第1章测量误差与数据处理
1.1测量误差与不确定度
1.1.1测量和实验误差
测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的.所谓测量，就是将待测物理量与规定作为标准单位的同类物理量（或称为标准量）通过一定的方法进行比较.测量中的比较倍数即为待测物理量的测量值.测量可分为两类：一类是用已知的同类物理量与待测物理量直接进行比较，或者从已用标准量校准的仪器仪表上直接读出测量值（例如，用米尺量得物体的长度为0.7300ｍ，用停表测得单摆周期为1.05s，用毫安表读出电流值为12.0mA等），这类测量称为直接测量；另一类测量不能直接把待测量的大小测出来，而是依据待测量由一个或几个直接测得量的函数关系求出该待测量（例如，测量铜圆柱体的密度时，首先用游标卡尺或螺旋测微器（千分尺）测出它的高h和直径d，用天平称出它的质量m，然后通过函数关系式.=4m/（.d2h）计算出铜的密度.），这类测量称为间接测量（或称复合测量）.
一般来说，大多数测量都是间接测量.但随着科学的发展，很多原来只能以间接测量方式来获得的物理量，现在也可以直接测量了.例如，电功率现在可用功率表直接测量；又如速度也可用速率表来直接测量等.
测得的数据（即测量值）不同于数学中的数值，它是由数字和单位两部分组成的.一个数值有了单位，便有了特定的物理意义，这时它才可以称为一个物理量.因此，在实验中经测量所得的量（数据）应包括数值和单位，二者缺一不可.
实验误差任何物质都有其自身的特性.反映这些特性的物理量所具有的客观真实数值称为物理量的真值.测量的目的就是要力求得到真值.但测量总是依据一定的理论和方法，使用一定的仪器，在一定的环境中由一定的人进行的.在测量过程中，由于受到测量仪器、测量方法、测量条件和测量人员的水平以及种种因素限制，测量结果与客观存在的真值不可能完全相同，所测得的只能是该物理量的近似值.也就是说，任何一种测量结果与客观存在的真值之间总会或多或少地存在一定的差值，这种差值称为测量误差（又称测量的绝对误差），简称“误差”，即
误差存在于一切测量之中，而且贯穿测量过程的始终.每次测量都会引起误差.测量所根据的方法和理论越多，所用仪器经历的时间越长，则引进误差的机会就越多.因此，实验应根据测量量来制订或选择合理的方案和仪器.要避免测量中某个环节盲目不实际的高指标，因为这样既不符合现代信息论的基本思想，又加大了测量误差.一个优秀的实验工作者，应该是在一定的要求下，以昀低的代价来获得昀好的结果.要做到既保证必要的实验精度，又合理地节省人力与物力.
1.1.2误差分类
1.随机误差（王云才，2014）
定义：在实际测量中，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变化，时大时小，时正时负，以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差.
如对准标志（刻线）的不一致，读数偏大与偏小引起的误差，光电流变动、实验条件的波动等都会产生随机误差.随机误差在各项测量中的单个无规律性，导致了众多随机误差之和有正负相消的机会，随着测量次数的增加，随机误差的个数也增加，而随机误差平均值愈来愈小并以零为极限，因此，多次测量的平均值的随机误差比单个测量值的随机误差小，这种性质通常称为抵偿性，抵偿性只发生在本次实验产生的许多随机误差中，也称为本次随机误差.
通常，可以用统计的方法估计出随机误差的界限，则.称为随机误差限或极限误差，而或简写为，称之为随机误差的置信区间，它与概率有关.
由于随机误差的变化不能预先确定，因此，这类误差也不能修正，而仅仅只能估计.随机误差是具有统计（或概率）规律的误差，其显著的统计特征如下所述.
（1）测量列的算术平均值，在深入讨论随机误差问题时，可假定系统误差已经被消除或减小到可以忽略的地步.
在相同条件（即等精度）下对于某一物理量进行k次测量，其测量值为，的算术平均值为x，则
根据统计误差理论，在一组k次测量的数据中，当测量次数时.算术平均值昀接近于真值，所以称为测量的“昀佳值”.
测量次数的增加对于提高算术平均值的可靠性是有利的，但不是测量次数越多越好.因为增加测量次数必定延长测量时间，这样会给保持稳定的测量条件增加困难，还会引进大的观测误差.另外，增加测量次数对系统误差的减小并不起作用，所以实验次数不必过多.一般在科学研究中，取10～20次，而在物理实验中，通常取6～10次.
（2）测量列的标准误差，如前所述，随机误差的大小和方向都不能预知，但是在等精度条件下，对物理量进行足够多次测量，就会发现测量的随机误差是按一定的统计规律分布的，而典型的分布就是正态分布（高斯分布）.
典型的正态分布如图1-1-1所示.图中.为绝对随机误差（绝对误差），f（.）为概率分布函数.为标准误差.由概率知识可以证明
（1-1-2）
其中.被定义为测量列的标准误差 可表示为
（1-1-3）
（3）的统计意义，由（1-1-2）式表示的正态分布和概率论知识有（1-1-3）式表明：当时，任何一次测量值与真值之差落在区间的概率为1（满足归一化条件），而落于区间的概率为0.683，即置信概率P=0.683，落于区间的概率为0.954，置信概率P=0.954.落于区间的概率为0.997，置信概率P=0.997，由此可看到.是一个统计特征值，它表明了在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况.当测量次数无限多时，测量误差的绝对值大于3.的概率仅为0.3%，对于有限次测量，这种可能性是极微小的，于是可认为此时的测量是失误，该测量值不可信，应予剔除.这就是著名的3.准则，在分析多次测量的数据时很有用.由此可知，标准误差.是随机误差散布情况的量度.
（4）标准偏差的昀佳估计值，在实际测量中，测量次数k总是有限的，况且真值X也不知道，因此标准误差只具有理论价值，对它的实际处理只能进行估算.设x为多次测量值xi的算术平均值，定义测量列的标准偏差为
（1-1-4）
当测量次数足够多时，测量列中任一测量值与平均值的偏离落在.的概率为68.3%.（1-1-4）式亦称为贝塞尔公式.
2.系统误差
在同一实验条件下（仪器、环境和观测人都不变）多次测量时，误差的绝对值和正负号保持不变，或按一定规律变化的误差，称系统误差，系统误差的特征是它的可确定性.它主要来自以下几个方面.
1）仪器误差
仪器是指为确定被测量值所必需的计量器具和辅助设备的总体，其误差来源于以下几个方面.
（1）标准器误差.标准器是提供标准量值的器具，如激光管、标准量块、标准电池、标准电阻和铯原子钟等，使用时它们的真值和它们自身体现出来的客观量值之间有差异，或者，在没有满足约定真值所需要的条件下复现出某个与约定真值有差异的值.
（2）仪器误差.将被测的量转换成可直接观测的指示值或等效信息的计量器具，有时可分为转换系统、传输通道和指示系统等.例如，零位指示器、阿贝比长仪等比较仪器，温度计、秒表、检流计等指示仪器都会引起误差.
（3）附件误差.为测量创造一些必要条件，或使测量方便地进行的各种辅助附件均属测量附件，例如，电测中的转换开关及移动接触点，电源、热源和连接导线等都会引起误差.
误差的具体表现形式如下.
线纹尺分划质量不好，光学计量装置的杂散光，量块的不平行性及不平面度，螺纹测微器有空行程，望远镜光学性能不好，由零件联结间隙产生的隙动等，这些误差大部分是由制造工艺和长期使用磨损引起的，属于结构性的误差.
仪器在使用时没有调整到水平、垂直、平行等理想状态，应当对中的未能对中，方向不准等属于使用中的调整性误差.
此外，还有变化性的误差.如提供标准量值本身的准确性及其随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性，激光波长的长期稳定性，尺长的时效，电阻、电池的老化，晶体振荡器频率的长期漂移和短时波动，硬度块上的硬度值各处不同等，又如伴随有源仪器信号输出时的各种噪声，这些噪声使得信号产生失真或畸变.
2）环境误差
由各种环境因素与要求的标准状态不一致及其在空间上的梯度与随时间的变化引起的测量本身的变化，机构失灵、相互位置改变等引起的误差，这些因素和温度、湿度、气压（引起空气各部分的扰动）、震动（大地微震、冲击、碰动等）、照明（引起视差）、加速度、电磁场、野外工作时的风效应、阳光照射、透明度、空气含尘量有关.
仪器仪表在出厂规定的正常工作条件下使用时产生的示值误差称为基本误差，所谓正常工作条件是指检定规程中所规定的工作条件，如（20±2）℃等，超出此正常工作条件使用时所增加的误差称为附加误差或变动量.计量仪器仪表使用与检定时，环境因素的差异引起的误差，常常成为新的重要的误差源.科学实验中，静态分析和检定与动态使用时的差异是值得特别注意的误差源，例如，当地面上已检定的仪器，在空中运动着的飞行器上使用等.
3）人员误差
测量者生理上的昀小分辨力，感觉器官的生理变化，反应速度和固有习惯引起的误差.如记录某一信号时，测量者滞后和超前的趋向，对准标态读数时，始终偏左或偏右，偏上或偏下，常表现为视差、观测误差、估读误差和读数误差等.这类误差常简称为人差.
4）方法误差
需要瞬时取样测量，而实际上取样间隔不为零；经验公式函数类型选择的近似性以及公式中各系数确定的近似性.由测量方法或计算方法不完善所引起的误差均属于方法误差.
在推导测量结果表达式中没有得到反映，而在测量过程中实际起作用的一些因素引起的误差也属于方法误差，如电测量中由方法不妥引起的装置绝缘漏电、热电势、引线电阻上的压降，平衡电路中的灵敏阈值等.
由知识的不足或研究不充分引起的方法误差，如对已检验方法进行了不小心的简化，操作和实验不合理等都容易引起方法误差.
在一些计量工作中，测量对象本身的规律变化正是我们要研究的，但有时也作为误差因素考虑.有一些误差不是测量设备所有，也不是被测对象所有，当设备与对象连接后就将误差带给了测量结果.例如，用高准确度电压表测量电压源的电压时，由于输入与输出阻抗的失配，而将误差带给了测量结果.不同的电压源有着不同的误差.
必须注意：以上各种误差来源，有时是联合起作用的.误差分析时，几个误差来源联合起作用时，可以作为一个独立误差因素考虑，这样就可能使得它与其他各个因素独立或无关，能使误差合成时得到简化.
综上所述，系统误差和随机误差性质不同，来源不同，处理方法也不相同，但在实验中系统误差和随机误差往往是并存的，共同影响着实验测量结果.
3.精密度、准确度、精确度
通常人们用“精度”这类词来形容测量结果的误差大小，但精度是一个笼统的概念.我们有必要从误差角度对此作一定的说明（汪涛，2012）.
精密度——指重复测量所得结果相互接近的程度.精密度反映了随机误差大小的程度.
准确度——指测量值或实验所得结果与真值符合的程度.它是描述测量值接近真值程度的尺度，反映了系统误差大小的程度.
精确度——精密度与准确度的综合，既描述了测量数据间的接近程度，又表示了与真值的接近程度.总之，精确度反映了综合误差大小的程度.
图1-1-2可以帮助读者形象地理解以上三个名词.
图1-1-2（a）中子弹击中靶子的点比较集中，但都偏离靶心，表示精密度较高而准确度较差；图1-1-2（b）虽然着弹点较分散，但平均值较接近靶心，表示准确度较高而精密度较差；图1-1-2（c）则表明了精密度和准确度均较好，即精确度较高.
4.误差的相互转化
必须注意误差的性质是可以在一定的条件下相互转化的.例如，尺子的分度误差对于制造尺子来说是随机误差，但将它作为基准尺检
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