及其性质 200
5.1.2 特征值估计 201
5.2 幂法和反幂法 204
5.2.1 幂法 204
5.2.2 加速与收缩方法 209
5.2.3 反幂法 212
5.3 Jacobi 方法 215
5.3.1 旋转变换 216
5.3.2 Jacobi 方法 218
5.4 Householder 方法 220
5.4.1 Householder 变换 220
5.4.2 对称三对角矩阵的特征值计算 225
5.4.3 特征向量的计算 229
5.5 LR 和 QR 算法 229
习题5 233
第6章常微分方程数值解法 236
6.1 引言 236
6.2 Euler 方法 238
6.2.1 Taylor 展开方法 238
6.2.2 化导数为差商的方法 238
6.2.3 数值积分方法 239
6.3 Runge-Kutta 法 241
6.3.1 RK 法的一般形式 241
6.3.2 二级 RK 法 242
6.3.3 四级 RK 法 244
6.3.4 变步长的 RK 方法 246
6.4 单步法的收敛性与相容性 247
6.5 线性多步法 249
6.5.1 线性多步法的一般形式 249
6.5.2 线性多步法的逼近准则 250
6.5.3 线性多步法阶与系数的关系 250
6.5.4 线性多步法的构造方法 252
6.6 预测-校正方法 258
6.6.1 基本思想 258
6.6.2 基本方法 259
6.7 线性多步法的收敛性和数值稳定性 262
6.7.1 收敛性 262
6.7.2 数值稳定性 268
6.8 方程组和高阶方程 273
6.8.1 一阶方程组 273
6.8.2 化高阶方程为一阶方程组 274
6.9 Stiff方程简介 276
6.9.1 Stiff方程 276
6.9.2 A(α)-稳定，刚性稳定 278
习题6 280
参考文献 284

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