第1章有限维系统预备知识
　　1.1有限维系统基本概念
　　设X，U和Y是Hilbert空间.考虑线性系统
　　（1.1.1）
　　其中是系统状态，是控制输入，是观测输出;和分别称为状态空间，控制空间和输出空间;线性算子和分别称为系统算子，控制算子和观测算子，满足
　　（1.1.2）
　　系统（1.1.1）由算子A，B和C完全决定，因此通常简记为（A，B，C）.当X，U和
　　Y都是有限维线性空间时，系统（A，B，C）称为有限维系统.本章研究的系统都是有限维系统.
　　对任意的和，解系统（1.1.1）中的常微分方程可得
　　（1.1.3）
　　其中
　　（1.1.4）
　　由
　　（1.1.5）
　　可得，因此，级数（1.1.4）总是收敛的，从而（1.1.3）有意义.此时，系统的输出可以表示为（1.1.6）
　　1.1.1可观性
　　在实际问题中，测量输出的选择要考虑多种因素.在理论上，测量信号应该包含系统的状态信息，这是设计状态观测器的必要条件.1960年，Kalman从理论上提出了这一问题，并引入了系统可观性的概念.可观性不但可以反映输出信号中包含的系统状态信息的情况，而且隐含着输出对系统状态的某种连续依赖性.
　　令u（t）=0，控制观测系统（1.1.1）退化为观测系统
　　（1.1.7）
　　该系统由矩阵A和C完全决定，通常简记为（A，C）.
　　定义1.1.1设X是状态空间，Y是输出空间.对任意的，观测系统上的观测映射定义如下:
　　（1.1.8）
　　如果存在时刻τ>0使得，则称系统上可观.
　　容易证明，KerCτ与τ无关，即
　　（1.1.9）
　　因此，下面表述是等价的:
　　系统（A，C）可观;
　　存在τ>0，使得KerCτ={0};
　　对任意的τ>0，有KerCτ={0}.
　　对任意的τ>0，下面矩阵称为观测系统（A，C）的Gram矩阵
　　（1.1.10）
　　直接计算可得:，其中是的共轭算子
　　（1.1.11）
　　所以，Wo（τ）是半正定的.
　　定理1.1.1系统（A，C）可观的充要条件是:存在τ>0使得Gram矩阵
　　Wo（τ）正定，或者等价地，存在cτ>0使得
　　（1.1.12）
　　证明由于
　　（1.1.13）
　　因此，正定当且仅当存在c使得（1.1.12）成立.
　　充分性:由于正定，可以定义映射如下:
　　（1.1.14）
　　直接计算可得，从而，于是有.系统（1.1.7）可观.
　　必要性:系统（1.1.7）可观意味着存在使得.假设对任意的，矩阵都不正定.特别地，从而矩阵是奇异的.于是存在向量使得，进而
　　（1.1.15）
　　所以，这与矛盾.
　　当系统（A，C）可观时，这说明Cτ是单射，所以X和之间存在1-1对应.也就是说，对任意的，存在唯一的，使得.因此，系统可观意味着输出上的值可以唯一地确定初值，从而唯一地确定了系统状态.观测不等式（1.1.12）的重要之处在于，它还保证了初值对输出的连续依赖性.当输出变化不大时，它所确定的初值变化也不大.由于输出信号不可避免地要带有干扰，这种连续依赖性是观测系统必须具备的性质.对于有限维系统而言，这种连续依赖性是隐藏在系统可观的定义中的.综上，系统可观意味着输出在上的值可以唯一、连续地确定初值x0（或状态.
　　对任意的，其中由（1.1.14）定义.函数f和之间是什么关系呢?当时，存在使得.注意到，我们有
　　（1.1.16）
　　当时，下面定理指出:是在上唯一的最佳逼近.这一结论揭示了观测系统（A，C）与给定信号之间的内在关系，为信号的动态表示提供了理论基础.
　　定理1.1.2设系统（1.1.7）可观，τ>0，映射Cτ和Fτ分别由（1.1.8）和（1.1.14）定义，则对任意的，CτFτ（f）是f在RanCτ上唯一的最佳逼近，即
　　（1.1.17）
　　证明由（1.1.14）可知:于是
　　（1.1.18）
　　注意到
　　（1.1.19）
　　对任意的和任意的，由（1.1.16）和（1.1.19）可得
　　（1.1.20）
　　所以与正交.由泛函分析理论，是f在上的最佳逼近.
　　由于是空间的有限维线性子空间，所以，最佳逼近元是唯一的.
　　n阶系统的可观性还有如下常用结论（状态空间的维数称为系统的阶数）:
　　定理1.1.3（Kalman判据）系统（A，C）可观当且仅当rank（Po）=n，其中，
　　（1.1.21）
　　定理1.1.4（PBH秩判据（Popov，Belevitch，Hautus）系统（A，C）可观当且仅当
　　（1.1.22）
　　或者
　　（1.1.23）
　　定理1.1.5（[21，p.223，Lemma6.2.5]）输出反馈不改变系统（A，C）的可
　　观性，即:对任意的，系统（A，C）可观当且仅当系统（A+KC，C）可观.
　　状态反馈可能会改变系统的可观性，例如:如果令
　　则有系统（A，C）可观，而系统（A+KF，C）不可观.
　　1.1.2可控性
　　可控性用来描述控制策略对系统状态的操纵能力.当只关注系统的可控性时，
　　控制观测系统（1.1.1）退化为控制系统
　　（1.1.24）
　　该系统由矩阵A和B完全决定，通常简记为（A，B）.
　　定义1.1.2对任意的，系统（1.1.24）在上的控制映射
　　（1.1.25）
　　定义1.1.3对任意初始状态和终止状态，如果存在时刻以及控制，使得系统（1.1.24）的解满足，则称系统（1.1.24）可控.
　　控制映射可以用来刻画系统的可控性.事实上，如果存在，使得，则对任意的使得
　　（1.1.26）
　　上式等价于
　　（1.1.27）
　　所以系统（1.1.24）可控.容易证明，与无关，即
　　（1.1.28）
　　因此，下面表述是等价的:
　　控制系统（A，B）可控;
　　存在τ>0，使得RanBτ=X;
　　对任意的τ>0，有RanBτ=X.
　　对任意的τ>0，如下矩阵称为控制系统（A，B）的Gram矩阵
　　（1.1.29）
　　直接计算可得，其中是的共轭算子
　　（1.1.30）
　　所以，Wc（τ）是半正定的.
　　定理1.1.6系统（1.1.24）可控的充要条件是:存在τ>0，使得Gram矩阵Wc（τ）正定，或者等价地，存在cτ>0使得
　　（1.1.31）
　　证明由于
　　（1.1.32）
　　因此，Wc（τ）正定当且仅当存在cτ>0使得（1.1.31）成立.
　　充分性:由于Gram矩阵Wc（τ）正定，可令
　　（1.1.33）
　　直接计算可得
　　（1.1.34）
　　所以，系统（1.1.24）可控.
　　必要性:由于系统（1.1.24）是可控的，因此存在t1>0使得假设对任意的矩阵Wc（τ）都不正定，则.特别地，从而存在向量使得，即
　　（1.1.35）

 

目录　
前言　
符号说明　
第1章　有限维系统预备知识　1　
1.1　有限维系统基本概念　1　
1.1.1　可观性　2　
1.1.2　可控性　5　
1.1.3　对偶原理　8　
1.1.4　稳定性和耗散性　11　
1.1.5　传递函数和系统相似　14　
1.2　动态反馈与静态反馈　17　
1.2.1　动态反馈的优越性　17　
1.2.2　基于观测器的输出反馈　20　
1.2.3　静态反馈与动态反馈的等价性　21　
1.3　干扰的补偿与抑制25　
1.3.1　内模原理与干扰补偿　26　
1.3.2　高增益与干扰抑制　30　
1.3.3　滑模控制及其抗扰原理　32　
1.4　线性自抗扰控制　34　
1.4.1　PID控制　34　
1.4.2　线性扩张状态观测器　37　
1.4.3　改进的扩张状态观测器　40　
1.4.4　线性微分器　44　
练习题　51　
第2章　有限维线性系统动态补偿　55　
2.1　执行动态和观测动态补偿　55　
2.1.1　执行动态补偿　55　
2.1.2　观测动态补偿　58　
2.1.3　耦合系统镇定　61　
2.1.4　耦合系统观测　64
2.2　干扰动态的补偿　66　
2.2.1　信号的动态　66　
2.2.2　控制器中的干扰动态补偿　70　
2.2.3　观测器中的干扰动态补偿　76　
2.2.4　输出调节与观测动态补偿　79　
2.3　扩张动态观测器　82　
2.3.1　可估计信号和动态信息的度量　82　
2.3.2　干扰系统可观性　84　
2.3.3　扩张动态观测器及其适定性　88　
2.3.4　动态选择　98　
2.3.5　动态信息利用和反馈线性化　100　
2.3.6　扩张动态微分器　104　
2.4　策略选择与数值仿真　107　
2.4.1　扩张动态微分器的性能分析　108　
2.4.2　扩张动态控制策略优劣分析　110　
2.4.3　控制科学与控制应用　114　
本章小结　117　
练习题　118　
第3章　无穷维线性系统预备知识　120　
3.1　抽象无穷维控制系统　120　
3.1.1　闭算子　120　
3.1.2　Gelfand三嵌入及算子延拓　123　
3.1.3　偏微分方程的抽象表示　125　
3.2　允许观测与允许控制　129　
3.2.1　允许观测　129　
3.2.2　允许控制　131　
3.3　可观性与可控性　134　
3.3.1　可观性　134　
3.3.2　可控性　138　
3.3.3　对偶原理和Hilbert唯一性方法　140　
3.4　稳定性和耗散性　145　
3.4.1　稳定性　145　
3.4.2　耗散性　148　
3.5　能稳性和可检性　152　
3.5.1　适定系统与传递函数　152
3.5.2　正则系统和允许反馈　154　
3.5.3　能稳性和可检性　155　
3.6　系统的相似性与动态反馈举例　156　
3.6.1　线性系统的相似性　157　
3.6.2　系统相似与backstepping方　160　
3.6.3　动态反馈的优越性　165　
3.6.4　基于观测器的动态反馈举例　166　
3.6.5　静态反馈与动态反馈的等价性　168　
3.6.6　动态反馈的多样性　178　
练习题　181　
第4章　无穷维线性系统动态补偿　184　
4.1　执行动态补偿　184　
4.1.1　串联系统的稳定性　184　
4.1.2　算子Sylvester方程　186　
4.1.3　抽象系统执行动态补偿　190　
4.1.4　应用举例　195　
4.2　观测动态补偿　202　
4.2.1　串联观测系统的适定性与可观性　203
4.2.2　抽象系统观测动态补偿　207　
4.2.3　输出调节问题与观测动态补偿　213　
4.2.4　应用举例　216　
4.3　高维不稳定热方程的镇定　221　
4.3.1　问题描述　221　
4.3.2　预备知识　223　
4.3.3　状态反馈设计　227　
4.3.4　观测器设计　233　
4.3.5　数值仿真　239　
本章小结　241　
练习题　242　
第5章　时滞动态补偿　244　
5.1　有限维系统时滞补偿　245　
5.1.1　有限维系统输入时滞补偿　245　
5.1.2　有限维系统输出时滞补偿　248　
5.2　无穷维系统输入时滞补偿　250　
5.2.1　平移半群　250
5.2.2　输入时滞对应的Sylvester方程　253　
5.2.3　输入时滞补偿　256　
5.2.4　应用举例　259　
5.3　无穷维系统输出时滞补偿　263　
5.3.1　输出时滞系统的适定性　263　
5.3.2　输出时滞对应的Sylvester方程　264　
5.3.3　输出时滞补偿　268　
5.3.4　应用举例　273　
5.4　波动方程时滞与动态backstepping变换　275　
5.4.1　不稳定波动方程的动态backstepping变换　275　
5.4.2　动态backstepping方法与时滞补偿　278　
5.4.3　时滞动态和非线性系统　283　
5.4.4　轨道设计与非同位问题　291　
本章小结　294　
练习题　294　
第6章　无穷维系统自抗扰控制　296　
6.1　估计/消除策略与干扰系统可观性　296　
6.1.1　估计/消除策略　296　
6.1.2　干扰估计的精度　297　
6.1.3　干扰系统可观性　302　
6.2　输入干扰及其估计　304　
6.2.1　波动方程的输入干扰估计　304　
6.2.2　高维热方程的输入干扰估计　307　
6.3　输出干扰及其估计　315　
6.3.1　干扰估计器及其应用　316　
6.3.2　分布信号干扰估计器　319　
本章小结　325　
练习题　326　
参考文献　327　
附录A　338
A.1　线性空间与线性算子　338　
A.1.1　Hilbert空间　338　
A.1.2　线性算子　340　
A.1.3　Sobolev空间　342　
A.1.4　取值为Banach空间中元素的函数空间　346
A.2　半群理论　348　
A.2.1　C0-半群的定义和性质　348　
A.2.2　C0-半群的生成　350　
A.3　常用数学工具　351　
A.3.1　常用不等式　351　
A.3.2　Laplace变换　354　
A.3.3　常用定理和公式　355