第一部分理论
第1章预备知识(1):交换环
我们假定读者熟悉群论的基本概念和结果(群和子群、陪集分解、正规子群和商群、群的同构和同态、同态基本定理、有限交换群的结构),本章和第2章复习一下环论和域论的一些基本概念和结果,这些知识对于学习代数数论是至关重要的.
1.1交换环和它的理想
粗糙地说,一个集合叫作环,是指其中有加、减、乘法运算,并且这些运算满足一些通常的运算规律丨结合律、交换律和分配律:).确切地说,我们有如下的定义.
定义1.1集合R叫作环(ring),是指其上有两个二元运算+(加法)和 (乘法),并且满足以下条件:
(i)(R,+)是交换群,从而有(唯一)零元素0,使得对每个,0+a(=a+0)=a,而a的负元素表成-a,加法的逆运算即为减法.
(ii)(R, )是含1半群,并且1#0,即乘法满足结合律a(bc)=(ab)c,并且有(唯一)么元素1,使得对每个,l.a=a.l=a.
(iii)分配律:对于a,6,c∈R,a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca.
注记1.在定义1.1中我们要求加法满足交换律,但是不要求乘法满足交换律.如果乘法也满足交换律,即ab=ba,则称R为交换环.今后若不声明,我们涉及的环R都是交换环.
2.环R对乘法不能为群,这是因为对每个a∈R,0 a=a-0=0.所以0对于乘法不是可逆元素,环R中对乘法可逆的元素a(即存在唯一元素b∈R,使得ab=ba=1),今后叫作环R中的单位(unit),而b叫作a的逆元素,表示成.R中全体单位形成一个乘法群,叫作环R的单位群,表示成或者单位群愈大,则环R中做除法乘法的逆运算愈灵活.如果每个非零元素均为单位,便称交换环R为域(field).这时,每个非零元素a都可以除b,得到,也表成.
3.设N是加法(交换)群(R,+)的一个子群,则我们有集合它的元素是R对子群N的一个陪集,这个元素也表示成当且仅当.我们在每个陪集中取出一个元素,它们所成的集合S叫作一个完全代表系,这时集合为,并且所有陪集是集合R的一个分拆,也就是说,不同的陪集彼此不相交,并且所有陪集的并集为环R.在集合中定义加法运算,可以验证这个运算是可以定义的,即和代表元的选取方式无关,由此使成为群,叫作加法群R对于子群N的商群.
能否把环R中的乘法运算也自然地引入到中来呢?即对于和我们能否定义如果只是的一个加法子群,这个运算不总是可以定义的,即当,时,不一定等于.例如,取R为复数域C,N取为实数域R,则R为C的加法子群.在加法商群中,(其中).但是不等于,因为不是实数.为了使环中乘法运算自然地引入到中来,需要子群N具有更强的条件,这就导致环论中一个重要的概念:理想.
定义1.2交换环R中的一个非空子集I叫作环R的一个理想(ideal),是指它满足以下两个条件:
(1)
(2)
对每个交换环R,{0}和R均是R的理想,{0}叫作零理想,不为R的理想叫作真理想(proper ideal).
可以证明:若I为交换环R的一个理想,则加法商群R/I中可以自然地定义乘法互,即这个定义和,中代表元,的选取方式无关,并且R/I对于加法和乘法形成交换环,叫作R对于理想I的商环.
环论的基本任务是研宄环的性质和代数结构,和数学的其他学科一样,我们要在各种环之间的联系当中来把握环的性质和结构,这种联系要与环之间的运算相容.确切地说,我们有以下的定义1.3.
定义1.3设R和S是两个环,映射:叫作由R到S的一个环同态(ringhomomorphism),是指对任何a,b∈R,
(如此可推出.进而若是单射,则小叫作单同态(monomorphism).若是满射,则叫作满同态(epimorphism).如果珍是双射,则多称为环的同构(isomorphism),表示成,这时,也是环的同构.
在环论中,同构的环看成是同一个(抽象的)环,它们有同样的代数结构.环论的一个重要事情是发现不同环R和S之间的同态,由此来把握环R或S的性质和结构.所以下面的结果是环论的核心.
定理1.1(环的同态定理)设:是交换环的同态,则
(1)
(2)
(3)可以定义自然映射
并且系是环的同构.特别地,
若:是环的单同态,则R同构于S的子环.
若:是环的满同态,则商环与环S同构.
现在介绍交换环的理想之间可以定义的一些运算.设R为交换环.
(I)设A和B是环R的两个理想,不难验证集合
也是环R的理想,称作理想A与B的和.类似可以定义多个理想之和,并且有交换律和结合律:A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C).
(II)对于环R的两个理想A和B,不难验证它们的交集也是环B的理想,叫作理想A和B的交.
(III)设A和B是环R的理想,集合—般来说不必为环R的理想,因为不一定能表成.但是比它更大的集合.
是环R的理想,叫作理想A和B的积.类似可定义多个理想的乘积,并且满足.
从集合大小的角度来看,零理想和R分别是交换环R的*小和*大理想,而对于R的理想A和我们有.
如果A+B=R,我们称A和S是互素的理想.设R和S是两个环,在集合
当中定义运算
则对于上述运算形成环,零元素和幺元素分别为和.并且S为交换环当且仅当R和S均为交换环.叫作环R和S的直和.类似可定义多个环的直和.
下面的定理1.2是初等数论中关于整数同余性质的中国剩余定理在环论中的推广.
定理1.2(中国剩余定理)设A1, ,An是交换环R的理想,并且当时,和互素,则有环同构
(n个商环的直和),
其中对于a∈R,
定义1.4交换环R叫作整环(domain),是指对于a,beR,如果ab=0,则a=0或者6=0.换句话说,对于R中任意两个非零元素a和b,ab也是非零
注记1.对于环R中两个非零元素a和b,如果ab=0,我们称a(和b)为环R中的一个零因子.所以R为整环当且仅当R是没有零因子的交换环.交换环R中的每个单位a∈R*(即乘法可逆元)都不是零因子,因若ab=0,则.对于任意域F,F中非零元素都是乘法可逆的,从而P以及F的每个子环都是整环.
2.在整环R中我们有乘法消去律:若a,b,c∈R,a≠0,如果ab=ac,则b=c.
3.*典型的整环例子是整数环Z以及域F上的多项式环.不是整环的*简单的例子是同余类环,其中,但是.
我们可以把初等数论中的整除概念推广到任意整环中来.
定义1.5设R为整环,a,b∈R并且a≠0.我们称a整除b(或者说b被a整除),表示成a|6,是指存在c∈R,使得ac=b.如果a不整除b,则表示成a|b.当a|b时,a叫b)的因子,b叫a的倍元.
展开