第12章线性赋范空间中的微分学
12.1线性赋范空间
一、知识点总结与补充
1.线性空间
(1)线性空间的定义:称(非空)集合X是域上的一个线性空间，如果在X上装备了一种加法运算“+”、在Φ与X之间赋予了一种乘法运算(通常略去乘法记号)，使得(X，+)成为一个加法群，且满足:
(2)维数:称线性空间X是有限维的，如果其中的*大线性无关组只含有限多个元素.而称其是无限维的，如果含有n个线性无关的元素.
(3)有限维线性空间的例子:
(4)无限维线性空间的例子:
.l——实数列或复数列组成的空间，.l——有限支集序列组成的空间，.l是l的线性子空间.
F[a，b]——定义在闭区间[a，b]上的数值(实数或复数)函数组成的空间，C[a，b]——定义在闭区间[a，b]上的连续函数组成的空间，C[a，b]是F[a，b]的线性子空间.
(5)直积空间:如果在有限个线性空间的直积中对元素的线性运算是按分量进行的，则在其中自然就引进了一个线性空间结构.
2.线性空间中的范数
(1)范数与线性赋范空间的定义:设X是数域Φ上的线性空间.函数称为X中的范数，如果它满足以下三个条件:
(非退化);
(齐次性);
(三角不等式)，
称在其上定义了范数的线性空间为线性赋范空间.称向量的范数值为这个向量的范数.
注 向量的范数总是非负的，且满足不等式
(2)半范数的定义:数域Φ上的线性空间X上的函数称为半范数，如果它满足范数定义中的齐次性条件、三角不等式及非负性条件:
(3)线性赋范空间的度量:线性赋范空间都有自然的度量度量d有两条附加的特殊性质:
平移不变性:.
齐次性:
(4)向量范数的连续性:线性空间X中的范数关于由自然度量导出的那个拓扑是连续函数(参见习题1(2)).
(5)巴拿赫(Banach)空间的定义:如果线性赋范空间作为关于自然度量d的度量空间是完备的，则称它为完备的线性赋范空间或者巴拿赫空间.
(6)巴拿赫空间的例子:
注如果，则有如下不等式
赋范空间的直积:如果，那么令的范数为
这里kxik是向量在空间Xi中的范数.
注 上边对于Rnp成立的不等式仍然有效.
注 如果，则有如下不等式
注 当1.p<1时，具有范数的空间C[a，b]不完备.
表示Ω上的局部可积且其模的p-次方也在Ω上(在常义或反常积分意义下)可积的函数的空间，的范数为.
在上的等价关系为
若，则称f和g在Ω上几乎处处相等(简记为).
注是上的半范数.
3.向量空间中的数量积
(1)埃尔米特形式的定义:称在(复数域上的)线性空间X中给出了一个埃尔米特形式，如果定义了具有以下性质的映射
其中x1，x2，x3是X中的向量，而λ2C.
注1 埃尔米特形式的性质:
注2 如果X是实数域上的线性空间，则可直接用代替定义中的第一个等式，这意味着它关于向量变量x1，x2是对称的.
(2)数量积的定义:称线性空间X中的埃尔米特形式，是正的，如果;是非退化的，如果.非退化正埃尔米特形式称为这个空间中的数量积.
(3)数量积的例子:
(4)数量积的柯西–布尼亚科夫斯基不等式:
其中等号成立的充分必要条件是x与y共线.
(5)范数与度量:有数量积的线性空间具有自然的范数和度量.
注 柯西–布尼亚科夫斯基不等式可写成如下形式
(6)欧氏空间(埃尔米特空间):具有数量积的有限维线性空间，与其数域是R或C相应，称之为欧氏空间或埃尔米特空间.
(7)内积空间:一般地，称具有数量积的线性空间为内积空间，特别地，如果它关于由空间的自然范数导出的度量完备，则称它为希尔伯特(Hilbert)空间.
注 L2[a，b]是一个Hilbert空间.
二、例题讲解
1.证明:在线性赋范空间中为了在X上可引入一个内积，满足
2.必须且仅需范数满足如下平行四边形等式(极化恒等式):
证 必要性.设在X上的内积，满足，则，我们有.
充分性.设范数满足极化恒等式.当X是实数域R上的空间时，令
首先，显然，且
又显然.此外，由极化恒等式可知
往证
可知.又由数学归纳法易知，当λ=n2N时，进而
因此我们有.对一般的，显然使得lim，于是由范数的连续性可知
综上可知，式定义了一个内积且满足.
当X是复数域C上的空间时，令
类似地，我们也可证明其定义了一个内积且满足.具体细节从略.
三、习题参考解答(12.1节)
1.(1)证明:如果在线性空间X中所给度量是平移不变的和齐次的，那么X可以赋予范数.
(2)验证:线性空间X中的范数关于由自然度量导出的那个拓扑是连续函数.
(3)证明:如果是有限维的线性空间，而和是上的两个范数，那么总可以找到正数使得对于任意向量满足
(4)以空间中的范数和为例说明上述不等式在无穷维空间中一般来说是不成立的.
证 (1)首先，由度量的唯一性可知
其次，由度量的齐次性可知
*后，由度量的平移不变性、三角不等式、对称性和齐次性可知
综上可知，为X中的范数.
(2)令，则当且δ时，易见
从而可知结论成立.
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