第1章随机事件及其概率
　　在自然界和人类社会中存在两类不同的现象，即确定性现象和不确定现象.所谓确定性现象，是指事前可以预知一定条件下具体结果的现象.早期的科学研宄主要是基于数学分析、几何、代数、微分方程等数学工具揭示确定性现象的规律性.例如，一个质点在t秒钟沿着直线移动的距离为S(t)，则该质点移动的速度肯定是;不确定现象的结果是多种多样的，事前无法预测哪一个结果会发生.随机现象和模糊现象是两类主要的不确定现象.随机现象是刻画有多个可能结果的现象，但哪一个结果会出现，在试验之前无法预知.例如，投资某一股票，可能赚钱，可能亏本，也可能保本，*终结果宄竟是赚钱、亏本还是保本，事前无法确定，这是一个随机现象.模糊现象是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性.例如，一个人是19岁，我们说他是青年人；当他是20岁时，我们还说他是青年人；那么，当他是45岁时，我们还说他是青年人吗？50岁呢？因为青年人的外延是不清晰的，所以这导致了人们判断的不确定性，这是一种有别于随机现象的模糊现象.
　　随机现象不能理解为“碰巧的现象”“出乎意料的现象”，它蕴含着0内在必然性的规律.人们通过长期的反复观察和实践发现，尽管对随机现象进行一次或少数几次观察的结果具有不确定性，但在相同条件下进行大量重复观察时，观察结果又遵循某种规律.例如，投掷质地均匀的硬币多次，正面和反面出现的次数之比接近1:1;近代遗传学奠基人孟德尔用豌豆做试验，结果表明显性和隐性性状（子叶的颜色、种子的性状和茎的高度）之比接近3:1;某射手射击次数足够多时，弹着点关于目标的分布略呈对称性，偏离目标远的弹着点比偏离目标近的弹着点少；等等.这种在大量重复观察中呈现出的规律性称为统计规律性，它是随机现象本身所固有的、不随人们意志而改变的客观属性.概率论与数理统计就是研宄和揭示随机现象统计规律性的数学分支.
　　本章部分内容在《普通高中数学课程标准（2017年版)》（以下简称高中新课标）数学教材中己有介绍，这里从不同的角度进行阐述，以期全面系统地了解和认识概率论的基本知识.
　　1.1随机试验与随机事件
　　1.1.1随机试验与样本空间
　　为了研究统计规律性，需对随机现象进行大量重复的观察或试验，我们称为随机试验（random experiment)，简称试验，用字母E表示.随机试验有以下三个特点：
　　(1)可以在相同条件下重复进行；
　　(2)每次试验的可能结果不止一个，并且所有可能的结果是事先已知的；
　　(3)每次试验的结果恰是这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
　　今后，如不特别说明，本书中所提及的试验都是指随机试验.
　　对随机试验，我们感兴趣的是试验结果.例如，掷一枚骰子，能够直接观察到的可能出现的基本结果是1，2，3，4，5或6点，且这些结果在一次试验中不会同时出现.这种可能出现的基本结果称为样本点，用u表示.样本点全体构成的集合称为样本空间丨sample space)，用表;
　　例1试验五1:将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况，则样本空间.
　　例2试验五2:将一枚硬币连掷两次，观察正面出现的次数，则样本空间认.
　　例3试验E3-.记录某大型超市一天内进入的顾客人数.由于人数可能很多，难以确定一个合适的上界，因此，取样本空间.
　　例4试验E4:某射手打靶，测量其弹着点与靶心的距离，则样本空间.
　　需注意的是，对一个具体的随机试验来说，样本空间并不唯一，它依赖于试验目的.例如，试验玢和e2都是将一枚硬币连掷两次，但由于试验目的不一样，两个样本空间截然不同.通过进一步的学习我们将会发现，正是样本空间构建上的灵活性给解决实际问题带来了很大方便.对于具体问题，怎样选取一个恰当的样本空间是值得研宄的，也是解题的关键.
　　1.1.2随机事件
　　进行随机试验时，人们常会关心具有某种特征的样本点构成的集合.例如，掷一枚骰子，人们关心是否“掷出偶数点”，这是一个可能发生也可能不发生的事件，我们称它为随机事件（random event)，它涉及样本空间中的三个样本点，即样本空间.
　　由此可见，随机事件是试验中可能出现也可能不出现的结果，是由某些样本点构成的集合，或者说是样本空间的一个子集.随机事件是概率论*基本的概念之一，也简称事件，用字母A，B，C， 表示.
　　例5掷两枚骰子，观察点数.若用a;表示第一枚骰子出现的点数，y表示第二枚骰子出现的点数，则试验的样本空间为
　　的某些子集构成以下事件：
　　先=“点数之和等于2”={(1，1)}，该事件只包含单个样本点，这说明一个样本点本身就是一个随机事件；
　　事件对应于样本点的集合，对任一事件4来说，一个样本点要么属于4要么不属于A若随机试验出现的基本结果（即样本点）就称事件A发生;
　　反之，一个试验发生了结果A，就意味着4所包含的某个样本点恰为试验的结果.如例5中两枚骰子掷出（5，5)，则事件发生，事件先，A没有发生.
　　如果一个随机事件只包含一个样本点，则称此事件为基本事件.换句话说，随机试验的每一个可能的结果（对应于一个样本点）就是一个基本事件，因此，有些书中直接称样本点为基本事件.由若干基本事件组合而成的事件称为复合事件.例如，A!是基本事件，A2和都是复合事件.
　　从集合论的观点来看，一个随机事件就是样本空间D的一个子集.样本空间n含有两个特殊的子集，一个是d本身，另一个是空集0.为了方便研宄，可将两者视为随机事件的极端情形.d包含了所有可能的样本点，在每次试验中它总是发生，称d为必然事件;0不包含任何样本点，在每次试验中它总是不发生，称0为不可能事件.例如，掷一枚殺子，“出现点数不超过6”是一个必然事件，“出现7点”是一个不可能事件.
　　1.1.3样本空间的容量及事件数
　　在具体问题中，了解样本空间是研宄随机现象的第一步.样本空间的构成有时很简单，有时也相当复杂.例如，将一枚硬币连掷5次，观察正反面出现的情况，此时罗列所有的样本点将是非常繁重的工作，幸好一般情况下不必如此，只需知道样本点的个数即可.
　　样本空间包含的样本点个数称为容量，记为JHfT).若容量有限，就是有限样本空间，如试验EuE2中的仏，Q2.有限样本空间是*简单的样本空间，研宄它有助于深入分析更为复杂的样本空间.
　　若样本空间包含无穷多个样本点，即无限样本空间，此时又可细分为两类：第一类包含无穷但可列个样本点，如馬中的Ob，这类空间的性质类似于有限样本空间；第二类包含无穷但不可列个样本点，如及中的d4.
　　类似地，事件作为样本空间的子集，包含的样本点个数可以是有限个，也可以是无穷多个.随机事件包含的样本点个数称为事件数，用，等表示.例如，E3中令事件A为“顾客人数小于100”，则JV(⑷=100;E4中令事件B为“弹着点与靶心的距离大于2cm”，则。
　　1.2事件间关系及运算
　　在一个样本空间中可以有很多的事件，不同的事件有各自不同的特性，彼此之间又存在一定的联系.对事件之间关系的研宄，有助于我们认识随机现象的本质，简化复杂事件的概率计算.由于事件是一个集合，因此，事件之间的关系和运算可以按照集合之间的关系和运算来处理.
　　设试验E的样本空间为/?，A，S，小，=1，2， ）为中的事件.
　　1.2.1事件的运算
　　1.事件的并
　　“事件4与事件B中至少有一个发生”，称为4与S的并事件或和事件，记作AUS或A+B.这个事件发生等价于事件A发生或事件B发生.图1-1中阴影部分即为AUR显然.
　　类似地，“事件中至少有一个发生”，称为事件的并事件，记作GAk.这个事件发生等价于事件发生，或事件乂2发生，或事件An发生.
　　无穷个事件本A1，A2，A3， 的并事件，定义为“A1，A2，A3中至少有一个发生”的事件.
　　例1掷一枚骰子，用Afc表示“出现k点”，设事件A为“出现奇数点”，则A=為lU43UA5，即4是“出现1点”、“出现3点”和“出现5点”这三个事件
　　1.2事件间关系及运算
　　2.事件的交
　　“事件A与事件B同时发生”，称为A与s的交事件或积事件，记作Ans或.
　　例2随机地抽取一长方形工件进行检验，令4表示“长度合格”，B表示“宽度合格”，1表示“产品合格”，则戾=AB.
　　类似地，“事件AhA， ，An同时发生”，称为事件 ，的交事
　　3.事件的差
　　“事件A发生而事件B不发生”，称为A与S的差事件，记作AS(图1-3).
　　在例2中，令戌表示“只有长度合格”
　　1.2.2事件的关系
　　1.包含
　　若事件A发生必导致事件B发生，则称事件A包含于B或S包含A，记作AcB或(图1-4).AcB意味着A所包含的样本点都属于B.
　　对任一事件必有.
　　2.相等
　　若且则称A与B相等，记作A=B.
　　相等意味着4和S是同一个事件，它们包含的样本点完全相同.
　　3.互不相容
　　若事件A与事件B不能同时发生，即AS=0，两个事件没有公共的样本点，则称A与S是互不相容或互斥事件（图1-5).例如，掷骰子试验中，“出现偶数点”与“出现奇数点”是两个互不相容事件.
　　则称这n个事件互不相容.可见n个事件，互不相容，一定是两两互不相容的事件.例如，样本空间D中的各个样本点就是互不相容的事件.
　　4.互逆
　　对于事件4，“事件A不发生”也是一个事件，称为义的逆事件或对立事件，记作A它是由中所有不属于A的样本点组成的事件（图1-6).显然.
　　由定义不难看出，A=Q-A，并且逆事件是相互的，A也是Z的逆事件，即1A特别地，D和0互为逆事件.
　　1.2.3事件的运算规律
　　与集合论中集合的运算一样，事件之间的运算满足下面的运算规律.
　　(1)交换律：
　　(2)结合律：
　　ABC二
　　分配律：

目录　
前言　
第1章　随机事件及其概率　1　
1.1　随机试验与随机事件　2　
1.1.1　随机试验与样本空间　2　
1.1.2　随机事件　2　
1.1.3　样本空间的容量及事件数　3　
1.2　事件间关系及运算　4　
1.2.1　事件的运算　4　
1.2.2　事件的关系　5　
1.2.3　事件的运算规律　6　
1.3　随机事件的概率　7　
1.4　古典概型　9　
1.5　几何概型　13　
1.6　概率公理化定义　16　
1.7　条件概率与乘法公式　19　
1.7.1　条件概率　19　
1.7.2　乘法公式　21　
1.7.3　事件的相互独立性　23　
1.8　伯努利概型　27　
1.9　全概率公式与逆概率公式　30　
本章小结　35　
习题1　37　
第2章　随机变量及其分布　41　
2.1　随机变量　41　
2.2　离散型随机变量　42　
2.2.1　离散型随机变量及其概率分布　42　
2.2.2　几种常见的离散型分布　43　
2.3　连续型随机变量　48　
2.3.1　连续型随机变量及其概率密度　48
2.3.2　几种常见的连续型分布　50　
2.4　分布函数　53　
2.4.1　分布函数的定义　53　
2.4.2　离散型随机变量的分布函数　54　
2.4.3　连续型随机变量的分布函数　55　
2.4.4　正态分布的分布函数　56　
2.5　随机变量函数的概率分布　59　
本章小结　63　
习题2　64　
第3章　随机向量　67　
3.1　二维随机向量及其分布　67　
3.1.1　二维随机向量　67　
3.1.2　离散型随机向量及其分布律　68　
3.1.3　连续型随机向量及其概率密度函数　69　
3.1.4　分布函数　71　
3.2　边缘分布　73　
3.2.1　边缘分布函数　73　
3.2.2　边缘分布律　74　
3.2.3　边缘概率密度　76　
3.3　条件分布　78　
3.3.1　离散型随机变量的条件分布律　78　
3.3.2　条件分布函数　79　
3.3.3　连续型随机变量的条件概率密度.80　
3.4　随机变量的独立性　81　
3.5　随机变量的函数的分布　85　
本章小结　91　
习题3　92　
第4章　随机变量的数字特征　95　
4.1　数学期望　95　
4.1.1　一维随机变量的数学期望　96　
4.1.2　一维随机变量函数的期望　102　
4.1.3　二维随机向量及其函数的数学期望　103　
4.1.4　数学期望的性质　105　
4.2　方差　108　
4.2.1　随机变量的方差和均方差　108
4.2.2　方差的性质　111　
4.2.3　随机变量的标准化　113　
4.3　协方差和相关系数　113　
4.4　矩　119　
本章小结　122　
习题4　126　
第5章　大数定律与中心极限定理　131　
5.1　大数定律　131　
5.1.1　切比雪夫不等式　131　
5.1.2　大数定律　133　
5.2　中心极限定理　136　
本章小结　139　
习题5　140　
第6章　数理统计的基本知识　142　
6.1　总体和样本　142　
6.2　经验分布函数　146　
6.3　统计量与样本数字特征　149　
6.4　一些统计量的分布　152　
6.4.1　χ2分布　153　
6.4.2　t分布　156　
6.4.3　F分布　159　
本章小结　161　
习题6　162　
第7章　参数估计　164　
7.1　点估计　164　
7.1.1　问题的提出　164　
7.1.2　矩估计法　165　
7.1.3　*大似然估计法　169　
7.2　估计量的评选标准　176　
7.2.1　无偏性　176　
7.2.2　有效性　180　
7.2.3　一致性　181　
7.3　区间估计　182　
7.4　正态总体均值的置信区间　184　
7.4.1　σ2已知时μ的置信区间　184
7.4.2　σ2未知时μ的置信区间　185　
7.5　正态总体方差的置信区间　187　
7.5.1　μ已知时σ2的置信区间　187　
7.5.2　μ未知时σ2的置信区间　187　
7.6　两个正态总体均值差的置信区间　189　
7.6.1　σ21和σ22均已知时μ1-μ2的置信区间　189　
7.6.2　σ21=σ22=σ2未知时μ1-μ2的置信区间　191　
7.7　两个正态总体方差比的置信区间　192　
7.8　单侧置信区间　194　
本章小结　195　
习题7　197　
第8章　假设检验　200　
8.1　假设检验的基本概念与方法　200　
8.1.1　问题的提出　200　
8.1.2　假设检验的基本思想　201　
8.1.3　假设检验的两类错误　201　
8.1.4　假设检验的步骤　202　
8.2　一个正态总体的期望与方差的假设检验　203　
8.2.1　方差σ2已知时，总体均值的假设检验　203　
8.2.2　方差σ2未知时，总体均值的假设检验　206　
8.2.3　正态总体方差的检验　207　
8.3　两个正态总体均值与方差的假设检验　209　
8.3.1　两个正态总体均值相等的检验　210　
8.3.2　两个正态总体方差相等的检验　212　
8.4　总体分布函数的假设检验　215　
8.4.1　χ2-适度检验法　215　
8.4.2　概率格纸检验法　217　
本章小结　220　
习题8　221　
第9章　方差分析与回归分析　223
9.1　方差分析　223　
9.1.1　问题的提出　223　
9.1.2　单因素的方差分析　224　
9.1.3　双因素的方差分析　230　
9.2　回归分析　234
9.2.1　问题的提出　234　
9.2.2　一元线性回归模型　235　
9.2.3　线性关系的显著性检验　238　
9.2.4　预测与控制　241　
9.2.5　可线性化的一元非线性回归　244　
本章小结　249　
习题9　250　
第10章　MATLAB软件应用　252　
10.1　概率计算的MATLAB实现　252　
10.1.1　MATLAB简介　252　
10.1.2　古典概率及其模型　253　
10.1.3　条件概率、全概率公式与伯努利概率　254　
10.2　几种常见分布的MATLAB实现　255　
10.2.1　离散型随机变量的分布　255　
10.2.2　连续型随机变量的分布　257　
10.2.3　二维随机变量及其分布的MATLAB实现　258　
10.3　数字特征　262　
10.3.1　样本数字特征的MATLAB实现　262　
10.3.2　随机变量的数字特征　265　
10.3.3　常见分布的期望和方差　270　
10.4　参数估计的MATLAB实现　271　
10.4.1　矩估计的MATLAB实现　271　
10.4.2　*大似然估计的MATLAB实现　272　
10.4.3　区间估计的MATLAB实现　272　
10.4.4　常用分布参数的区间估计　273　
10.5　假设检验的MATLAB实现　274　
10.5.1　方差已知时单正态总体均值的假设检验　274　
10.5.2　方差未知时单正态总体均值的假设检验　275　
10.5.3　均值未知时单正态总体方差的假设检验　277　
10.6　方差分析的MATLAB实现　277　
10.6.1　单因素方差分析的MATLAB实现　277　
10.6.2　多重比较的MATLAB实现　280　
10.7　线性回归分析的MATLAB实现　281　
本章小结　284
习题10　284
第11章　常见的概率论与数理统计模型　286　
11.1　数学建模和统计软件　286　
11.1.1　数学模型和数学建模　286　
11.1.2　数学建模中概率论与数理统计常用的软件　288　
11.2　常见的概率论模型　289　
11.2.1　钓鱼问题　290　
11.2.2　随机存储策略　291　
11.3　常见的数理统计模型　294　
本章小结　300　
习题11　300　
附录1　预备知识　302　
附录2　附表　328