第7章 复杂弹性结构耦合振动和声辐射
前面章节中，将潜艇、鱼雷及飞机等航行体的声弹性问题，简化为经典的球壳、圆柱壳和平板等模型，并采用解析方法求解耦合振动和声辐射，应该说这是一定程度的近似处理。这些声弹性计算模型虽然比较完整给出了典型结构声弹性及其声辐射的规律，定性或半定量地建立了清晰的结构辐射声场的物理图像。然而，这些方法不适合于直接解决复杂的实际工程问题。我们知道，为了提高舰艇的海上综合作战能力，在权衡提高舰艇总体性能的同时，水下辐射噪声指标成为必不可少的技术指标，将声学设计作为舰艇设计和建造的重要组成部分，并贯穿在舰艇设计和建造的全过程中。为此，依赖于经验性的声学设计难以满足舰艇安静化不断提高的需要。一般来说，舰艇定量声学设计中，结构振动和声辐射计算是确定声学技术指标及可行性评估的一个主要技术途径。发展适用性更强的结构振动和声辐射数值计算方法，可满足舰艇定量声学设计的工程需求，飞机及车辆声学设计存在同样的需求。
基于有限元和边界元的声弹性数值分析方法，原则上可以处理任意形状结构的振动和声辐射问题，已成为船舶及水中兵器等结构辐射噪声计算的一种通用方法和软件工具。本章共分五节，7.1和7.2节介绍结构外场声辐射计算的边界积分方法，并简要讨论边界积分的唯一性和奇异性，7.3节介绍结构与声有限元方法的基础，7.4节则介绍复杂结构耦合振动与声辐射的有限元和边界元建模方法及应用。为了改善边界元方法计算量大、计算效率低的缺陷，7.5节介绍双渐近近似法和状态空间法等流体负载近似计算方法，以提高数值计算的效率。
7.1 外场声辐射计算的边界积分方法
潜艇、鱼雷及飞机和车辆结构，都是具有复杂外形的三维结构，严格地计算它们的声辐射，应该在一定的空间域内求解声压所满足的 Helmholtz 方程，并使声压满足物面边界条件和空间域的界面条件，如果空间域为无限空间，则声压应满足辐射条件。这一问题归结为边界值问题的求解，基本的方法为边界积分方法(boundary integral equation method)。计算任意形状物体的外场声辐射，有三种形式的积分方程，其一为简单源方程(simple source formulation)，其二为表面 Helmholtz 积分方程(surface Helmholtz integral formulation)，其三为内部Helmholtz 积分方程(internal Helmholtz integral formulation)。
任意形状结构的声辐射研究，可以追溯到20世纪60年代 Chen[1]， Copley[2，3]，Chertock[4]和 Pond[5]的研究。考虑图7.1.1所示的任意形状结构，其外表面积为S，所在区域为 R1，浸没在无限的理想声介质区域 R2中，声介质的声速和密度分别为 C0和ρ0(参见文献[6])。设外场空间任一点位置为 x ∈ R2，结构表面任一点位置为ξ∈ S。假设声压随时间简谐变化，结构表面法向振速已知为 vn (ξ)，并设结构表面 S 上任意点ξ的单位法向矢量 nξ指向区域 R2为正。在区域 R2中，声压满足 Helmholtz 方程：
(7.1.1)
在结构表面，声压满足边界条件：
(7.1.2)
同时声压满足辐射条件：
(7.1.3)
图7.1.1任意形状结构外场声辐射模型(引自文献[6]， fig1)
对于任意形状结构，求解(7.1.1)～(7.1.3)式，外场空间 R2任一点的声压由Helmholtz 积分方程形式给出
(7.1.4)
式中 G(x，ξ)为 Green 函数，无限空间 Green 函数为
(7.1.5)
其中，d(x，ξ)为外场空间任一点 x 到结构表面任一点ξ的距离。
(7.1.4)式的详细推导过程可参考文献[7]，外场空间任一点的辐射声压取决于结构表面的声压和法向振速，对应双层势和单层势的面积分，相当于偶极子和单极子声辐射的叠加。虽然计算外场声辐射需要已知结构表面声压和法向振速，但它们并不是相互独立的函数，如果结构表面法向振速已知，则也可以确定表面声压。当外场空间点趋于结构表面 x →η，则表面声压为
(7.1.6)
依据(7.1.6)式可以由已知的结构表面法向振速求解表面声压，或者由已知的表面声压求解表面法向振速。当场点限于结构表面 S 内部，即内部空间 R1 ，则相应的积分方程为
(7.1.7)
如果结构表面法向振速 vn(ξ)已知，(7.1.7)式提供了另一种求解表面声压的方法。为了方便起见，常常将(7.1.4)式、(7.1.6)式、(7.1.7)式统一表示为
(7.1.8)
式中，α(x)的取值取决于场点 x 的位置。当场点 x 位于外场空间 R2，则α(x)=1，当场点 x 位于光滑表面 S，则α(x)=1/2，当场点 x 位于内部空间 R1，则α(x)=0。一般的情况，当场点位于非光顺表面 S 的边缘或角上，则α(x)=Ω/4π，这里Ω为表面 S 上 x 点的局部空间角。
进一步为了简明起见，(7.1.8)式表示为算子形式
(7.1.9)
式中，
(7.1.10)
(7.1.11)
(7.1.10)和(7.1.11)式分别表示单层势和双层势。对(7.1.9)式作微分运算，得到
(7.1.12)
(7.1.13)
(7.1.14)
边界积分方程(7.1.9)和(7.1.12)式是任意形状结构声辐射计算的基础，一旦已知结构表面声压和法向振速，即可计算其他声学参数，如声强的实部和虚部：
(7.1.15)
(7.1.16)
相应的声辐射功率为
(7.1.17)
这里，上标“*”表示复数共轭。
应该说，边界积分确定了辐射声场，同时也确定了声辐射功率，更详细的任意形状弹性结构的声辐射功率计算可参见 Koopmann 和 Cunefare 等[8，9]的文献。Chen 和 Ginsberg， Cunefrae， Fahnline 和 Marburg 等[10-13]还提出了“速度辐射模态”等多种计算复杂结构声辐射功率的方法。在有些情况下，任意形状结构的表面振速可以采用诸如非接触式的激光测量等方法获得，这样可以建立一个直接采用结构表面振速积分计算辐射声场的方法，而不需要已知表面声压[14]。
为此，考虑 Euler 方程：
(7.1.18)
式中，v(x)为质点振速。
沿着连接场点 x 和 x′的连线，对(7.1.18)式进行线积分，有
(7.1.19)
式中，e 为 x′点到点 x 线积分方向的单位矢量，dp(x)的积分只与积分起止点位置有关，而与积分的路径无关，于是(7.1.19)式可表示为
(7.1.20)
(7.1.20)式表明：任一点 x 的复声压可以表示为另一点 x′的声压与连接这两点的任意路径上单位体积力的线积分之和。因为积分路径没有任意限制，不妨选择它位于某控制表面 S 上，相应有
(7.1.21)
式中，vn 和 vτ分别为 S 面上法向和切向质点振速，dn 和 dτ为法向和切向的积分步长。
假设控制面与结构表面吻合，则法向质点振速 un 等于结构表面振速，但切向振速不相等。因为积分路径垂直于法线方向，相应地有 dn =0，于是(7.1.21)右边积分的第一项为零，可简化为
(7.1.22)
将(7.1.22)式代入(7.1.6)式，注意到 p(η)表示表面固定点η上的声压，与积分参量无关，可以提到积分符号外面，从而得到
(7.1.23)
再将(7.1.23)式代入(7.1.22)式，得到 p(ξ)的积分表达式，进一步代入(7.1.4)式，则得到外场辐射声压的表达式：
(7.1.24)
式中，
(7.1.25)
(7.1.26)
利用(7.1.8)式及(7.1.24)～(7.1.26)式可以计算已知表面振速的任意形状结构的声辐射，具体操作时需要采用边界元方法对结构表面进行离散处理，详细方法可参考文献[15]。实际上，早期的边界元方法采用简单元离散模型，也就是将复杂结构表面离散为一组平面单元，每个单元的变量及其导数都假设为常数，离散处理只模拟物理量的变化，而不模拟结构表面几何形状的变化。Chen 和 Schweikert[1]采用球面上的活塞和水中加肋圆柱壳模型验证边界元方法计算声辐射的精度，后一种模型的计算与试验结果存在较大偏差。为了提高边界元方法计算的精度，减少单元数量和计算时间，将等参元引入到声辐射计算[16，17]，采用二阶插值函数同时模拟声场参数和结构表面几何形状，将结构外表面离散为 N 个四边形或三角形单元，参见图7.1.2 ，每个单元分别有8个或6个节点，在总笛卡儿坐标系，单元任一点坐标可以表示为节点的坐标：
或
(7.1.27)
式中，ξm 为单元任一点坐标，ξmj 为单元节点坐标，Nj (δ)为局部坐标δ≡(δ1，δ2)下的二阶形状函数。
四边形单元的形状函数为
展开
