第1章质点的运动及其波动传递
　　质点是对物体的一种理想简化模型，在中学阶段物理学的学习过程中，绝大部分物体的运动规律和定律皆是基于质点假设进行讲解。事实上，在物体运动性质的研究中，很多情况下可以将物体视为单个质点或很多个质点的系统组合来进行分析，这样所分析得出的结果相对科学准确而且分析过程简单得多。本章从质点刚体运动与相互作用知识出发，结合质点的简谐振动等中学阶段所学习的基础知识，分析物体运动过程中力与运动相关定理及其遵循的守恒定律；阐述质点简谐运动与简谐运动传播即简谐波的性质，在此基础上讨论波动方程的求解方法及其物理内涵。
　　1.1质点的运动与守恒定律
　　牛顿运动定律是物体运动的基本规律，也是研究经典力学甚至物理学的核心基础。牛顿运动定律包括牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律，因此常称为牛顿三大定律。在1687年于《自然哲学的数学原理》一书中：牛顿第一定律表述为“每个物体都保持其静止，或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它而迫使它改变原有的状态”，牛顿第二定律表述为“运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向”，牛顿第三定律表述为“每一种作用都有一个相等的反作用；或者，两个物体间的相互作用总是相等的，而且指向相反”。这三大定律相互独立且逻辑自洽，与其推论一起奠定了经典力学中力与运动的理论基础。
　　1.1.1质点的平动与相互作用
　　物质的运动包括机械运动、物理运动等多类，本书所针对的运动特指物体的机械运动，如平动、转动、振动等。事实上，在中学阶段的学习中，经常将物体理想化地简化为质点或质点组合，即将物体或物体的某一部分简化为有质量却不考虑体积和形状大小的理想点，从而简化一些常规物体运动与相互作用等问题的分析过程。
　　在中学阶段我们就学过一些质点的运动与相互作用问题，最简单的一种情况如图1.1所示，一个完好的乒乓球从高为h的空中从静止状态自由落下，落在刚性地板瞬间会垂直向上反弹。设乒乓球放置的高度有限，空气对乒乓球的阻力和乒乓球与地板撞击瞬间能量损失可以忽略不计。
　　在乒乓球撞击地板过程中，由于受到反作用力其速度会逐渐减小，直至静止从而反弹；同样，从静止反弹到完全脱离地板期间由于受到持续弹性作用力的加速，其速度逐渐增大。我们通过机械能守恒定律可以求解出乒乓球与地板接触瞬间的速度和反弹完成后的速度皆为
　　（1.1）
　　图1.1乒乓球落地反弹
　　机械能守恒定律的内容是：当封闭体系无外部作用力做功且与外部无热量交换、系统内能无变化，只有重力或弹性力做功时，即该封闭系统内只有动能和势能发生相互转化，此时机械能的总能量保持不变。
　　以上是一个刚性球与刚壁之间的相互作用问题，未知量少，因此只需要利用机械能守恒定律即可给出答案；对于更加复杂一点的问题，仅用该守恒定律是不够的。以两个完全相同的球共轴对撞为例，如图1.2所示，在光滑水平面上一个弹性球以速度v向右水平匀速运动，在t=0时刻该球正撞击到同轴且完全相同的球，在t=t1时刻两球分别达到稳定的速度v1和v2。
　　根据机械能守恒定律可以得到
　　（1.2）
　　（1.3）
　　该问题涉及两个速度变量时，仅靠机械能守恒方程已不够；这里势必用到动量守恒定律。在不考虑物体的旋转时，动量守恒定律与动能守恒定律是力与运动过程中的两个基本守恒定律。动量守恒定律起初是牛顿第二定律和牛顿第三定律的推论，但后来发现它的适用范围远远广于牛顿定律，是比牛顿定律更基础的物理规律，是运动时空性质的反映。该定律可以描述为：对于一个封闭或孤立的系统而言，若外力和为零，则系统的动量保持不变。因此，可以得到
　　（1.4）
　　（1.5）
　　联立式（1.2）和式（1.4），考虑到撞击后必有v1不大于v2，即可给出其速度解：
　　（1.6）
　　即速度交换。著名的“牛顿摆”试验非常直观地呈现了这一现象。
　　容易计算出，当一个长度为L以速度v匀速水平运动的短圆柱杆共轴正撞击另一个相同材料相同直径且长度为L的静止圆柱杆，此时也会出现速度交换现象。同理，当被撞击的静止圆柱杆长度为2L时，撞击后两杆的速度可以通过以上两个守恒方程推导出，分别为
　　（1.7）
　　式（1.7）的物理意义是：此时质量轻的入射短杆会反弹，被撞击杆会向前运动，其速度如式（1.7）所示。
　　当一个球与两个完全相同的静止球进行碰撞时，如图1.3所示。设小球质量均为m，入射速度为v，撞击后第1个小球速度为v1、第2个小球速度为v2、第3个小球速度为v3。
　　根据机械能守恒定律，可以得到
　　（1.8）
　　根据动量守恒定律，可以得到
　　（1.9）
　　此时撞击后未知数有三个，而只有机械能守恒方程和动量守恒方程两个方程理论上很难解出该方程组，而从牛顿摆试验可以看出，此时球2静止不动，球1与球3实现速度交换。
　　1.1.2质点的简谐振动与相互作用
　　以上刚性球对撞实例是简单的质点平动及其相互作用问题，对于振动问题则稍微复杂些。物体在一定位置附近所做的来回往复的运动称为机械运动或机械振动；振动是自然界中最常见的一种物质运动形式；广义地讲，任何一个物理量在某个定值附近反复变化而具有时间、空间上周期性的运动，都可称为振动。机械振动按照系统参数特征可以分为线性振动与非线性振动，按照振动位移可以分为角振动与线振动，按自由度分为单自由度系统振动与多自由度系统振动，按产生振动原因分为自由振动、受迫振动、自激振动与参变振动，按振动规律分为简谐振动、非简谐振动与随机振动。其中，简谐运动是最基本的也最简单的机械振动，是自然界中一种常见的运动，如钟摆的左右摆动、水中浮标的上下运动、射箭后弓弦的往返振动等，其最主要的特征是物体所受的力跟位移成正比且总是指向平衡位置。简谐运动在高中物理中已经初步介绍，除了涉及微分方程的求解属于大学内容，在问题求解过程中所使用的基本物理定律并没有本质不同。
　　首先，以弹簧振子的简谐运动为例，如图1.4所示，设左端与固壁连接、右端与金属球固连，在t=0时刻给原本静止的金属球赋予一个初速度V，容易知道，金属球会向右运动，设整个运动过程中弹簧皆处于线弹性范围内，此时金属球受到的弹簧作用力为
　　（1.10）
　　式中，x表示偏离平衡点的距离；k表示弹簧的弹性系数；负号表示弹簧对金属球的作用力总是与其偏移平衡点的方向相反，作用力总是指向平衡点。
　　第一阶段，金属球向右运动呈减速趋势，其加速度为
　　（1.11）
　　式中，m表示金属球的质量。在运动过程中，金属球的动能逐渐转换为弹簧的弹性势能，设弹簧到达距离平衡点为A处停止，此时金属球的动能为0但弹簧的弹性势能达到最大值，弹簧所做的功全部转化为其弹性势能。任意位置x处（0<x<A）金属球的受力见式（1.10），则从平衡点到距离为A处弹簧对金属球所做的功为
　　（1.12）
　　若弹簧的质量远小于金属球的质量，可以忽略运动过程中和初始条件中弹簧的动能，根据机械能守恒条件，弹簧的弹性势能等于金属球的初始动能：
　　（1.13）
　　（1.14）
　　第二阶段，金属球从最右端的静止状态逐渐向左加速运动，到达平衡点时其速度最大且为V，只不过其方向向左。之后进入第三阶段，金属球向左减速运动，根据能量守恒条件，容易知道，金属球到达左端距离平衡点A处停止。第四阶段，金属球从最左端向右加速运动，到达平衡点处速度为V，方向向右。之后又开始从第一阶段到第四阶段往返重复运动，即简谐运动。
　　在任意一个循环过程四个阶段内，金属球的运动状态与弹簧的弹性势能皆不断变化，但始终满足牛顿第二定律：
　　（1.15）
　　（1.16）
　　式（1.16）即为弹簧振子简谐振动的控制方程，事实上对于简谐运动而言，以上形式的控制方程皆成立。以单摆运动为例，如图1.5所示，一个刚性轻质细绳悬挂一个大密度质量球块，最初状态下系统是竖直且稳定静止的，质量球块的质量为m，远大于细绳的质量，因此不考虑后者质量的影响；刚性细绳的长度为l，远大于球块的直径，因此不考虑后者直径的影响。
　　设在t=0瞬间给质量球施加一个向右的速度V，小球势必向右做圆周运动。不考虑运动过程中系统的摩擦阻力和空气阻力，质量球受力情况如图1.6所示；在夹角为θ处，质量球受到的力为细绳拉力与质量球重力的合力，其方向垂直于细绳。容易看出，质量球的受力与其运动方向相反，所以其在减速运动，直至停止。
　　根据机械能守恒条件，可知：
　　（1.17）
　　即当细绳与竖直方向的夹角达到θmax时，小球静止。
　　

目录　
前言　
第1章　质点的运动及其波动传递　1　
1.1　质点的运动与守恒定律　1　
1.1.1　质点的平动与相互作用　1　
1.1.2　质点的简谐振动与相互作用　4　
1.1.3　质点运动的三大守恒定律　10　
1.2　质点简谐运动的传递与简谐波　13　
1.2.1　质点简谐运动能量特性　13　
1.2.2　简谐波及其波函数　14　
1.2.3　质点运动与波动的联系与区别　19　
1.3　波动方程的求解与内涵　19　
1.3.1　一维波动方程　19　
1.3.2　Fourier级数、积分及变换　20　
1.3.3　一维波动方程的解　29　
第2章　连续介质运动与变形　34　
2.1　连续介质应力状态与应力平衡方程　34　
2.1.1　微元的主应力与*大剪切应力　35　
2.1.2　应力张量分解与微元的应力平衡方程　39　
2.1.3　柱坐标与球坐标下的平衡微分方程　41　
2.2　连续介质的小变形与应变协调方程　47　
2.2.1　三维空间中微元的变形与位移　47　
2.2.2　柱坐标系中连续介质小变形　51　
2.2.3　球坐标系中连续介质小变形　53　
2.3　弹性固体材料与广义Hooke定律　58　
2.3.1　材料的准静态拉伸与压缩试验　58　
2.3.2　三维空间广义的Hooke定律　64　
2.3.3　弹性体应变与弹性系数　67　
第3章　连续介质运动方程与典型简单应力波波速　71　
3.1　无限线弹性连续介质中典型简单波的传播　73　
3.1.1　连续介质守恒定律的内涵及其数学描述　　74　
3.1.2　无限线弹性连续介质中体波的传播及其内涵　78　
3.1.3　无旋波与等容波的传播　84　
3.2　连续介质的一维运动方程与波动方程　93
3.2.1　一维应变状态下线弹性介质中运动方程与纵波声速　94　
3.2.2　一维应力状态下线弹性介质中运动方程与纵波声速　96　
3.2.3　一维线弹性介质中扭转扰动与扭转（剪切）声速　102　
3.3　连续介质运动经典坐标构架与波速描述　108　
3.3.1　Lagrange坐标系　108　
3.3.2　Euler坐标系　110　
3.3.3　Lagrange坐标与Euler坐标的转换　113　
3.3.4　物质波速与空间波速　116　
第4章　一维线弹性杆中波阵面守恒条件与特征线　120　
4.1　一维应力波传播的特征线与Riemann不变量　120　
4.1.1　一维波动方程初值问题的特征线解　120　
4.1.2　一般特征线与Riemann不变量　128　
4.1.3　一维杆中的简单波特征线解　138　
4.2　一维线弹性波波阵面上守恒条件　142　
4.2.1　波阵面上的连续方程　143　
4.2.2　波阵面上的运动方程　148　
4.2.3　波阵面上的能量方程　157　
4.3　简单波传播的特征线图解法　161　
4.3.1　一维杆中应力波传播的物理平面图　161　
4.3.2　一维杆中应力波传播的状态平面图　163　
4.3.3　一维非线弹性杆中应力波传播的物理平面图　167　
第5章　一维线弹性波在交界面上的透反射　171　
5.1　一维线弹性波在两种材料交界面上的透反射问题　171　
5.1.1　弹性波在交界面上透反射与波阻抗　175　
5.1.2　交界面两侧介质波阻抗比不匹配时透反射问题　179　
5.1.3　多层线弹性介质中应力波的传播问题　183　
5.2　一维线弹性杆中脉冲波传播的透反射　189　
5.2.1　有限长杆中不同波长矩形脉冲的传播与演化　189　
5.2.2　一维强弹性波在自由面反射特征与层裂行为　198　
5.2.3　两层介质中一维线弹性矩形脉冲的传播　205　
5.3　一维矩形波在三层线弹性材料中的传播与演化　211　
5.3.1　夹心结构中矩形脉冲的传播——杆1和杆3介质相同　211　
5.3.2　波阻抗递增结构中矩形脉冲的传播　219　
5.3.3　波阻抗递减结构中矩形脉冲的传播　226　
第6章　一维线弹性杆的共轴对撞问题与SHPB原理　230　
6.1　相同材料一维线弹性杆的共轴对撞　230　
6.1.1　理想一维弹簧的共轴对撞过程分析　230　
6.1.2　两个一维线弹性杆的共轴对撞问题　233
6.1.3　多个一维线弹性杆的共轴对撞问题　237　
6.2　分离式Hopkinson压杆基本理论　244　
6.2.1　SHPB试验的基本假设与数据分析方法　245　
6.2.2　广义波阻抗及SHPB中试件受力情况分析　249　
6.2.3　线弹性杆中应力波传播的弥散效应　255　
6.3　不同材料一维线弹性杆的共轴对撞　271　
6.3.1　波阻抗相同时共轴对撞问题　271　
6.3.2　波阻抗不同时共轴对撞问题　273　
6.3.3　一维线弹性杆共轴对撞的动量守恒与能量守恒条件验证　281　
第7章　一维弹塑性杆中简单波的传播与相互作用　285　
7.1　固体材料的典型塑性本构关系与屈服准则　286　
7.1.1　几种典型的材料弹塑性应力应变关系　287　
7.1.2　塑性变形的Tresca屈服准则和Mises屈服准则　294　
7.1.3　塑性本构关系增量理论　296　
7.2　一维杆中弹塑性波传播 “双波结构”　299　
7.2.1　一维杆中材料本构关系对应力波传播的影响　299　
7.2.2　一维杆中弹塑性双波结构　303　
7.2.3　一维强弹性波的非线性叠加特性　308　
7.3　一维杆中弹塑性加载波的相互作用　311　
7.3.1　弹性强间断加载波与塑性强间断加载波的相互作用　311　
7.3.2　两个塑性强间断波的相互作用　313　
7.3.3　弹塑性加载波在刚壁上的反射问题　315　
第8章　一维杆中弹塑性波传播应变间断面与内反射　323　
8.1　一维杆中弹性卸载波对塑性突加波的卸载　323　
8.1.1　一维杆中弹性卸载波对塑性突加波的追赶卸载　325　
8.1.2　应变间断面的概念与内反射机理　328　
8.1.3　一维杆中弹性卸载波对塑性突加波的迎面卸载　332　
8.2　一维杆中应变间断面对应力波传播的影响　342　
8.2.1　弹性波在第I类应变间断面上的内透反射　342　
8.2.2　弹性波在第II类应变间断面上的内透反射　344　
8.3　一维杆中弹塑性波在两种材料交界面上的透反射问题　345　
8.3.1　弹性突加波在两种弹塑性介质交界面上的透反射　346　
8.3.2　塑性突加波在两种弹塑性介质交界面上的透反射　352　
主要参考文献　359