第1章 引言
统计机器学习无论在格物致知的自然科学，还是在经世致用的社会科学，抑或是在风头正劲的信息科学中，都扮演着至关重要的角色.例如，统计学习方法在预测基因组学中的应用，根据公司的绩效和经济运行数据预测其股票价格;深度学习方法对图像处理、语音识别和自然语言处理等人工智能领域的重要进展起到关键作用.
1.1 问题驱动
统计学是一个方法论学科，其扎根于现实中的各类问题，机器学习更是如此.针对问题，从统计学的角度来考虑机器学习常称作统计机器学习或统计学习.下面三个例子分别对应于统计机器学习常见的回归、分类和生成任务.
(1)从一个人血液的红外吸收光谱，估计(或者说预测)糖尿病患者血液中葡萄糖的含量.
(2)从数字图像中识别手写邮政编码中的数字.
(3)从海量的图像、文字和声音，来分别生成类似风格的图像、文字和声音等.
统计机器学习能为统计学领域、机器学习、大数据和人工智能以及其他诸多交叉学科问题的处理提供有效工具.数据驱动成为当今一大趋势.每天，我们会面对不同群体(总体)的各种观测数据.假设有来自某个总体的 m 个样本(又称实例)，第 i 个样本上有各种指标的观测值，这里常指代 n 维的特征或称作输入变量X的第 i 次观测，是对应的标签或称作输出变量Y的第 i 次观测，写成数据矩阵为
(1.1.1)
其中的单向箭头反映了预测变量和响应变量的某种自然对应关系.在监督学习任务中，正是利用数据中的这种对应信息，学习输入变量X对输出变量Y的预测函数 f(X)，用于预测未观测的输出变量或解释输入和输出变量之间的关系.若观测数据中不含有标签Y的观测值，则涉及常见的无监督学习任务，其同样需要根据数据学习一个预测函数 f(x)，来描述特征变量X的某种分布规律.例如，学习特征变量X的密度函数 f(x).有了密度函数，我们可以用它做进一步的统计推断，或者用来生成与观测数据有近似分布的样本，如某种风格的图像生成.
1.2 统计机器学习的基本任务
根据上一节，若用一句话来近似描述何谓机器学习，可以概括为“统计机器学习”近似地是在执行“寻找一个函数. f”的任务.
完成该任务有以下主要的三步:
第一步，定义模型.用统计的语言，模型就是一个函数的集合满足某些性质 g .本步是为了解决从哪里寻找我们想要的那个函数.
第二步，构造损失函数.损失函数能提供一个准则，度量模型中的每个函数预测的精确性，为挑选出*优的函数确定依据.
第三步，建立优化算法.根据平均损失(或称作“风险”)*小的准则，给出寻找*优预测函数的算法，如常见的梯度下降算法.
例1.2.1 设观测值为来自服从二元正态总体的样本，这里分别表示二维正态总体分布的均值向量和协方差矩阵的取值.
根据对散点图1.1的观察，可以引导我们进行统计机器学习的三个步骤.
图1.1 二维正态散点图
第一步，根据散点图看出(X， Y)取值有较明显的线性关系趋势，考虑定义所谓的简单线性模型为.
第二步，在线性回归问题中，常选择的损失函数之一为平方损失，在第 i 个样本上预测的平方损失形式为
(1.2.1)
而在所有 m 个样本上的总的损失(也称作残差平方和)，记为
(1.2.2)
给定观测值的函数.
第三步，通过优化算法(如能求出显式解的“正规方程法”或者大规模数据时的“梯度下降法”)，求出使得损失 L(w0，w1)达到*小值的，寻找到简单线性回归模型的预测函数，完成我们的基本任务.
注 1.2.1该简单线性回归模型(函数集 F)中，不同的系数向量确定了不同的函数.由此对应关系，可把该函数集中的每一个“函数”元素和二维欧氏空间 R2中的一个向量元素建立一个一一映射.即简单线性模型 F 本质上是一个二维的参数空间，自由变动的参数为.另外，每个具体的向量(w0，w1)T 自身又表示一个具体的函数 w，其定义域为含有两个点的集合 f0，1g，值域是 R.例如，若，则表示函数 w 将0对应到0，1对应到1;而若，则表示的函数γ是将0对应到1，1对应到0，即 w 和γ表示两个不同的函数.所有这些函数值列成的二维向量构成一个二维欧氏空间 R2.因此，对于简单线性回归任务，寻找一个线性预测函数，等价于寻找一个二维向量，而其又等价于寻找一个定义在上的函数.这个角度有利于我们考虑更复杂的统计机器学习模型和算法.
注1.2.2 以上三步彼此相互紧密相关，每一步的实施是一个由具体问题而定、动态选择的过程.下一节分别从总体和样本的角度更进一步描述机器学习过程.
1.3 统计机器学习的总体目标和样本策略
实际中，我们是通过随机样本研究机器学习，因此我们的主要目标是推断产生随机样本的总体分布，其是未知的.本节先从总体的角度明确统计机器学习的目标，然后考虑从样本着手实现逼近目标的主要策略.
1.3.1 监督学习
1.回归问题
设 表示一个随机的输入向量，表示一维的随机输出变量，(X，Y)的联合分布(此处不妨设为密度)为 g(x， y).监督学习的基本任务之一是，根据(X，Y)的联合分布 g(x， y)，寻找一个预测函数 f(X)，由X的值来预测Y.一个*常用和方便计算的损失函数是二次损失.在二次损失下，我们得到一个挑选*好预测函数 f 的准则，称为二次风险函数(risk function)或者二次期望损失(expected loss)
(1.3.1)
这里表示Y关于X的条件密度.根据上面的计算，*小化 L(f)的解为，即Y关于X的条件期望函数，也称作均值回归函数.
以上均值回归函数的推导有一定的技巧性，若借助变分法则可以从*优化中常见的梯度等于0的求极值方法导出，这会帮助我们更好理解并记住这一重要回归函数形式的由来.以下，略微偏离主题，介绍变分法的少许知识及其在统计机器学习中的应用.
变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础就是变分法.如今，变分法已成为大学生、研究生、工程技术人员和各领域科学专家的必备数学基础.为介绍变分法，首先看一个和机器学习有关的概率问题.
例1.3.1 设连续型随机变量X p(x)，取值于区间[a， b]，其相对熵为，问取什么样的密度函数 p(x)，能使上面的相对熵达到*大.
记函数集为区间[a， b]上的概率分布密度函数g.上述问题，可以转化成如下的优化问题:
上述形式和常见的优化问题有些不同，通常的优化问题是在欧氏空间的某个子集中寻找一个*优解向量，而这里需要在函数空间的某个子集中寻找一个*优的函数.但变分法可以看成通常*优化的拓展，由类似的极值一阶条件，得到的欧拉方程一般为一个偏微分方程，其解正是一个函数.变分法简单地概括为求泛函的极值问题.统计机器学习三个步骤中的第二步中构造的平均损失函数(风险函数)，更确切地应称作泛函，其定义域是第一步给出的模型(函数集)，值域为非负实数集合;第三步的优化则是求解该泛函的极值过程.下面的引理是给出微分方程(也可称作正规方程)的基础.
引理1.3.1 (变分法基本引理)设函数 f(x)在区间[a， b]上连续，任意函数η(x)在区间[a， b]上具有 n 阶连续导数，且对于某个非负整数满足条件，如果积分对满足上述条件的任意函数η(x)总成立，则在区间[a， b]上必有.
引理1.3.1的证明参见文献(老大中，2004).注意到引理中的 n 取得越大，对η(x)的光滑性要求越高，满足条件的η(x)一般更少，相应的积分方程对应条件是在减弱的.另外，上述引理中的 a， b 分别取，引理中的条件做适当的调整，引理的结论仍然成立.
以下，我们结合变分法基本原理，来推导一个基础优化问题的解.
考虑如下形式的一个基础优化问题:
(1.3.2)
这里 L 是变量 f 的泛函，为简单起见，X假设是一维变量，函数 G 称为泛函的核.
如果. f 是待求*优解，则任一函数 f 可以表达为，其中η(x)满足η(a)=η(b)=0，这可以看成初始边界条件，其在*速降线等经典问题中有实际意义.η(x)在优化中可以看成向量、控制扰动的方向;.是一个实数，控制扰动的大小.假设 f(x)可导，其导函数表示为，因此，优化问题(1.3.2)等价于
(1.3.3)
显然，上式中的目标函数依赖于.但是，若是*优解，则对任意给定的都是的*小值点，即对任意的.假设积分和求导运算可以交换次序，上式变为.
此时，结合基本引理，可以导出下面的结论.
定理1.3.1 使*简泛函
(1.3.4)
展开
