第1章多面体有向体积公式
　　1.1多面体体积的概念与性质
　　从几何上来看，两点间的距离是一维图形长短的度量，多面体的体积是三维图形大小的度量，那么这两类度量之间有什么联系呢？本节主要阐述多面体和多面体体积的基本知识，为多面体有向体积的研究奠定基础.首先，介绍多面体的基本概念;其次，介绍多面体体积的基本概念，并通过长方体体积的定义，推出平行六面体、三棱柱和四面体的体积公式，从而给出一道数学竞赛题相关问题的解答;*后，介绍四面体体积的行列式计算公式，从而阐述四面体体积的基本性质.
　　1.1.1多面体的基本概念
　　多面体有三个相关的定义：在传统意义上，它是一个三维的多胞形;而在更新的意义上，它是任何维度的多胞形的有界或无界的推广;将后者进一步一般化，就得到拓扑多面体.本书只讨论三维多胞形意义上的多面体.
　　定义1.1.1由四个或四个以上多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.
　　立方体、棱锥和棱柱都是多面体的例子.多面体包住三维空间的一块有界体积;有时其内部也视为多面体的一部分.一个多面体是多边形的三维对应.
　　正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.例如，正四面体(即正三棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.
　　多面体可以有无数，但正多面体的种数很少.正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种.其中面数*少的是正四面体，面数*多的是正二十面体.有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体.正多面体点、线、面数之间的关系如下：
　　定义1.1.2以多面体某面(某对角面)为一面、空间任意一点为一个顶点的多面体，称为多面体的面多面体(对角面多面体).
　　为方便起见，当任意点在多面体某面(某对角面)上时，我们把任意点与这个面(对角面)所组成的平面图形(即多边形或多角形)，看成是多面体的面多面体(对角面多面体)的特殊情形.
　　显然，过空间一点P，可以作四面体的四个面四面体，即;过空间一点P，也可以作n棱锥的n个面四面体和一个面n棱锥体，即和.
　　1.1.2多面体体积的基本概念与公式
　　要确定三维图形——多面体的大小，可以从纵、横、竖三个维度来度量，这样就把多面体体积度量的问题转化成三个一维度量，即距离度量的问题;而由纵、横、竖三个维度的对称性，就可以将多面体体体积定义为三个一维度量，即距离度量的乘积.可见，不同的距离度量，会产生不同的体积度量.一般地，多面体体积的定义如下.
　　定义1.1.3多面体的体积是指满足不变性和可加性两个条件的正实值函数，即这样的函数应满足下列两条件：
　　(i)合同的多面体具有相同的体积;
　　(ii)如果一个多面体是由两个(或若干个)多面体组成的，则它的体积等于组成它的多面体的体积之和.
　　显然，即使对同一度量的距离，满足以上条件的体积的度量也不是唯一的.因此，我们约定，本书所讨论的体积，都是指多面体在纵、横、竖三个维度上的欧氏距离度量的乘积，即通常意义下的体积.
　　一般地，我们规定单位长度的正方体，即长、宽、高三个维度的度量都是一个单位长度的正方体的体积为一个体积单位.于是，由于长方体在长、宽、高三个维度的度量处处都是一样的，因此可以把长方体的体积定义为长、宽、高的乘积.特别地，正方体的体积就是边长的立方.
　　定义1.1.4设是长方体，则其体积定义为长、宽、高的乘积，记为，即.(1.1.1)
　　特别地，当时，即得正方体的体积等于边长的立方，即.
　　定理1.1.1平行六面体的体积等于底面积与高的乘积，即
　　证明如图1.1.1和图1.1.2所示.不妨设均为锐角.首先，过底边作一垂直于底面的平面，分别与上底棱相交于，并从平行六面体上截下一个倒置的锲形体，同时将锲形体平移至平行六面体的对侧，使Q3与Q2，Q4与Q1重合，从而得到一个体积与平行六面体体积相等且两对面均与底面垂直的平行六面体.
　　其次，过侧棱作一垂直于侧面的平面，分别与上底棱Q′3Q′4和下底棱P3P4相交于R3和P′3，并从平行六面体上截下一个竖置的锲形体，同时将锲形体P2R2-R′3P3Q′3R3平移至平行六面体的对侧，使P2与P1重合，P3与P4重合，从而得到一个体积与体积相等的长方体.于是由定义1.1.1，可得
　　因为
　　所以式(1.1.2)成立.
　　推论1.1.1三棱柱体的体积等于底面积乘高，即
　　证明因为平行六面体的对角面将其分成两个体积相等的三棱体柱和，故由平行六面体的体积公式，可得
　　因为
　　所以式(1.1.3)成立.
　　定理1.1.2(四面体体积公式：点-面距离表达式)四面体P1P2P3P4的体积等于一面的面积与这面上高的乘积的三分之一，即
　　证明如图1.1.3所示.因为三棱柱的对角面;将其分成六个体积相等四面体;即
　　又因为
　　所以
　　将上式中的四面体，换成相应的四面体，即得式(1.1.4).
　　注1.1.1当共面时，规定，式(1.1.4)亦成立.
　　因此，我们把共面的四点，所构成的平面图形(四边形或四角形)，看成是四面体的特殊情形.
　　推论1.1.2(n棱锥体积：点-面距离表达式)n棱锥的体积等于底面积与高的乘积的三分之一，即
　　证明当为凸棱锥时，的对角面，将其分成n-2个四面体，故由定义1.1.3和定理1.1.2，并注意到
　　可得
　　因此，式(1.1.4)成立.
　　当为凹棱锥时，先将分割成若干个凸棱锥，再利用定义1.1.3和定理1.1.2以及上述结论，亦可以证明式(1.1.4)成立.
　　例1.1.1如图1.1.4所示.ABCD-A′B′C′D′是一个六面封闭的长方体水箱.已知，因使用过久，在棱AA′，DD′，AB上各有一个小孔.图中P，Q，R是小孔的位置，已经测dAR=3m，dAP=2m，dDQ=1m(1)求三角形PQR的面积;(2)(1957年北京市数学竞赛题)问这水箱*多还能盛多少水(水箱不必平放).
　　解分别以C′B′，C′D′所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，并设三角形PQR所在平面与棱CD的交点为S.于是ABCD-A′B′C′D′上底面顶点和小孔的坐标分别为A(4，5，7)，B(4，0，7)，C(0，0，7)，D(0，5，7);P(4，5，5)，Q(0，5，6)，R(4，2，7)，三角形PQR的投影法向量
　　于是三角形PQR所在平面的方程为[6]πPQR:1.5(x-4)+4(y-5)+6(z-5)=0，即1.5x+4y+6z.56=0.分别将x=0，z=7;y=5，z=7，代入该平面的方程，求得y=3.5;x=-4.故三角形PQR所在平面与棱线CD和AD的交点分别为S(0，3.5，7)和T(-4，5，7)

目录　
第1章　多面体有向体积公式　1　
1.1　多面体体积的概念与性质　1　
1.1.1　多面体的基本概念　1　
1.1.2　多面体体积的基本概念与公式　2　
1.1.3　四面体体积公式与性质　7　
1.2　多面体有向体积的基本概念与性质　11　
1.2.1　四面体有向体积的概念与公式　11　
1.2.2　四面体有向体积的基本性质　13　
1.2.3　同向(反向)四面体的概念与性质　16　
1.2.4　n棱锥有向体积的概念与公式　18　
1.3　四面体有向体积公式的几个简单应用　19　
1.3.1　四面体有向体积公式在几何定理证明中的应用　19　
1.3.2　四面体体积公式在多面共线证明中的应用　22　
1.3.3　四面体有向体积公式在定值定理证明中的应用　25　
第2章　空间三角形和四面体重心线的有向度量定理与应用　29　
2.1　空间诸点共面和两线共面共点的条件与应用　29　
2.1.1　空间n(n≥4)点共面的充要条件　29　
2.1.2　四面体有向体积公式在四点(两线)共面证明中的应用　30　
2.1.3　四面体有向体积公式与两线共点的充要条件　31　
2.2　空间三角形重心线的有向度量定理与应用　37　
2.2.1　空间三角形重心线的基本概念　37　
2.2.2　空间点及其坐标面上投影点坐标之间的关系定理　38　
2.2.3　空间三角形重心线的共点定理及其应用　40　
2.2.4　空间三角形顶点到重心线包络面的有向距离公式及其应用　41　
2.3　四面体点-面重心线的共面共点定理与应用　44　
2.3.1　四面体点-面重心线的基本概念　44　
2.3.2　四面体点-面重心线的共面定理及其应用　44　
2.3.3　四面体点-面重心线的共点定理及其应用　46　
2.4　四面体顶点到点-面重心线包络面有向距离公式与应用　48
2.4.1　四面体点-面重心线包络面的概念与方程　49　
2.4.2　四面体顶点到点-面重心线包络面的有向距离公式　49　
2.4.3　四面体顶点到点-面重心线包络面有向距离公式的应用　52　
2.5　四面体顶点到点-面重心线面的有向距离公式与应用　53　
2.5.1　四面体点-面重心线面的概念　54　
2.5.2　四面体顶点到点-面重心线面的有向距离公式　54　
2.5.3　四面体顶点到点-面重心线面有向距离公式的应用　57　
第3章　空间四边形和四面体中位线的有向度量定理与应用　61　
3.1　空间四边形、四面体中位线的共面共点定理与应用　61　
3.1.1　空间四边形、四面体中位线的概念　61　
3.1.2　空间四边形和四面体中位线的共面定理　62　
3.1.3　空面四边形和四面体中位线的共点定理　63　
3.2　空间四边形和四面体顶点到中位线包络面的有向距离公式与应用　65　
3.2.1　空间四边形、四面体中位线包络面的概念与方程　65　
3.2.2　空间四边形顶点到中位线包络面的有向距离公式及其应用　66　
3.2.3　四面体中位线包络面的有向距离公式及其应用　69　
3.3　空间四边形和四面体中位线包络面的分割定理与应用　72　
3.3.1　四面体中位线包络面分割线四面体的概念　72　
3.3.2　空间四边形中位线包络面的分割定理及其应用　72　
3.3.3　四面体中位线包络面的分割定理及其应用　74　
3.3.4　四面体中位线包络面分割线四面体有向体积公式及其应用　79　
3.4　空间四边形和四面体顶点到中位线面的有向距离公式与应用　83　
3.4.1　空间四边形、四面体中位线面的基本概念　83　
3.4.2　空间四边形顶点到中位线面的有向距离公式及其应用　84　
3.4.3　四面体顶点到中位线面的有向距离公式及其应用　87　
3.5　四面体顶点到中位线重心线面的有向距离公式与应用　91　
3.5.1　四面体中位线重心线面的概念　91　
3.5.2　四面体顶点到中位线重心线面的有向距离公式　92　
3.5.3　四面体顶点到中位线重心线面有向距离公式的应用　98　
第4章　三角形六面体重心线的有向度量定理与应用　105　
4.1　三角形六面体重心线的共面共点定理与应用　105　
4.1.1　三角形六面体重心线的概念　105　
4.1.2　三角形六面体重心线的共面定理及其应用　105　
4.1.3　三角形六面体重心线的共点定理及其应用　108　
4.2　三角形六面体顶点到重心线包络面的有向距离与应用　110
4.2.1　三角形六面体重心线包络面的概念与方程　110　
4.2.2　三角形六面体顶点到重心线包络面有向距离的关系定理　111　
4.2.3　三角形六面体顶点在重心线包络面上的充分必要条件及其应用　114　
4.3　三角形六面体顶点到单侧重心线面的有向距离与应用　116　
4.3.1　三角形六面体单侧重心线面的概念　116　
4.3.2　三角形六面体顶点到单侧重心线面的有向距离公式　116　
4.3.3　三角形六面体顶点到单侧重心线面有向距离公式的应用　121　
4.4　三角形六面体顶点到双侧重心线面的有向距离与应用　130　
4.4.1　三角形六面体双侧重心线面的概念　130　
4.4.2　三角形六面体顶点到双侧重心线面的有向距离公式　131　
4.4.3　三角形六面体顶点到双侧重心线面有向距离公式的应用　136　
第5章　三角形八面体重心线的有向度量定理与应用　147　
5.1　三角形八面体重心线的共面共点定理与应用　147　
5.1.1　三角形八面体重心线的概念　147　
5.1.2　三角形八面体重心线的共面定理及其应用　147　
5.1.3　三角形八面体重心线的共点定理及其应用　150　
5.2　三角形八面体顶点到重心线包络面的有向距离与应用　152　
5.2.1　三角形八面体重心线包络面的概念与方程　152　
5.2.2　三角形八面体顶点到重心线包络面有向距离的关系定理及其应用　153　
5.2.3　三角形八面体顶点在重心线包络面上的充分必要条件及其应用　156　
5.3　三角形八面体顶点到对面重心线面的有向距离与应用　166　
5.3.1　三角形八面体对面重心线面的概念　166　
5.3.2　三角形八面体顶点到对面重心线面的有向距离公式　166　
5.3.3　三角形八面体顶点到对面重心线面有向距离公式的应用　171　
5.4　三角形八面体顶点到邻面重心线面的有向距离与应用　180　
5.4.1　三角形八面体邻面重心线面的概念　180　
5.4.2　三角形八面体顶点到邻面重心线面的有向距离公式　181　
5.4.3　三角形八面体顶点到邻面重心线面有向距离公式的应用　188　
第6章　四边形六面体重心线的有向度量定理与应用　196　
6.1　四边形六面体重心线的共面共点定理与应用　196　
6.1.1　四边形六面体重心线的概念　196　
6.1.2　四边形六面体重心线的共面定理及其应用　196　
6.1.3　四边形六面体重心线的共点定理及其应用　198　
6.2　四边形六面体顶点到重心线包络面的有向距离与应用　200　
6.2.1　四边形六面体重心线包络面的概念与方程　200
6.2.2　四边形六面体顶点到重心线包络面有向距离的关系定理　201　
6.2.3　四边形六面体顶点到重心线包络面有向距离关系定理的应用　203　
6.3　四边形六面体顶点到重心线面的有向距离与应用　219　
6.3.1　四边形六面体重心线面的概念　219　
6.3.2　四边形六面体顶点到重心线面有向距离公式及其应用　220　
6.3.3　四边形六面体顶点到重心线面有向距离的关系定理及其应用　225　
第7章　拟三棱台体重心线的有向度量定理与应用　232　
7.1　拟三棱台体重心线的共面共点定理与应用　232　
7.1.1　拟三棱台体重心线的基本概念　232　
7.1.2　拟三棱台体重心线的共面定理及其应用　233　
7.1.3　拟三棱台体重心线的共点定理及其应用　234　
7.2　拟三棱台体顶点到重心线包络面的有向距离与应用　237　
7.2.1　拟三棱台体重心线包络面的概念与方程　237　
7.2.2　拟三棱台体顶点到重心线包络面有向距离的关系定理　238　
7.2.3　拟三棱台体顶点到重心线包络面有向距离关系定理的应用　240　
7.3　拟三棱台体顶点到单侧面重心线面的有向距离与应用　247　
7.3.1　拟三棱台体单侧面重心线面的概念　247　
7.3.2　拟三棱台体顶点到单侧面重心线面的有向距离公式　248　
7.3.3　拟三棱台体单侧面重心线面有向距离公式的应用　252　
7.4　拟三棱台体顶点到双侧面重心线面的有向距离与应用　259　
7.4.1　拟三棱台体双侧面重心线面的基本概念　260　
7.4.2　拟三棱台体双侧面重心线面有向距离公式　260　
7.4.3　拟三棱台体双侧面重心线面有向距离公式的应用　263　
第8章　四棱锥重心线的有向度量定理与应用　266　
8.1　四棱锥重心线的共面共点定理与应用　266　
8.1.1　四棱锥重心线的概念　266　
8.1.2　四棱锥重心线的共面定理及其应用　266　
8.1.3　四棱锥重心线的共点定理及其应用　268　
8.2　四棱锥重心线包络面有向距离的关系定理与应用　270　
8.2.1　四棱锥重心线包络面的概念与方程　270　
8.2.2　四棱锥顶点到重心线包络面有向距离的关系定理　271　
8.2.3　四棱锥顶点到重心线包络面有向距离关系定理的应用　273　
8.3　四棱锥单侧面重心线面有向距离公式与应用　275　
8.3.1　四棱锥单侧面重心线面的概念　276　
8.3.2　四棱锥顶点到单侧面重心线面有向距离公式　276
8.3.3　四棱锥顶点到单侧面重心线面有向距离公式的应用　280　
8.4　四棱锥双侧面重心线面有向距离公式与应用　286　
8.4.1　四棱锥双侧面重心线面的概念　287　
8.4.2　四棱锥顶点到双侧面重心线面的有向距离公式　287　
8.4.3　四棱锥顶点到侧面重心线面有向距离公式的应用　292　
参考文献　301　
名词索引　304