第1章预备知识
本章介绍序代数理论中偏序集、剩余映射、关联映射、序半群和剩余格等知识，为后面讨论各种聚合模型和多值逻辑中联结词之间的关系做些必要的准备工作.只要读者熟悉有关集合与代数(可参见文献[1])中的一些基本概念即可阅读本章.
1.1偏序集
本节首先引入偏序集的概念，接着定义和讨论剩余映射和关联映射，为后面讨论多值逻辑中联结词之间的关联性做些必要的准备工作.
1.1.1偏序集的概念
定义1.1.1[2.4]设E是一个非空集合，.是E上的一个二元关系.若具有
(1)自反性，即
(2)反对称性，即
(3)传递性，即
则称为偏序关系，并称关于构成偏序集，或者称为偏序集，不致混淆时，简称为偏序集.
设是偏序集，任意给定x，y∈E.若，则称x小于或者等于y.若与至少有一个成立，则称x与y是可比的;否则称x与y是不可比的，记作.若且，则称x小于y，记作x<y.若x<y并且不存在a∈E使得x<a<y，则称x被y覆盖，记作.此外，我们约定，当时，又可以称y大于或者等于x(y大于x，y覆盖x)，并且相应地改写成.
仍设是偏序集.
对于任意给定的a∈E，我们将E中与元素a不可比的所有元素组成的集合记作Ia，即.
设X是E的一个非空子集.若X中任意两个元素都是可比的，则称X为链.特别地，当E是一个链时，称.为全序关系(或线序关系)，并称为全序集(相应地，线序集).若X中任意两个不同元素都是不可比的，则称X为中的一个反链.
例1.1.1设E={a，b，c}是三元集.我们定义E上的二元关系和如下:
再定义E上的二元关系如下:对于任意的，或者x=b且y=b，或者x=b且y=c，或者x=y=c.显然和都是偏序关系.
例1.1.2不难验证:任何一个集合X的幂集P(X)关于X的子集之间的包含关系.构成偏序集.正整数集N关于整除关系|(m|n是指m整除n)构成偏序集.实数集R以及其中的各个区间关于实数之间平常的“小于或等于”关系.都构成全序集，实数集R的任何非空子集关于实数之间平常的“小于或等于”关系.也都构成全序集.
本书中，不致混淆时，[0，1]总表示实数集R的子集，其中0和1都是实数.每当我们提及[0，1]上的偏序关系时，总是表示实数之间平常的大小关系.
有限集上的偏序关系可以用Hasse图来表示:用圆圈或点表示元素.当时，把y画在较x高些的位置，并用线段将x和y连接起来.
例如，令E1={1，2，3，4，6，12}，则(E1，|)是偏序集，其中|表示E1中各个数之间的整除关系.图1.1就是偏序关系|的Hasse图.又如，设{a，b，c}是三元集(即由三个不同元素a，b，c组成的集合)，令E2=P({a，b，c})，则(E2，.)为偏序集，其中.表示{a，b，c}的子集之间的包含关系.图1.2就是偏序关系.的Hasse图.
这里我们特别强调一下:对于任意给定的偏序集和，只有在E1=E2并且和是相同的偏序关系时，我们才认为和是同一个偏序集.换句话说，即使E1=E2，只要和不是同一个偏序关系，我们就认为和不是同一个偏序集.其次，在同时谈论多个偏序关系时，一般地说，对于不同的偏序关系应该采用不同的名称和记号来称呼和表示它们，以示区别.但是，对于不同集合上的偏序关系，只要不会引起混淆，也允许用相同的名称和记号(例如.)来称呼和表示它们.
定义1.1.2[5]设(E，.)是偏序集，X为E的一个子集，a∈E.若对于任意的x∈X总有，则称a为X的一个下界(相应地，上界).若a为X的一个下界(上界)，并且对于X的每个下界(相应地，上界)b总有(相应地，)，则称a为X的下确界(相应地，上确界).
显而易见，当E的一个非空子集X有下确界(上确界)时，其下确界(相应地，上确界)是唯一的.当E的一个非空子集X有下确界(上确界)时，我们将其下确界(相应地，上确界)记作infX(相应地，supX).特别地，当E有下确界时，称(E，.)为下有界的，并且称infE为E的*小元，不致混淆时记作0;当E有上确界时，称(E，.)为上有界的，并且称supE为E的*大元，不致混淆时记作1.
容易看出:E中任意元素都是E的空子集的下界(上界).这样，E的空子集的下确界(上确界)存在当且仅当E有*大元(相应地，*小元).因此我们约定，上有界偏序集的空子集的下确界inf为1，下有界偏序集的空子集的上确界sup为0.
若(E，.)既下有界又上有界，则称(E，.)为有界偏序集.
利用已知偏序集构造新偏序集，不仅是寻求新偏序集的一个途径，而且对我们剖析偏序集的结构很有帮助.构造偏序集的“直积”是*常用的一种构造新偏序集的方法.
现在设{(Eα，.)}α∈A是一簇偏序集.定义集族{Eα}α∈A的直积上的二元关系.如下:对于任意的
则(E，.)是偏序集.这个偏序集称为偏序集族{(Eα，.)}α∈A的直积.
特别地，当A={1，2}时，将集族的直积记作E1×E2.它是形如(x，y)(其中x∈E1，y∈E2)的有序二元组全体组成的集合，即
我们现在介绍一下对偶原理.
设是任意一个偏序集.定义E上的二元关系如下:
容易验证，.d也是偏序关系.我们称.d为.的对偶关系，并称的对偶偏序集.
显然，若偏序集有*小元0(*大元1)，则偏序集有*大元0(相应地，*小元1).
我们称P是关于偏序集(E，.)的一个命题，就是指它是用“.”，“.”，“=”以及括号等符号将E中的一些元素按一定规则连接起来而构成的一个具有明确内涵的陈述句.将命题P中所有的“.”和“.”都分别换成“.d”和“.d”(其余部分不变)后所构成的新命题称为命题P的对偶命题，记作Pd.如果命题P对任意偏序集(E，.)都成立，那么命题P对偏序集(E，.d)当然成立，即命题P的对偶命题Pd成立.根据定义，“.d”就是“.”，“.d”就是“.”.所以我们有
对偶原理(关于偏序集)如果关于偏序集的一个命题P对任意的偏序集都成立，那么将命题P中所有的“.”和“.”都分别换成“.”和“.”后所构成的新命题也成立.
映射是现代数学中一个永恒的话题，我们讨论偏序集时将一直围绕着这个话题.
定义1.1.3设(E，.)和(F，.)都是偏序集，φ是E到F的映射.若φ满足条件:
则称φ为(E，.)到(F，.)的保序映射，不致混淆时，简称φ为E到F的保序映射，有时也称φ是E到F的单调递增映射.若φ满足条件:
则称φ为(E，.)到(F，.)的反序映射，不致混淆时，简称φ为E到F的反序映射，有时也称φ是E到F的单调递减映射.
显而易见，对于任意的偏序集(E，.)和(F，.)，总存在E到F的保序映射.例如，任取a∈F，规定φ(x)=a，.x∈E，则φ为E到F的保序映射.又如，集合E的恒等映射1E是E到E的保序映射.
设(E，.)，(F，.)和(G，.)都是偏序集，φ是E到F的映射，并且.是F到G的映射.若φ和.都是保序映射，或者都是反序映射，则 φ是保序映射;若φ和.中一个是保序映射，而另一个是反序映射，则 φ是反序映射.
定义1.1.4设(E，.)和(F，.)都是偏序集，φ1和φ2都是E到F的映射.若对于E中每个元素x总有φ1(x).φ2(x)，则称φ1小于或等于φ2，记作φ1.φ2;也可以称φ2大于或等于φ1，记作φ2.φ1.
显然，定义1.1.4所界定的E到F的映射之间的“小于或等于”关系.也是偏序关系.对于E到F的任意给定的两个映射φ1和φ2，到底“φ1.φ2”成立与否，不仅与φ1和φ2本身有关，还与E和F上的具体偏序关系有关.
命题1.1.1设(E，.)，(F，.)和(G，.)都是偏序集，φ1和φ2都是E到F的映射，.1和.2都是F到G的映射.则下列断言成立:
(1)若.1 2，则.1.φ1 2.φ1.
(2)若φ1.φ2并且.1是保序映射，则.1.φ1 1.φ2.
(3)若φ1.φ2，.1 2，并且.1或.2是保序映射，则.1.φ1 2.φ2.
证明直接验证.□
注意，断言(3)中前提“.1或.2是保序映射”不能删去，否则结论不再普遍成立.
定义1.1.5设(E，.)是偏序集，D是E的非空子集.若D满足条件:
则称D为的下集，不致混淆时简称为E的下集.若D满足条件:
则称D为的上集，不致混淆时简称为E的上集.
我们约定，空集既是(E，.)的下集，又是(E，.)的上集.
定义1.1.6[5]设(E，.)是一个偏序集，y∈E.集合{x∈E|x.y}称为(E，.)的主下集，简称为E的主下集，记作↓y.集合{x∈E|x.y}称为(E，.)的主上集，简称为E的主上集，记作↑y.
由于下集和上集是一对对偶的概念，因此根据对偶原理关于下集所得到的结论都可以转换成关于上集的结论;反之亦然.
例1.1.3设X={a，b，c}是三元集，E=P(X)，.表示X的子集之间的包含关系.由例1.1.2知，(E，.)是偏序集.根据下集的定义，(E，.)的全部下集如下:
例1.1.4用Q+表示正有理数组成的集合，则D={q∈Q+|q2.2}是全序集Q+的下集，但它不是Q+的主下集.
下面的命题用下集的概念来刻画保序映射.
命题1.1.2设(E，.)和(F，.)都是偏序集，φ是E到F的映射.则下列断言成立:
(1)φ是E到F的保序映射，当且仅当F的每个主下集在φ之下的原像都是E的下集，当且仅当F的每个主上集在φ之下的原像都是E的上集.
(2)φ是E到F的反序映射，当且仅当F的每个主下集在φ之下的原像都是E的上集，当且仅当F的每个主上集在φ之下的原像都是E的下集.
证明 这里只证明断言(1)中第一个结论成立.
设φ是E到F的保序映射.考察F的任意一个主下集↓b:若φ.1(↓b)=.，则φ.1(↓b)是E的下集.现在假设φ.1(↓b).= 任取y∈φ.1(↓b).假设x∈E使得x.y.由于φ是E到F的保序映射，因此φ(x).φ(y)=b.根据↓b的定义，φ(x)∈↓b，从而，x∈φ.1(↓b).由于y∈φ.1(↓b)的任意性，这就表明F的主下集↓b在φ之下的原像φ.1(↓b)是E的下集.
假设φ不是保序映射，即存在x，y∈E，使得x.y，但是φ(x).φ(y)不成立.令φ(x)=a，φ(y)=b.则y∈φ.1(↓b)，a=φ(x)/∈↓b，从而x/∈φ.1(↓b)，因此φ.1(↓b)不是E的下集.□
1.1.2剩余映射和Galois关联
定义1.1.7[5]设和都是偏序集，φ是E到F的映射.若存在F到E的映射，使得
(1.1.1)
则称φ为到(F，.)的剩余映射(residuated mapping)，不致混淆时，简称φ为E到F的剩余映射.称二元组为一个剩余对，称.为φ的右伴随，φ为.的左伴随.偏序集到自己的剩余映射又称E上的剩余映射.
定理1.1.1设和都是偏序集，φ是E到F的映射.则下列三个断言是等价的.
(1)φ是E到F的剩余映射.
(2)F的每一个主下集在φ之下的逆像是E的主下集.
(3)φ是保序映射，并且存在保序映射:F→E，使得
(1.1.2)
证明 若φ为E到F的剩余映射，则存在F到E的映射，使得(1.1.1)式成立.这样对于F的任意一个主下集↓b，其中b∈F，都有
