第0章 绪论
0.1 测量误差与不确定度
0.1.1 测量
在物理实验中，测量是得到物理量的主要手段.测量就是将待测物理量与标准单位的同类物理量进行比较，得到的结果包括两部分：数值和单位.
测量可分为两类：一类是用已知的标准单位与待测量直接进行比较，或者从已用标准量校准的仪器仪表上直接读出测量值(例如用毫安表读出电流值为12.0mA等)，这类测量称直接测量；另一类不能直接测出待测量的大小，而是依据该待测量和一个或几个直接测得量的函数关系求出该待测量，我们把这类测量称为间接测量.
一般说，大多数物理量是间接测量量，但随着科学技术的发展，很多原来只能以间接测量方式来获得的物理量，现在也可以直接测量了.例如电功率，现在可用功率表直接测量.
测得的数据(即测量值)不同于数学中的一个数值，数据是由数值和单位两部分组成的.一个数值有了单位，便具有了一种特定的物理意义，这时，它才可以称为一个物理量.因此，在实验中经测量所得的值(数据)应包括数值和单位，即以上二者缺一不可.
0.1.2 误差及分类
在一定条件下，任何物理量都有一个客观存在的真实值，称为该物理量的真值，测量的目的就是要力求得到真值.但测量总是依据一定的理论和方法，使用一定的仪器，在一定的环境中，由一定的人进行.在实验测量过程中，由于受到测量仪器、测量方法、测量条件和测量人员以及种种因素的限制，测量结果与客观存在的真值不可能完全相同，测量得到的结果只能是该物理量的近似值.也就是说，任何一种测量结果与真值存在一定的差值，这种差值称为该测量值的测量误差(又称测量值的绝对误差)，简称误差.
测量值(X)－真值=误差(ε)(0.1.1)
误差仅能反映出测量值与标准值的差异，为了全面反映出测量结果的准确程度，引入相对误差来进行评价，其定义为(0.1.2)
通常也将相对误差称为百分误差，在实际测量中，真值不可能获得，则将测量值的算数平均值作为测量*佳值来替代真值，则(0.1.3)
ε′称为偏差；相对误差可表示为(0.1.4)
如果已知测量值的公认值，也可用公认值替代真值，相对误差表示为(0.1.5)
0.1.3 误差的分类
误差的产生原因是复杂和多方面的，为了提高测量的可靠性，常对同一物理量进行多次重复测量.测量量在测量者、测量方法、测量仪器和测量环境均相同的条件下，称为等精度测量，否则为非等精度测量.在等精度测量的条件下，根据误差的性质和来源，可将误差分为两类：系统误差和随机误差.
1.系统误差
在等精度测量条件下，对同一物理量进行多次测量，误差的大小和符号保持不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差.系统误差的特征是确定性.它主要来自以下几个方面：
(1)理论(方法)误差.这是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或由于所采用测量方法或数据不完善而引起的.
(2)仪器误差.这是由于测量仪器本身的固有缺陷或精度不够高而引起的.例如，精确度等级为1.0，满量程量为10mA的电流表，用该电流表测得的数据的误差始终保持在规定极限0.1mA以内，该电流表的仪器误差为0.1mA.
(3)环境误差.由于环境条件变化所引起的误差，如温度、气压、湿度的变化等.
(4)测量者误差.这是由于观测人的生理或心理因素造成的，通常与观测人员反应速度和观测习惯有关.
系统误差的规律及产生的原因可能是实验者已知的，也可能不知道.已被确切掌握了大小和符号的系统误差称为可定系统误差.大小和方向未知(或尚未确定)的系统误差叫未定系统误差.前者一般可在测量中采取一定的措施给予减小或消除，或在测量结果中进行修正，而后者一般难以作出修正，只能估计它的取值范围.
总之，系统误差是在一定实验条件下由一些确定的因素引起的，它使测量结果总是偏向一边，即偏大或偏小.因此，试图在相同条件下用增加测量次数来减小或消除它是徒劳的，只有找出导致该系统误差产生的原因，对症下药采取一定的方法才能减小或消除它的影响，或对测量结果进行修正.
1)系统误差的发现
要发现系统误差，就必须仔细地研究测量理论和方法的每一步推导，检验或校准每一件仪器，分析每一个因素对实验的影响等.下面从普遍意义上介绍几种发现系统误差的途径和方法.
(1)实验方法的对比.用不同方法测同一个量，看结果是否一致.
(2)仪器的对比.如用两个电流表串联于同一个电路中，读数不一致，则说明至少有一个电路表不准.如果其中一个是标准表，就可以找出另一个的修正值了.
(3)改变测量方法.例如，把电流反向进行读数.
(4)改变实验中某些参量的数值.例如，改变电路中电流的数值，如果测量结果单调或有规律的变化，则说明有某种系统误差存在.
(5)改变实验条件.例如在电路中将某个元件的位置变动一下.
(6)两个人对比观测，可发现个人误差等.
(7)分析测量所依据的理论公式要求的条件与实际情况有无差异，能否忽略.
(8)分析数据的方法.
当测量所得数据明显不服从统计分布规律时，可将测量数据依次排列，如偏差大小有规则地向一个方向变化，则测量中存在线性系统误差；如果偏差符号作有规律交替变化，则测量中存在周期性系统误差.
2)系统误差的消除和修正
从原则上来说，消除系统误差的途径，首先是设法使它不产生，如果做不到，那么就修正它，或在测量中设法消除它的影响.
下面介绍几种消除系统误差的途径：
(1)采用符合实际的理论公式，进行理论修正，找出修正值.
(2)消除仪器的零位误差.例如电表的指针未通电时不指零位，可进行机械校零或记下零读数，*后再对测量值进行修正.
(3)采用某种方法(如比较法)，在公式中消去某个量，就可能避免它的系统误差.
(4)校准仪器.用标准仪器校准一般仪器，得出修正值或校准曲线.如经长期使用过的电表、电阻箱，在使用前必须经过校准或得出校准曲线.
在实际工作中，有时系统误差的大小不易确定或不必精确计算，这时只需判断它的正负和估计它的数量级就行了.在电磁学实验中选取仪器误差和估计误差作为主要误差来源.
2.随机误差
若系统误差已经减弱到可以忽略的程度，被测量本身又是稳定的，在等精度条件下对该物理量进行多次测量时，测量值总有稍许差异，而且大小和方向变化不定.这种数值大小和正负号经常变化的误差称为“随机误差”.当测量次数增加时，随机误差的分布服从统计分布的规律.
1)随机误差主要来源
(1)主观方面.人们的感官灵敏度和仪器的精度有限，实验者操作不熟练，估计读数不准等.
(2)客观方面.外界环境干扰，如杂散电磁场的不规则脉动等，既不能消除，又无法估量.
(3)其他不可能预测的次要因素.
2)随机误差特点
在深入讨论随机误差问题时，我们假定系统误差已经被消除或减小到可忽略的程度.
在相同条件下(即等精度)对某一物理量进行K次测量，其测量值为x1，x2，x3， ，xK，算术平均值为，则(0.1.6)
根据统计误差理论，在一组K次测量的数据中，算术平均值*接近于真值，称为测量的“*佳值”.当测量次数K→∞时，x=X(真值).
测量次数的增加对于提高算术平均值的可靠性是有利的，但不是测量次数越多越好，因为增加测量次数必定延长测量时间，这样不仅给保持稳定的测量条件增加了困难，还可能引起大的观测误差.另外，增加测量次数对系统误差的减小不起作用，所以实验测量次数不必过多，一般在科学研究中，取10到20次，而在物理教学实验中，通常取6到10次.
在等精度条件下，对物理量进行足够多次的测量，就会发现测量的随机误差是按一定的统计规律分布的，而*典型的分布就是正态分布(高斯分布).
典型的正态分布如图0.1.1所示.图中?为绝对随机误差(绝对误差)，为概率密度函数，为标准误差.
由概率论知识可以证明(0.1.7)
其中被定义为测量列的标准误差.可表示为(0.1.8)
具有正态分布的随机误差具备以下特点：
(1)有界性.绝对值很大的误差出现的概率为零，即误差的绝对值不会超过一定的界限.
(2)单峰性.绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大.
(3)对称性.绝对值相等的正、负误差出现的概率相同.
(4)抵偿性.随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零，即.由此可见，可用增加测量次数的方法来减小随机误差.
由式(0.1.7)可知
上述各式表明，当时，任何一次测量值与真值之差落在区间里的概率为1；而落于区间里的概率为0.683，置信概率P=0.683；落于区间里的概率为0.954，置信概率P=0.954；落于区间里的概率为0.997，置信概率P=0.997.从上面的介绍我们看到测量误差的绝对值大于的概率仅为0.3%，对于有限次测量这种可能性是极微小的，于是可以认为此时的测量是失误，该测量值不可信应予剔除.这就是著名的判据(准则)，可用于分析多次测量的数据.从以上的介绍我们看到标准误差是随机误差散布情况的量度.
3)标准偏差——σx的*佳估计值
在实际测量中，测量次数K总是有限的，并且也不知道真值X，因此标准误差只具有理论价值，对它的实际处理只能进行估算.估算结果称为标准偏差(简称标准差)，其表达式为(0.1.9)
式子的统计意义为，当测量次数足够多时，测量列中任一测量值与平均值的偏离落在区间里的概率为68.3%.此式亦称为贝塞尔公式.
综上所述，系统误差和随机误差性质不同，来源不同，处理方法也不相同.
0.1.4 不确定度
测量中的误差是客观而普遍存在的，随着测量者水平的提高以及实验条件的改善，误差可以减小和改善，但不可能完全消除(也没有必要这样做).人们关心的是怎样把误差控制在允许的范围内.如何评价测量结果的优劣是我们关心的另一个问题.于是，人们引入了一个新的概念——不确定度，来对误差情况作定量的估计.
不确定度(uncertainty)表征了被测物理量的真值在某个量值范围内的一个评定，亦即测量结果附近的一个范围，这个范围可能包含测量误差.误差是测量值与真值之差，真值经常无法知道，因此误差通常也无法知道，而不确定度表示的是测量误差可能出现的范围，这样不确定度就能更好地反映测量结果的性质和优劣.
误差分为随机误差和系统误差，考虑到测量中对测量结果的已定系统误差分量进行修正以后，其余未定系统误差因素和随机误差因素共同影响着测量结果的不确定度，因此，不确定度的分量计算原则上分为两类，即A类不确定度(统计不确定度)和B类不确定度(非统计不确定度).
(1)A类不确定度.A类不确定度分量是指多次测量中可以用统计方法计算的不确定度.这类不确定度因服从正态分布规律，从而可以用公式进行计算得到.设待测物理量x(真值为X)是稳定的，足够大的K次独立测量的结果为为x1，x2， ，xK，平均值作为x的*佳估计，则平均值的标准偏差为该量的A类不确定度分量.
(2)B类不确定度.B类不确定度的主要贡献为系统误差中的仪器误差和估计误差Δ估.
所谓仪器误差(限)是指在仪器规定的使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值与被测量真值之间可能产生的*大误差的绝对值.在实验教学中它常被用来估计由测量仪器导致的误差范围，这有助于我们从量级上把握测量仪器的准确度以及测量结果的可靠程度.
1)仪器误差
通常，生产厂家在仪器出厂时已在其上注明仪器误差，但
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