第1章 绪论
　　本章首先给出了一些中立型泛函微分方程的应用例子;进而简要综述了中立型泛函微分方程数值分析的研究进展;扼要介绍了本书的一些主要工作.
　　1.1 中立型泛函微分方程的应用背景
　　中立型泛函微分方程(Neutral Functional Differential Equations， NFDEs)
　　(1.1.1)
　　常出现于生物学、物理学、控制理论及工程技术等诸多领域.这种方程形式上的特征是右端函数不仅依赖于过去的状态，而且还依赖于过去状态的变化率.而其称为“中立型”的实质原因是线性中立型延迟微分方程特征方程的特征根分布在复平面的一条带形区域中(参见[277]).虽然中立型泛函微分方程比常微分方程
　　(1.1.2)
　　复杂，但延迟的出现实质上简化了一些数学模型.例如，双曲偏微分方程能局部地理解成一个中立型延迟系统[78，129，179].显然，常微分方程(ODEs)、泛函微分方程
　　(1.1.3)
　　是中立型泛函微分方程(1.1.1)的特例.中立型延迟微分方程(Neutral Delay Differential Equations， NDDEs)
　　(1.1.4)
　　和中立型延迟积分微分方程(Neutral Delay Integro-Differential Equations， NDIDEs)
　　(1.1.5)
　　都可视为中立型泛函微分方程(1.1.1)的特殊情形.不仅如此，方程(1.1.1)还包括了
　　(1.1.6)
　　等各种形式的中立型泛函微分方程.
　　早在18世纪， Condorcet 在讨论 Euler 提出的一个古典几何学问题时就导出了泛函微分方程[277].然而，中立型泛函微分方程一直到20世纪60年代才在博弈论、生物学、控制理论及信息系统中广泛出现.这些方程中有的是由问题经过变换以后得到的，有的是由系统的动力学特征直接导出的.中立型泛函微分方程的这些应用可参见文献[77，130，144，178，246，277]及其后的参考文献.下面列举的是一些有代表性的经典例子和*近的应用例子.
　　例1.1.1 Driver 在[54]中对经典电动力学的二体问题给出了下述数学模型(也可参见[246，277]):
　　(1.1.7)
　　例1.1.2在生命个体的活细胞里，控制酶反应的生物机制的一个数学模型
　　为(参见[131，277])
　　(1.1.8)
　　其中x∈ RN， g和G亦由某种递推公式确定.
　　例1.1.3 在黏弹性材料的研究中，出现了如下的中立型泛函微分方程(参见[242]).
　　例1.1.4 单种群增长模型为(参见[139，169])，这里 r(t)， a(t)， b(t)， c(t)，τ(t)是非负连续函数.之后有学者考虑了多种群 Lotka-Volterra 模型(参见[158，167]).
　　例1.1.5 一些电路模型，例如 PEECs (Partial Element Equivalent Circuits)能够表述成中立型延迟微分方程初值问题[15，255].
　　(1.1.9)
　　例1.1.6 (参见[184])容易从3阶常微分方程初值问题
　　(1.1.10)
　　导出如下的中立型积分微分方程
　　(1.1.11)
　　其中
　　例1.1.7 在人口动力系统的研究中，一个描述人口结构的标准双曲偏微分方程模型(也称为 Sharpe-Lotka-Mckendrick Model)经变换后可化为中立型延迟微分方程(参见[22，23]).在 t 时刻关于年龄 a 的人口分布以表示.τ表示一个成熟年龄(例如18岁)，以此区分成年人和青少年.出生率 b(a)和死亡率μ(a)分别由以下两式决定:其中 Hτ是 Heaviside 函数，定义为delta 函数是其形式导数，对这些参数的详细解释请见[22]，则青少年人口数及成年人人口数满足:当时，
　　(1.1.12)
　　及当时，
　　(1.1.13)
　　其中.
　　例1.1.8 在通信网络的研究中，关于无损传输线的数学模型是一个带有边值条件的双曲偏微分方程，经变换后化为(可参见[33])，
　　(1.1.14)
　　其中及 C 分别为电感与电容. Wu 进一步考虑了由同一个电阻器相连的 N 个相互耦合的无损传输线网络(LLTL)，得到了微分方程系统(可参见[242])：
　　这里和 C 是正常数，是光滑映射.
　　例1.1.9 (参见[6])一个无应变的长度为 L 的钻柱的扭转激励满足偏微分方程，这里是波速，其中 G，ρ分别表示剪切模量和质量密度.旋转角满足的边界条件是在作一些变换后可以得到中立型延迟微分方程，其中，这里 y(t)= x′(t)，而 x(t)表示向上运动的扭转扰动.
　　例1.1.7 —例1.1.9的方法，即将一些带有边值条件的偏微分方程转化为中立型延迟微分方程，在激光光学纤维、声呐/雷达测距技术、循环系统动力学等其他领域也有应用，可参考文献[10，127，174，182].
　　1.2 中立型泛函微分方程数值分析研究现状
　　正如1.1节所言，中立型泛函微分方程的出现简化了一些数学模型.尽管如此，要求得中立型泛函微分方程的真解却是十分困难的.在这种情况下，一方面希望通过对中立型泛函微分方程的定性研究以了解其真解的性态;另一方面希望能够求得其比较精确的数值解.在定性方面，虽然*早研究的是(1.1.1)形式的中立型微分方程，但由于其复杂性，20世纪70年代就创建了完整的基本理论的却是如下的中立型泛函微分方程
　　(1.2.1)
　　这里算子， t0和τ>0为常数，方程(1.2.1)称为算子型(或 Hale 型)中立型泛函微分方程，也有学者称其为隐式中立型微分方程(见[163]).注意到(1.1.1)和(1.2.1)并不等价，事实上，(1.2.1)的基本理论更接近于 Volterra (滞后型)泛函微分方程的基本理论.关于中立型泛函微分方程的定性理论，可参见专著[55，77，78，129，144，178，246，277].
　　中立型泛函微分方程数值分析是随着中立型泛函微分方程的出现而发展的.*早的研究需追溯到1964年的文献[280].此后，随着各种求解中立型泛函微分方程数值方法的提出，数值方法稳定性和收敛性作为两个非常重要的问题，也越来越受到人们的普遍关注.
　　1.2.1 中立型泛函微分方程数值方法的稳定性分析
　　基于线性模型方程
　　(1.2.2)
　　这里 A0， A1， A2为复常数矩阵， t0和τ>0为常数，.(t)是光滑的初始函数，许多学者研究了数值方法的稳定性. Brayton 和 Willoughby [24]于1967年分析了θ-方法求解(1.2.2)的稳定性，其中要求 A0， A1， A2为对称实矩阵， I±A2和.A0±A1正定.1984年， Jackiewicz [120]讨论了系数 A0， A1， A2为复标量的方程(1.2.2)的理论解的渐近稳定性，并研究了单步方法的数值稳定性. Bellen、Jackiewicz 和Zennaro [13]于1988年研究了 Runge-Kutta 法用于求解系数 A0， A1， A2为复标量的方程(1.2.2)的数值稳定性，证明了方程(1.2.2)的理论解在条件
　　(1.2.3)
　　下是渐近稳定的，其中ˉa 表示 a 的共轭复数.据此，他们引入了 NP-稳定性的概念.
　　定义1.2.1 一个数值方法称为是 NP-稳定的，如果该数值方法当满足条件(这里 m 是正整数)的步长求解问题(1.2.2)时，其稳定域包含集合
　　(1.2.5)
　　这里.
　　并证明了 A-稳定的单步配置方法求解此标量线性方程时是 NP-稳定的.1994年，匡蛟勋、项家祥和田红炯[136]研究了求解(1.2.2)的θ-方法的数值稳定性.1995年，胡广大和 Mitsui [85]研究了求解(1.2.2)的 Runge-Kutta 法的数值稳定性，并获得了显式 Runge-Kutta 法的绝对稳定域.1996—1997年， Koto [132，133]讨论了Runge-Kutta 法的 NP-稳定性.1999年，仇璘、杨彪和匡蛟勋[176]把 NP-稳定性这一概念推广到 NGP-稳定性，并证明了一个隐式 Runge-Kutta 法是 NGP-稳定的当且仅当其是 A-稳定的.2000年，张诚坚和高健在文献[260]中讨论了多步Runge-Kutta 法求解复标量模型方程(1.2.2)的 NGP(α)-稳定性.2001年，田红炯、匡蛟勋和仇璘在[192]中证明了一个线性多步方法是 NGP-稳定的当且仅当其是 A-稳定的.同年，仇璘和 Mitsui [177]考虑了 Radau IA 和 Lobatto IIIC 方法的 NGP-稳定性，黄乘明[102]讨论了一般线性方法求解多延迟中立型微分方程的

目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 中立型泛函微分方程的应用背景 1
1.2 中立型泛函微分方程数值分析研究现状 5
1.2.1 中立型泛函微分方程数值方法的稳定性分析 6
1.2.2 中立型泛函微分方程数值方法的收敛性分析 10
1.2.3 中立型泛函微分方程数值方法的耗散性分析 11
1.3 本书的主要内容 12
第2章 Banach空间中立型泛函微分方程试验问题类及其性质 14
2.1 引言 14
2.2 解的存在唯一性及其光滑性 14
2.3 试验问题类及其稳定性 16
2.3.1 试验问题类 16
2.3.2 试验问题类的稳定性 21
2.3.3 试验问题类的渐近稳定性 39
2.3.4 试验问题类的指数渐近稳定性 44
2.4 应用于中立型延迟微分方程及中立型延迟积分微分方程 50
2.4.1 应用于中立型延迟微分方程 50
2.4.2 应用于中立型延迟积分微分方程 53
2.5 试验问题类及其稳定性 56
2.5.1 试验问题类及其稳定性 57
2.5.2 应用及与已知结果的比较 61
第3章 Banach空间泛函微分方程数值方法的稳定性及收敛性 68
3.1 引言 68
3.2 隐式Euler法的保稳定性 69
3.2.1 解析解的稳定性 70
3.2.2 隐式Euler法求解非线性VFDEs的稳定性 72
3.2.3 隐式Euler法求解非线性NFDEs的稳定性 77
3.2.4 总结和进一步的研究 87
3.3 线性θ-方法的非线性稳定性 87
3.3.1 试验问题类 88
3.3.2 理论解的稳定性 89
3.3.3 线性θ-方法稳定性分析 90
3.4 一类多步方法的非线性稳定性 95
3.4.1 试验问题类 96
3.4.2 变系数线性多步方法 100
3.4.3 一类多步方法稳定性分析 101
3.4.4 例子和数值算例 109
3.5 显式及对角隐式Runge-Kutta法的非线性稳定性 113
3.5.1 显式及对角隐式Runge-Kutta法 113
3.5.2 关于的稳定性 116
3.5.3 关于的稳定性 122
3.5.4 例子和数值算例 125
3.6 一类线性多步方法的收敛性 130
3.6.1 试验问题类 130
3.6.2 系数依赖于步长的多步方法 131
3.6.3 收敛性分析 I 133
3.6.4 收敛性分析 II 137
3.6.5 数值算例 139
第4章 中立型延迟微分方程数值方法的稳定性和收敛性 141
4.1 引言 141
4.2 中立型延迟微分方程单支方法的非线性稳定性 141
4.2.1 问题类 142
4.2.2 单支方法求解非线性中立型延迟微分方程 143
4.2.3 稳定性分析 145
4.2.4 数值算例 148
4.3 中立型延迟微分方程 Runge-Kutta法的非线性稳定性 150
4.3.1 Runge-Kutta法求解中立型延迟微分方程 150
4.3.2 稳定性分析 152
4.3.3 数值算例 156
4.4 中立型延迟微分方程一般线性方法的非线性稳定性 158
4.4.1 求解NDDEs的一般线性方法 158
4.4.2 主要结果及其证明 161
4.4.3 一般线性方法举例 166
4.4.4 数值算例 167
4.5 中立型延迟微分方程单支方法的收敛性 169
4.5.1 单支方法 169
4.5.2 收敛性分析 I 170
4.5.3 收敛性分析 II 178
4.5.4 数值算例 183
4.6 中立型延迟微分方程波形松弛方法的收敛性 187
4.6.1 求解中立型延迟微分方程的波形松弛方法 187
4.6.2 解的存在唯一性 190
4.6.3 连续时间波形松弛方法的收敛性 192
4.6.4 扰动波形松弛迭代的收敛性 196
4.6.5 离散时间波形松弛过程的收敛性 198
4.6.6 数值算例 203
第5章 中立型延迟积分微分方程数值方法的稳定性和收敛性 208
5.1 引言 208
5.2 中立型延迟积分微分方程理论解的稳定性 210
5.3 单支方法的非线性稳定性 212
5.3.1 单支方法及数值求积公式 212
5.3.2 稳定性分析 213
5.3.3 解非线性方程组迭代法的收敛性 218
5.3.4 数值算例 221
5.4 Runge-Kutta法的非线性稳定性 223
5.4.1 Runge-Kutta法及数值求积公式 223
5.4.2 稳定性分析 224
5.4.3 解非线性方程组迭代法的收敛性 234
5.4.4 应用举例 236
5.4.5 数值算例 240
5.5 单支方法的收敛性 240
5.5.1 收敛性分析 I 240
5.5.2 收敛性分析 II 250
5.5.3 数值算例 250
5.6 Runge-Kutta法的收敛性 252
5.6.1 主要结果及其证明 253
5.6.2 数值算例 267
第6章 中立型比例延迟微分方程数值方法的稳定性和误差估计 269
6.1 引言 269
6.2 中立型比例延迟微分方程理论解的稳定性 271
6.3 单支θ-方法求解中立型比例延迟微分方程 274
6.3.1 拟几何网格 275
6.3.2 起始步积分 275
6.3.3 稳定性分析 282
6.3.4 数值算例 285
6.4 线性θ-方法求解中立型比例延迟微分方程 288
6.4.1 起始步积分 289
6.4.2 变换方法[TRA] 295
6.4.3 全几何网格离散[FGMD] 299
6.4.4 数值算例 304
6.5 全几何网格单支方法求解中立型比例延迟微分方程 309
6.5.1 全几何网格单支方法 309
6.5.2 逼近Lyapunov泛函和线性稳定性 315
6.5.3 非线性稳定性和渐近收缩性 324
6.5.4 数值算例 330
6.6 具有消失延迟中立型微分方程全几何网格单支方法的 *优收敛阶 333
6.6.1 求解消失延迟中立型方程的全几何网格单支方法 334
6.6.2 一些假设 335
6.6.3 起始步积分的误差估计 335
6.6.4 误差估计 340
6.6.5 数值算例 347
第7章 中立型延迟微分方程数值方法的耗散性 353
7.1 引言 353
7.2 中立型分片延迟微分方程Runge-Kutta法的耗散性 355
7.2.1 中立型分片延迟微分方程 355
7.2.2 系统的耗散性 355
7.2.3 Runge-Kutta法的耗散性 358
7.2.4 应用举例 363
7.3 非线性中立型延迟微分方程Runge-Kutta法的耗散性 364
7.3.1 系统的耗散性 364
7.3.2 Runge-Kutta法 369
7.3.3 数值方法的保耗散性 370
7.3.4 数值算例 376
第8章 中立型泛函微分方程数值方法的B-理论 382
8.1 引言 382
8.2 Runge-Kutta法的B-理论 383
8.2.1 Runge-Kutta法 383
8.2.2 B-稳定性 384
8.2.3 B-相容性和B-收敛性 397
8.3 一般线性方法的B-理论 403
8.3.1 一般线性方法 403
8.3.2 B-稳定性 405
8.3.3 B-相容性和B-收敛性 418
参考文献 427