第1章集合与函数
　　数学分析的主要内容是微积分，它的研究对象是实函数.本章主要介绍集合的基本概念及运算、实数系的连续性与函数的表示方法、运算及函数的简单性质.本章的难点是实数系的连续性，希望读者能理解其本质特征及描述方法.
　　1.1集合
　　集合论的基础是由德国数学家康托尔（Cantor）奠定的，后经过许多卓越的数学家近半个世纪的努力，确立了其在现代数学理论体系中的基础地位.从19世纪末到20世纪初，集合论语言成为*通用的数学语言，有学者甚至把“数学就是研究集合上各种结构（关系）的学科”作为数学的定义.本节主要介绍集合的基本概念与运算.
　　1.1.1集合的概念
　　所谓集合（简称集），是指具有某种特定性质的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素.集合通常用大写字母等表示，元素通常用小写字母a，b，c，x，y等表示.
　　若x是集合X的元素，则称a;属于X，记为:ceX.若y不是集合X的元素，则称y不属于X，记为y朱X.
　　习惯上，我们通常用N+，Z，Q，R分别表示正整数集、整数集、有理数集、实数集.
　　集合的表示方式通常有两种.一种是列举法，它是将集合中的元素全部列出，例如，由三个元素a，b，c组成的集合可以表示为A={a，b，c}，正整数集N+可以表示为N+={1，2，3， ，n， }，整数集Z可以表不为Z={0，±1，±2，±3， ，另一种是描述法.若集合A是由具有性质P的元素的全体所构成的，则A可表示为A={x|x具有性质P}.例如由5的平方根组成的集合可表示为A={x|x2=5}，有理数集可表示为
　　有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如，称之为空集，记为.　
　　在本课程的学习中，经常会遇到以下形式的实数集R的子集:闭区间
　　开区间
　　左闭右开区间
　　左开右闭区间
　　1.1.2包含关系
　　若集合4的所有元素都属于集合B，则称B包含A，记为ACS，此时也称A是B的子集.若集合A与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记为A=B
　　若且则称A是B的真子集.
　　为了叙述方便，本书引入两个常用记号V和3:V表示“任意一个”；表示“存在
　　利用上述记号，我们可以将Acs的定义表述为：
　　1.1.3集合的运算
　　给定集合A和B，定义如下运算（图1.1.1）:
　　设集合4是集合X的一个子集，称X\A为A关于集合X的补集，记为Ac.
　　容易验证，集合的运算具有下列性质：
　　(1）交换律
　　(2）结合律
　　(3）分配律
　　(4）对偶律（DeMorgan公式）
　　1.1.4有限集与无限集
　　若集合A只有有限个元素，则称集合A为有限集，不是有限集的集合称为无限集.
　　{a，b，c}，{x|x2=1}都是有限集.Z，Q，R都是无限集.
　　如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一列，或者说可表示为
　　则称该集合为可列集，例如整数集Z是可列集.
　　无限集不一定是可列集（后面我们将证明实数集R是不可列的），但每个无限集一定包含可列子集.
　　注要证明一个无限集是可列集，关键是构造出一种排列规则，使得按此规则，集合的所有元素可以无重复也无遗漏地排成一列.
　　例1.1.1整数集Z是可列集.
　　证明因为整数集z可以按规则
　　排成一列，根据可列集的定义，整数集Z是可列集.
　　设A是可列集，n=1，2，3， ，定义它们的并为
　　定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集.
　　证明对每个正整数n，设是可列集，不妨设可表示为
　　则的所有元素可排列成下面无穷矩阵的形式：
　　下面，我们采用对角线法则，将上面的所有元素无重复也无遗漏地排成一列，具体排法如下：从左上角开始，依次按照每条“对角线”（如图中箭头所示），将元素从左下至右上的次序排列为
　　上面的对角线排列，可以保证矩阵中的每个元素不会遗漏.
　　注意到两个不同的集合Afc与為（fc#I），它们的交集可能非空，这样可能会导致有些元素在对角线排列中多次出现.如果我们只保留第一次出现的数，而把后面重复出现的数去掉，那么这样形成的排列就会无重复也无遗漏地表示了集合，从而证明了为可列集.
　　证毕
　　例1.1.2有理数集Q是可列集.
　　证明由于（-oo，+oo）可以表示为可列个区间的并，令求表示中有理数的全体，要证每个是可列集，我们只需证明:区间（0，1]中的全体有理数是可列集.
　　由于中的元素可唯一地表示为既约分数，其中且互质.我们将中的元素排列如下：
　　分母p=1的既约分数只有一个，记为a11=1；
　　分母p=2的既约分数只有一个，记为
　　分母p=3的既约分数只有两个，记为
　　一般地，分母p=n的既约分数不超过n个，将它们记为，其中为正整数.从而区间中的有理数可按如下方式排成一列：
　　根据可列集的定义，A0为可列集，从而为可列集.由定理1.1.1知，有理数集Q为可列集.
　　1.1.5集合的笛卡儿乘积
　　设是任意两个集合.任取，组成一个有序对(x，y）.把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的笛卡儿(Descartes）乘积或直积，记为A×B即
　　当集合A与集合B都是实数集R时，RxR(记作R2）表示平面直角坐标系下用坐标表示的点的集合.
　　类似地，我们可以定义多个集合的笛卡儿乘积或直积.
　　R×R×R(记作R3）表示空间直角坐标系下用坐标表示的点的集合.
　　习题1.1
　　1.证明：
　　2.证明：
　　3.设
　　4.设
　　1.2实数
　　微积分是17世纪下半叶由牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立的，其主要研究对象是实函数，即自变量为实数且在实数中取值的函数.微积分的诞生，解决了许多过去被认为是高不可攀的难题.但是在很长一段时间，微积分一直未能为自己的方法提供逻辑上严密的、无懈可击的理论说明，这也引起了人们长达一个多世纪的争论.直到19世纪初，柯西（Cauchy）才以极限理论为微积分奠定了坚实的基础.又过了半个世纪以后，康托尔（Cantor）和戴德金（Dedekind）通过仔细研究发现，极限理论的某些基本原理，实际上依赖于实数系的一个重要性质——连续性.
　　1.2.1实数的无限小数表示与顺序
　　1.数系的发展历史
　　若一个集合中的任意两个元素进行某种运算后，所得的结果仍属于这个集合，则称该集合对这种运算是封闭的.人类认识的第一个数系是自然数系其基本特征是“可数的”或“离散的虽然它对于计数来说是够用了，但是它不是一个完善的数系.一方面，作为量的描述手段，它只能表示一个单位量的整数倍，而无法表示此单位量的部分，由此可见自然数系不足以度量物体的长短，这是因为长短是连续变化的，这种“连续”变化的量自然不能完全通过上述“可数的”或“离散的”量来表示.另一方面，虽然自然数系N对于加法与乘法运算是封闭的，但对于减法运算不封闭.为保证自然数系N对减法运算封闭，人们引进了负数，把自然数系扩充成整数系Z.尽管整数系Z对加法、减法与乘法运算封闭，但它对于除法运算不封闭，于是人们又把整数系Z扩充为有理数系
　　有理数系Q的一个重要性质就是稠密性，即对任意有理数与，必存在有理数c，使得.这个结果是明显的，事实上，令则为有理数且.由此可以推出，任意两个不同的有理数之间，总有无穷多个有理数存在。
　　在建立了数轴后，整数系Z的每一个元素，都能在数轴上找到与之对应的点，这些点称为整数点.每一个有理数x二也能在数轴上找到自己相对应的点，这些点称为有理点.以上讨论表明：有理点是密密麻麻分布在数轴上，我们形象地称有理数系具有稠密性.
　　但有理数系Q仍然不是一个完善的数系.例如，若用c表示两条直角边均为1的直角三角形的斜边的长度，则就无法用有理数来表示.事实上，假若为有理数，不妨设力=\其中且，互质，则.所以必为偶数，从而q也为偶数，不妨设，于是，由此得到也为偶数，这与，互质相矛盾，所以C二不是有理数.由此可见，虽然有理

目录
前言
第1章　集合与函数　1
1.1　集合　1
1.1.1　集合的概念　1
1.1.2　包含关系　2
1.1.3　集合的运算　2
1.1.4　有限集与无限集　3
1.1.5　集合的笛卡儿乘积　5
1.2　实数　5
1.2.1　实数的无限小数表示与顺序　6
1.2.2　实数系的连续性　9
1.3　函数　14
1.3.1　函数的概念　14
1.3.2　初等函数　15
1.3.3　函数的分段表示、隐式表示以及参数表示　17
1.3.4　函数的简单特性　20
1.3.5　由已知函数构造新函数的方法　21
1.3.6　几个常用不等式　24
第2章　数列极限　28
2.1　数列极限的概念与性质　28
2.1.1　数列极限的定义　28
2.1.2　数列极限的性质　36
2.2　无穷大量　44
2.2.1　无穷大量的概念　44
2.2.2　无穷大量的性质和运算　45
2.2.3　Stolz定理　47
2.3　单调收敛原理及应用　53
2.3.1　单调收敛原理　53
2.3.2　无理数e和欧拉常数c　55
2.4　实数系基本定理　60
2.4.1　闭区间套定理　60
2.4.2　有限覆盖定理　61
2.4.3　致密性定理　63
2.4.4　柯西收敛原理　65
2.4.5　实数系基本定理的等价性　69
2.5　数列的上极限与下极限　71
2.5.1　上极限与下极限的概念与性质　71
2.5.2　上极限与下极限的运算　75
2.5.3　上极限和下极限的等价定义　79
第3章　函数极限与连续函数　83
3.1　函数极限　83
3.1.1　函数极限的定义　83
3.1.2　函数极限的性质　86
3.1.3　函数极限概念的推广　90
3.1.4　函数极限与数列极限的关系　97
3.1.5　函数极限的柯西收敛原理　100
3.2　函数的连续性与间断点　104
3.2.1　函数的连续与间断　104
3.2.2　间断点的类型　106
3.2.3　函数连续的性质和运算　109
3.2.4　初等函数的连续性　112
3.3　闭区间上连续函数的性质　114
3.3.1　有界性定理　114
3.3.2　零点存在定理　115
3.3.3　*值定理　116
3.3.4　介值定理　117
3.3.5　一致连续　118
3.4　无穷小量与无穷大量的比较　123
3.4.1　无穷小量的比较　123
3.4.2　无穷大量的比较　125
第4章　导数与微分　129
4.1　导数　129
4.1.1　引例　129
4.1.2　导数概念　130
4.1.3　导数的几何意义　134
4.1.4　可导与连续的关系　134
4.2　求导数的方法　136
4.2.1　导数的四则运算法则　137
4.2.2　反函数的求导法　139
4.2.3　复合函数的求导法　140
4.2.4　隐函数的求导法　144
4.2.5　由参数方程所表示函数的求导法　146
4.3　微分　149
4.3.1　微分的概念　149
4.3.2　微分的几何意义　151
4.3.3　微分的运算法则和基本微分公式　152
4.3.4　一阶微分的形式不变性　153
4.3.5　微分在近似计算中的应用　155
4.4　高阶导数与高阶微分　157
4.4.1　高阶导数　157
4.4.2　高阶微分　165
第5章　微分中值定理及应用　169
5.1　微分中值定理　169
5.1.1　费马定理　169
5.1.2　罗尔定理　170
5.1.3　拉格朗日中值定理　172
5.1.4　柯西中值定理　176
5.2　洛必达法则　180
5.2.1　*及*待定型　180
5.2.2　其他待定型　185
5.3　泰勒公式及应用　190
5.3.1　带佩亚诺余项的泰勒公式　191
5.3.2　带拉格朗日余项的泰勒公式　197
5.3.3　泰勒公式的应用　199
5.4　导数的应用　206
5.4.1　函数的单调性　206
5.4.2　函数的极值　208
5.4.3　函数的*值　210
5.4.4　函数的凸性与拐点　212
5.4.5　渐近线　217
5.4.6　函数作图　219
第6章　不定积分　225
6.1　原函数与不定积分　225
6.1.1　原函数与不定积分的概念　225
6.1.2　基本积分表　227
6.1.3　不定积分的基本性质　228
6.2　换元积分法　231
6.2.1　第一类换元法　231
6.2.2　第二类换元法　236
6.3　分部积分法　240
6.4　有理函数的不定积分及应用　248
6.4.1　有理函数的不定积分　248
6.4.2　可化为有理函数的不定积分　255
第7章　定积分　262
7.1　定积分的概念　262
7.1.1　引例　262
7.1.2　定积分的定义　265
7.1.3　定积分的几何意义　267
7.2　可积性问题　269
7.2.1　可积的必要条件　269
7.2.2　达布和　270
7.2.3　可积准则　274
7.2.4　可积函数类　277
7.2.5　再论可积性准则　281
7.3　定积分的性质　283
7.4　微积分基本定理　294
7.4.1　变速直线运动位置函数与速度之间的联系　294
7.4.2　变限定积分　295
7.4.3　微积分基本定理　298
7.5　定积分的换元法和分部积分法　305
7.5.1　定积分的换元法　305
7.5.2　定积分的分部积分法　313
7.6　定积分在几何学中的应用　319
7.6.1　微元法　319
7.6.2　平面图形的面积　320
7.6.3　平行截面面积已知的立体的体积　326
7.6.4　平面曲线的弧长　329
7.6.5　旋转曲面的面积　332
7.7　定积分在物理学中的应用　335
7.7.1　平面曲线弧与平面图形的质心　336
7.7.2　转动惯量　340
7.7.3　变力沿直线所做的功　343
7.8　定积分的近似计算　344
7.8.1　梯形公式　344
7.8.2　抛物线公式　347
第8章　反常积分　351
8.1　无穷积分的概念和性质　351
8.1.1　无穷积分的概念　351
8.1.2　无穷积分的性质　353
8.1.3　无穷积分的计算　356
8.2　无穷积分的敛散性判别法　362
8.2.1　非负函数无穷积分的敛散性判别法　362
8.2.2　任意函数无穷积分的敛散性判别法　367
8.3　瑕积分　377
8.3.1　瑕积分的概念　377
8.3.2　瑕积分的敛散性判别法　380
8.3.3　瑕积分的计算　385
部分习题答案与提示　389